一个递推关系导出的不等式链

文［１］给出了杨学枝老师提出的一个不等式的证明．本文利用一个递推关系给出这一不等式的一个加强的不等式链及其它不等式．设以实数ｘ、ｙ、ｚ为根的一元三次方程为ｔ３＋ｐｔ２＋ｑｔ＋ｒ＝０由根与系数间的关系知：ｐ＝－（ｘ＋ｙ＋ｚ），ｑ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ，ｒ＝...     

一个不等式的图证及推广

题目：若ｘ,ｙ,ｚ为正实数,则ｘ２＋ｘｙ＋ｙ２＋ｙ２＋ｙｚ＋ｚ２＋ｚ２＋ｚｘ＋ｘ２≥３（ｘ＋ｙ＋ｚ）;（当ｘ＝ｙ＝ｚ时取等号）;文［１］中,对上述不等式提出一个简洁图证;本文再对该不等式给出一个更具一般意义的有效图证,并进而给出其推广及证明;证明：原不等式左边等于ｘ＋ｙ２２＋３２ｙ２＋ｙ＋ｚ２２＋３２ｚ２＋ｚ＋ｘ２２＋３２ｘ２;构造图（１）,设ＡＦ＝ｘ＋ｙ２,ＤＧ＝ｙ＋ｚ２,ＥＨ＝ｚ＋ｘ２,ＤＦ＝３２ｙ,ＥＧ＝３２ｚ,ＢＨ＝３２ｘ;由勾股定理得：ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝ｘ＋ｙ２＋ｙ＋ｚ２＋ｚ＋ｘ２…     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１１月号问题解答（解答由问题提供人给出）９２１若ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＋＝１．求证：证明依柯西不等式得（１２＋１２＋１２）（Ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）≥当ｘ＝ｙ＝ｚ＝时取等号）。再由柯西不等式得时取等号）．原不等式成立．９２２在△Ａ...     

一个代数不等式的证明

一个代数不等式的证明４１０１２８湖南农业大学２２５＃陈宽红定理设ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，ｎ∈Ｎ，则这是福建杨学枝老师于１９９４年提出的一个猜想，本文将证明此猜想．证（１）当ｎ＝１，２时，①式显然成立．（２）考察ｎ≥３，ｎ∈Ｎ的情形．１°若ｘ，...     

数学问题解答

数学问题解答１９９５年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）９５６设实数ｘ，ｙ，ｚ满足求３ｘ＋４ｙ＋５ｚ的范围．解设ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝ａ（１）２ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝ｂ（２）则．解由（１），（２）组成的方程组得：ｘ＝ｚ＋２ｂ－３ａ，ｙ＝２ａ－ｂ－２ｚ．则：３...     

证明三角形不等式的一种方法

证明三角形不等式的一种方法方明（四川省平昌二中６３５４００）众所周知，△ＡＢＣ的内切圆在三个切点处把三边ａ，ｂ，ｃ分成ａ＝ｙ＋ｚ，ｂ＝ｚ＋ｘ，ｃ＝ｘ＋ｙ，（）其中ｘ，ｙ，ｚ均为正数．应用代换（），可将三角形的边元不等式在条件ｂ＋ｃ＞ａ，ｃ＋ａ＞ｂ...     

巧解一次方程组

解一次方程组的思想是消元，消元后转化为一元一次方程．但还要注意仔细观察，认真分析题目的特征、巧妙、灵活地运用消元法来解题．例１　解方程组（１）２ｘ＋ｙ－ｚ＝２，ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１３，－３ｘ＋ｙ－２ｚ＝－１１；　①②③（２）ｘ＋２ｙ－３ｚ＝－４，４ｘ＋８ｙ＋９ｚ＝５，２ｘ＋６ｙ－９ｚ＝－１５．　①②③分析　上面两题若逐步消元，都比较麻烦．仔细观察，发现方程组（１）三式相加可得ｙ；而方程组（２）呢，可先整体消元求出ｘ和ｚ，于是得妙解．（１）解　由①＋②＋③得４ｙ＝４，即ｙ＝１．把ｙ＝１代入①、②，得…     

一个数学问题的引伸

一个数学问题的引伸５５３５００贵州道真中学石小康文［１］曾提出如下问题：若Ｚ、ｙ、ｙ∈Ｒ，且ｘ≥ｙ≥ｚ＞０，证明事实上，不等式（１）还可引伸出更为一般的结论，即Ｈｃｈｙ为证此定理，首先证明以下两个引理．弓Ｉ理１设ｘ＞．＞ｚ＞０，ｍ歹２且ｍＣＮ－ｍ右引...     

