Laterally loaded elastic shells of revolution

Summary An alternate form of the Chernin type equations for laterally loaded shells of revolution is obtained. Except for terms of order of the inherent error in shell theory, the final two coupled second order ordinary differential equations are remarkably similar to the Reissner-Meissner type equations for problems involving axi-symmetric stress distributions. Unlike all previous versions, our two equations can be further reduced (just as in the case of axi-symmetric stress distributions) to a single second order equation for a complex stress function without any additional approximation for uniform cylindrical, spherical, conical and toroidal shells. The side force and tilting moment problem for a shell frustum is shown to be the static geometric analogue of the problem of asymmetric bending and twisting of a ring shell sector. An efficient method for the evaluation of the overall influence coefficients is discussed. The stress state of a complete uniform spherical shell subject to concentrated side force and tilting moment at the two poles is analyzed.

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Übersicht Es wird eine neue Form der Cherninschen Gleichung für rotationssymmetrische, seitlich belastete Schalen abgeleitet. Abgesehen von Gliedern, deren Größenordnung dem allgemeinen Fehler der Schalentheorie entspricht, haben die zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine merkwürdige Ähnlichkeit zu den von Reissner und Meissner abgeleiteten Gleichungen für Probleme mit axialsymmetrischem Spannungszustand. Zum Unterschied zu früheren Fassungen der Cherninschen Gleichungen können die jetzigen zu einer einzigen Gleichung zweiter Ordnung auf eine komplexe Spannungsfunktion zusammengefaßt werden, wie dies im Falle rotationssymmetrischer Spannung auch möglich ist. Dabei sind keine zusätzlichen Näherungen für gleichförmige Zylinder-, Kugel-, Kegel- und Ringflächenschalen notwendig. Es zeigt sich, daß das Problem der Beanspruchung einer Stumpfschale durch Seitenkraft und Momente statisch und geometrisch analog ist zum Problem der Beanspruchung eines Ringschalensektors durch unsymmetrische Biegung und Drillung. Es wird ein Verfahren zur Bestimmung der Einflußkoeffizienten angegeben. Außerdem wird der Spannungszustand in einer gleichförmigen vollständigen Kugelschale analysiert, die durch eine einzelne Seitenkraft und Momente an den zwei Polen beansprucht wird.

     

Method of initial functions for thick transversely isotropic shells

Summary In the present work for circular cylindrical shells, three-dimensional elasticity equations are solved by assuming Taylor series expansions, in the radial direction, for the stresses and displacements. Depending upon the number of terms retained in the expansion, different order shell theories are derived. Classical theories (referred to as eighth-order), the shear deformation-transverse normal stress theories (referred to as tenth-order), and higher order theories (referred to as twelfth-order) are derived. In each case, by carrying out the symbolic algebra using the digital computer, partial differential equations are derived. The procedure was carried out in detail for the case of a circular cylindrical shell with no loading on the interior surface and a given pressure distribution on the exterior surface. Then, numerical comparisons are made between the current theories and various shell theories, as well as the exact (three-dimensional) theory. Thus, using this method with its associated computer programs, one can realize a spectrum of approximate shell theories ranging from the classical thin shell, through all current thick shell theories, and approaching the three-dimensional elastic theories.

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Die Methode der Anfangsfunktionen für dicke transversal-isotrope Schalen

Übersicht Mit Hilfe von radialen Taylor-Reihenentwicklungen für die Spannungen und Verschiebungen werden für kreiszylindrische Schalen die Gleichungen der dreidimensionalen Elastizität gelöst. Je nach Anzahl der mitgenommenen Terme der Entwicklung werden Schalentheorien verschiedener Ordnung hergeleitet, und zwar klassische Theorien 8. Ordnung, Theorien 10. Ordnung für schubweiche Schalen mit Berücksichtigung der transversalen Normalspannung sowie Theorien 12. Ordnung. Für jeden Fall werden mit Hilfe eines Rechnerprogramms für symbolische Algebra partielle Differentialgleichungen bestimmt. Vollständig wird das Verfahren für kreiszylindrische Schalen, die auf der Innenseite unbelastet und außen durch eine vorgegebene Druckverteilung belastet sind, durchgeführt. Danach werden numerische Vergleiche zwischen den verschiedenen Schalentheorien sowie mit der exakten dreidimensionalen Theorie vorgenommen. Somit kann man mit der benutzten Methode und den zugehörigen Rechenprogrammen einen Überblick über die Approximation der dreidimensionalen Elastizität durch die verschiedenen Schalentheorien gewinnen.