谈谈变换的一个有趣作用

谈谈变换的一个有趣作用党庆寿（江苏江都市大桥高级中学２２５２１１）众所周知，若ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ＋，则有ｘ＋ｙ＋ｚｙｚ＋ｚｘ＋ｘｙ（１）ｘ＋ｙ＋ｚ３３ｘｙｚ（２）本文将通过对（１）作变换证明（２），并意外地得到一个非常有趣的不等式链，从而说明“变换”...     

一个不等式的代数证法与推广

作为书［１］“数形结合”一章的首例,形如ｘ２１＋ｙ２１＋ｘ２２＋ｙ２２≥（ｘ１＋ｘ２）２＋（ｙ１＋ｙ２）２的不等式,以其优雅的几何证法［１］～［３］令某些纯代数证法相形见拙．现利用柯西不等式将其推广为（字母均表实数）：∑ｎｋ＝１ｘ２ｋ＋ｙ２ｋ＋…＋ｚ...     

数学问题解答

１９９９年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）１２０１．已知ｘ,ｙ,ｚ都是正实数,且满足ｘ·ｙ·ｚ＝１;求证ｘ２ｙ＋ｚ＋ｙ２ｚ＋ｘ＋ｚ２ｘ＋ｙ≥３２;证明：设ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ,则ｘ２ｙ＋ｚ＋ｙ２ｚ＋ｘ＋ｚ２ｘ＋ｙ＝ｘ２ｓ－ｘ＋ｙ２ｓ－ｙ＋ｚ２ｓ－ｚ＝ｘ２ｓ－ｘ＋ｘ＋ｙ２ｓ－ｙ＋ｙ＋ｚ２ｓ－ｚ＋ｚ－ｓ＝ｓ·ｘｓ－ｘ＋ｙｓ－ｙ＋ｚｓ－ｚ－ｓ＝ｓ·ｘｓ－ｘ＋１＋ｙｓ－ｙ＋１＋ｚｓ－ｚ＋１－３－ｓ＝ｓ２·１ｓ－ｘ＋１ｓ－ｙ＋１ｓ－ｚ－４ｓ≥ｓ２·３２（ｓ－ｘ）＋（ｓ－ｙ）＋（ｓ－ｚ）－４ｓ＝９２ｓ－４ｓ…     

再谈椭圆中一类三角形面积的最大值

文［１］利用伸缩变换讨论了椭圆内过定点的直线与椭圆的两个交点与原点构成的三角形面积的最大值．本文将利用行列式及二次函数在闭区间上的最值理论讨论这一问题．为此先给出下面两个引理．引理１　坐标平面内逆时针排列的三点Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）、Ｃ（ｘ３,ｙ３）构成的△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１１ｘ２ｙ２１ｘ３ｙ３１．（证明略）．引理２　二次函数在闭区间上的最值要么在顶点取得,要么在区间的端点取得（证明略）．定理　椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍ、ｎ∈Ｒ＋）内有一定点Ｍ（ｐ,ｑ）,过Ｍ的直线…     

复域上二阶多项式自治系统代数曲线解的不存在性

１引言与引理本文主要利用复域上一个整除定理,考虑下列二元多项式自治系统其中ｆ（ｘ）＝时,方程（１．１）的代数曲线解的存在性问题。定义１　若自治系统（１．１）存在形如约多项式,则我们称Ｐ（ｘ,ｙ）＝０为自治系统（１．１）的代数曲线解。引理１［１］设Ｐ和Ｇ（ｗ,ｚ）为Ｃ上的二元多项式,且Ｐ（ｗ,ｚ）不可约,若不恒为常数的Ｆ（ｗ,ｚ）是乘积Ｐ（ｗ,ｚ）Ｇ（ｗ,ｚ）的因式,且Ｆ（ｗ,ｚ）关于ｗ的次数低于Ｐ（ｗ,ｚ）关于ｗ的次数,则Ｆ（ｗ,ｚ）必定可整除Ｇ（ｗ,ｚ）。引理２［１］设Ｐ（ｗ,ｚ）为Ｃ上的不可…     

具有四项的指数丢番图方程(Ⅱ)

本文中，我们给出了丢番图方程的解ｘ，ｙ，ｚ，ｗ的上界，其中ｐ，ｑ是给定的互素的正整数，ａ，ｂ，ｃ，ｄ是给定的适合ａｂｅｄ≠０的整数，此外，我们将指出在具体情形下如何把上界降低到方程允许的实际的解．最后，我们将用这个方法来解方程１９．５ｘ·１７ｙ＝１２．５ｚ＋４１．１７ｗ＋１４， ５． ３ｘ· １３ｙ ＋ ２０＝ ７． ３ｚ ＋ １４． １３ｗ和 １３· ２ｘ＋ ５· ３ｙ＝ ２５． ２ｚ＋ １１． ３ｗ．     

具有四项的指数丢番图方程(Ⅱ)

本文中，我们给出了丢番图方程的解ｘ，ｙ，ｚ，ｗ的上界，其中ｐ，ｑ是给定的互素的正整数，ａ，ｂ，ｃ，ｄ是给定的适合ａｂｅｄ≠０的整数，此外，我们将指出在具体情形下如何把上界降低到方程允许的实际的解．最后，我们将用这个方法来解方程１９．５ｘ·１７ｙ＝１２．５ｚ＋４１．１７ｗ＋１４， ５． ３ｘ· １３ｙ ＋ ２０＝ ７． ３ｚ ＋ １４． １３ｗ和 １３· ２ｘ＋ ５· ３ｙ＝ ２５． ２ｚ＋ １１． ３ｗ．     

积分型Hilbert定理的改进与应用

本文建立如下权函数的不等式ｗ （ｘ） ＝ ∫∞０１ｘ ＋ ｙ ＋ １（ｘ ＋ １ｙ ＋ １）１／２ｄｙ ≤π［１ － １ － ２／π（ｘ ＋ １）１／２］　（ｘ ∈［０,∞））,这里,常数１－ ２／π是最佳值,从而改进了积分型Ｈｉｌｂｅｒｔ定理,作为应用,建立一个Ｈｉｌｂｅｒｔ类积分不等式及其加强式;并改进推广了Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｅｗ ｏｏｄ 积分不等式．     

一个代数不等式的初等证法

一个代数不等式的初等证法江海涛袁昌斌（安徽马鞍山高级职业学校２４３０１１）福建杨学枝老师１９９４年提出了如下猜想：设ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，ｎ∈Ｎ，则２ｎ１（ｘ２ｎ＋ｙ２ｎ＋ｚ２ｎ）（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｎ（１）１９９６年，湖南农业大学陈...     

一个新发现的代数不等式

本文首先利用幂函数的单调性证明笔者新近发现的一个代数不等式,然后揭示它的一些特殊情况．定理若ｘ,ｙ,ｚ是正数,则ｘｎ（ｘ－ｙ）＋ｙｎ（ｙ－ｚ）＋ｚｎ（ｚ－ｘ）≥０①其中ｎ≥０;当ｎ≤０时,不等式①反向．等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立．证不妨设ｘ...     

相似形单元检测题

相似形单元检测题（４５分钟完卷，满分１００分）一．填空题（每小题４分，共３２分）１．两个相似三角形的面积比等于３，那么它们对应高的比是，周长的比是．２．已知ｘ３＝ｙ４＝ｚ５，ｘ＋ｙ＋ｚ＝６，则ｘ＝，ｙ＝，ｚ＝．３．若线段ｍ＝３，且线段ｍ，ｎ的比例中项...     

不等式x~3 y~3 z~3≥3xyz的几何证法

我们先证ｘ２＋ｙ２≥２ｘｙ（ｘ、ｙ∈Ｒ＋,当ｘ＝ｙ时,等号成立）证明　如图１,设正方形ＡＢＣＤ的边长为ｘ,正方形ＢＥＦＪ的边长为ｙ,在ＡＢ上取ＡＨ＝ｙ,则ＨＢ＝ｘ－ｙ,故ＨＥ＝ＨＢ＋ＢＥ＝ｘ－ｙ＋ｙ＝ｘ,∴　Ｓ矩ＡＨＰＤ＝Ｓ矩ＨＥＦＫ＝ｘｙ．由图１显然有　Ｓ正ＡＢＣＤ＋Ｓ正ＢＥＦＪ≥Ｓ矩ＡＨＰＤ＋Ｓ矩ＨＥＦＫ,即　　　ｘ２＋ｙ２≥２ｘｙ（当且仅当ｘ＝ｙ时,等号成立）再证　ｘ３＋ｙ３＋ｚ３≥３ｘｙｚ（ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ＋,当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ时,等号成立）证明　如图２,设三个正方体ＶＡＢ、ＶＣＤ、ＶＥＦ…