     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen mit schwacher Veränderlichkeit der Schalenkrümmungen

Zusammenfassung Es wird eine Biegetheorie erster Näherung für die abklingenden Randstörungen von Rotationsschalen gegeben, deren Ränder mit Breitenkreisen zusammenfallen. Die erzeugende Meridiankurve kann bis auf geringe Einschränkungen beliebig sein. Es werden nur solche extremen Krümmungsänderungen ausgeschlossen, die bei üblichen bautechnischen Schalen praktisch nicht vorkommen. Die formale Behandlung der gegebenen Gleichungen gibt ganz von selbst eine Übersicht über die vorhandenen nicht abklingenden Lösungen. Diese dehnungslosen Verformungen und homogenen Membranlösungen ergänzen die abklingenden Randstörungen zu dem vollständigen Lösungssatz der Biegetheorie. Die vorliegende Biegetheorie überträgt ungefähr die Donnell-Jenkinssche Näherungstheorie für Zylinderschalen auf beliebige Rotationsschalen. Sie kann als Erweiterung der Geckelerschen Näherung angeschen werden, die hier jedoch auch für Schalen negativer Gauscher Krümmung gilt. Die Differentialgleichung bleibt von achter Ordnung. Sie schließt daher die bekannten Gleichungen für Kugelschalen, für flache Schalen und für Torsen als Sonderfälle ein, bei denen sämtliche Integrale, auch die nicht abklingenden, auf dem hier gezeigten Lösungsweg gefunden werden.Auszug der Habilitationsschrift des Verfassers: Asymptotische Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen ..., Hannover 1963, eingereicht 1961. Die Arbeit entstand z. T. unter dem Visiting Research Scientists Program der National Academy of Sciences, USA.     

Allgemeine Schalentheorie beliebiger Werkstoffe und Verformungen

Übersicht Ausgehend von den beiden Hauptsätzen der Thermodynamik werden die Grundgleichungen eines dicken Schalenkontinuums abgeleitet, wobei beliebige Materialien, Bewegungen, Wärmeflüsse und -quellen Berücksichtigung finden. Der Schalenwerkstoff verfügt außerdem über geschwindigkeitsdämpfende Eigenschaften. Die Anwendung eines Invarianzprinzips führt auf Bewegungsgleichungen, Symmetriebedingungen und Stoffgesetze in bekannter Form, aus denen schließlich durch eine lineare Approximation die entsprechenden Beziehungen für dünne Schalen gewonnen werden.

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Summary Using thermodynamic considerations the present paper derives basic equations of thick shells for arbitrary material and large deflections. Heat supply and heat flux is taken into consideration and the shell material owns velocity-damping properties. After several specific transformations a spatial invariance requirement leads to the equations of motion, the wellknown symmetry conditions and general constitutive equations. Finally all equations derived are specified to thin shells by a linear approximation.

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Diese Veröffentlichung ist Teil einer Forschungsarbeit an der University of California in Berkeley, die von der Deutschen Forschungsgemeinschaft finanziert und von Prof. P. M. Naghdi durch vielfältige Unterstützung ermöglicht wurde.     

On the propagation of flexural waves in anisotropic bars

Summary Propagation of flexural waves in circularly cylindrical bars of anisotropic material on the basis of the exact three-dimensional theory of elasticity of small deformations is considered, the rigor of the analysis being the same as the one of the Pochhammer-Chree theory. A system of the governing equations of motion for the cylindrical orthotropy (its axis coinciding with the axis of the bar) is derived and expressed in terms of radial, tangential and axial displacement components. For a steady-state sinusoidal flexural wave the system reduces to coupled ordinary second order differential equations with a regular singular point. Solution for a transversely isotropic is obtained by means of Frobenius series method. Upon using two or three terms of the series approximate dispersion relations for isotropic material as well as for the pyrolytic graphite type material and two other types of anisotropic materials are obtained and illustrated by graphs. Higher order modes than those already known are found.

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Übersicht Die Fortpflanzung von Biegewellen in kreiszylindrischen Balken aus anisotropem Material wird auf der Grundlage der exakten dreidimensionalen Elastizitätstheorie kleiner Verformungen betrachtet. Die Strenge der hier gegebenen Untersuchungen entspricht der in der Theorie von Pochhammer-Chree. Das System der Bewegungsgleichungen wird für zylindrische Orthotropie, deren Achse mit der Balkenachse zusammenfällt, abgeleitet und durch die radialen, atngentialen und axialen Verschiebungskomponenten ausgedrückt. Das System reduziert sich im Fall einer stationären sinusförmigen Biegewelle auf gekoppelte, gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit einem singulären Punkt. Lösungen für transversale Isotropie werden mit Hilfe der Reihenmethode von Frobenius abgeleitet. Unter Verwendung von zwei oder drei Gliedern dieser Reihen werden angenäherte Dispersionsbeziehungen sowohl für isotropes Material als auch für Material vom Typ pyrolytischen Graphits und für zwei andere Typen anisotropischer Materialien erhalten und graphisch dargestellt. Es werden Schwingungsformen gefunden, die von höherer Ordnung als die bisher bekannten sind.

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Research supported by a grant of the National Science Foundation.     

On consistent first approximations in the general linear theory of thin elastic shells

Summary This paper, as a number of earlier ones, is concerned with the rational establishment of twodimensional differential equations for the approximate analysis of stress and strain in elastic layers with spacecurved middle surface. It has been known for some time that the principal difficulty of this problem is to establish rational two-dimensional constitutive equations which correspond to a given system of constitutive equations for the layer treated as a three-dimensional continuum. — In an earlier publication [18] the point had been made that since two-dimensional shell theory was concerned with stress resultants and stress couples, it ought to be advantageous to derive such a theory from a three-dimensional theory in which force stresses as well as moment stresses were incorporated, even for media which, actually, were incapable of supporting moment stresses. — The earlier work [18] had indicated that, mathematically, the advantages of approaching the derivation of two-dimensional shell theory from three-dimensional moment stress elastically theory had to do with the form of the compatibility equations for strain in such a three-dimensional theory. Briefly, with these three-dimensional compatibility equations it becomes possible to concentrate all three-dimensional aspects of the shell problem in a three-dimensional system of integro-differential constitutive equations, and the task of deriving rational two-dimensional constitutive equations becomes nothing but the task of establishing suitable asymptotic expansions for the solutions of these three-dimensional integro-differential equations. In the work in [18] this task had not actually been carried out. The present paper establishes a significant rearrangement of the system of integro-differential equations, in such a way that the nature of the necessary asymptotic expansions is made evident. — With this, explicit results are obtained which include the system of two-dimensional constitutive equations of Koiter and Sanders for an iotropic homogeneous medium, as well as a system of constitutive equations for a class of shells for which the normals to the middle surface are not directions of elastic symmetry, as well as a system of constitutive equations for shells which are sufficiently soft in transverse shear to make transverse shear deformation a first-order effect.

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Übersicht In dieser Veröffentlichung wird die rationelle Aufstellung der zweidimensionalen Differentialgleichungen für die näherungsweise Bestimmung von Spannungen und Verformungen in elastischen Schichten mit räumlich gekrümmter Mittelfläche behandelt. Es ist bekannt, daß die Hauptschwierigkeit dabei im Aufstellen von zweidimensionalen Stoffgleichungen besteht, die einem gegebenen System von Stoffgleichungen für eine als dreidimensionales Kontinuum behandelten Schicht entsprechen. In einer früheren Veröffentlichung [18] wurde darauf hingewiesen, daß es vorteilhaft sein könnte, eine solche Theorie aus einer dreidimensionalen Theorie abzuleiten, in der sowohl Momentspannungen als auch Kraftspannungen berücksichtigt werden. Das gilt auch für solche Stoffe, die in Wirklichkeit nicht in der Lage sind, Momentenspannungen aufzunehmen. — Es wurde seinerzeit gezeigt, daß die Vorteile einer Ableitung der genäherten zweidimensionalen Schalentheorie aus der dreidimensionalen Elastizitätstheorie mit der Form der Verträglichkeitsbedingungen für die Verformungen in dieser dreidimensionalen Theorie zusammenhängen. Mit Hilfe dieser dreidimensionalen Verträglichkeitsbedingungen wird es möglich, alle dreidimensionalen Aspekte des Schalenproblems in einem dreidimensionalen System von Integro-Differentialgleichungen für das Stoffverhalten zu konzentrieren, so daß die Ableitung zweidimensionaler Stoffgleichungen nichts anderes ist, als das Aufstellen geeigneter asymptotischer Reihenentwicklungen für die Lösungen dieser dreidimensionalen Integro-Differentialgleichungen. Das wurde jedoch in [18] noch nicht ausgeführt. In der vorliegenden Veröffentlichung wird das System der Integro-Diffe-rentialgleichungen so umgeformt, daß die Art der notwendigen asymptotischen Entwicklungen deutlich wird. Auf diese Weise werden explizite Ergebnisse erhalten, die das System der zweidimensionalen Stoffgleichungen von Koiter und Sanders für ein isotropes homogenes Medium einschließen. Desgleichen sind darin enthalten die Stoffgleichungen für eine Klasse von Schalen, für die die Normalen zur Mittelfläche nicht mit den Richtungen der elastischen Symmetrie übereinstimmen, sowie auch die Stoffgleichungen für Schalen, die hinreichend weich gegenüber Querschub sind, so daß Querschubdeformationen als Effekte erster Ordnung auftreten.

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A report on work supported by the Office of Naval Research, Washington, D.C.     

Composite shells with interlaminar imperfections

Summary In this contribution the effect of interlaminar initial imperfections on a composite shell behavior is investigated. The constitutive equations for shells with initial interlaminar bonding imperfections are obtained.

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Verbundstoffschalen mit Zwischenschichtdefekten

Übersicht In diesem Beitrag wird der Einfluß von anfänglichen Zwischenschichtdefekten auf das Verhalten einer Verbundstoffschale untersucht und die Materialgesetze für solche Schalen werden aufgestellt.

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The main theses of this paper have been presented on EUROMECH 292, Sept. 1992     

Geometrically nonlinear behavior of initially curved plane slender bars and frames

Summary Field equations for the geometrically nonlinear behavior of initially curved plane slender bars and frames comprising such bars are presented. Formulation originates from Continuum Solid Mechanics, allowing for exact expressions of axial deformation and curvature to be accounted for and unrestricted finite displacements to be considered within accepted assumptions regarding slenderness. Equilibrium equations are derived in terms of the curvature and displacements, in the form of second order nonlinear polynomial differential equations, governing the nonlinear behavior of the single bar. These equations combined with joint force and compatibility equations yield a system representing the nonlinear behavior of a complete plane frame.

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Übersicht Es werden Feldgleichungen für das geometrisch nichtlineare Verhalten von vorgekrümmten ebenen schlanken Balken sowie von Rahmen aus derartigen Balken abgeleitet. Mit Hilfe der in der Kontinuumsmechanik fester Körper gebräuchlichen Formulierungen lassen sich exakte Ausdrücke für die achsiale Verformung und Krümmung sowie für unbeschränkte Verschiebungen finden. Dabei müssen gewisse Annahmen in bezug auf die Schlankheit vorausgesetzt werden. Die Gleichgewichtsbedingungen werden durch Krümmung und Verschiebung ausgedrückt, durch eine Polynom-Differentialgleichung zweiter Ordnung wird das nichtlineare Verhalten des einzelnen Balkens beschrieben. Diese Gleichungen bestimmen zusammen mit den Kraft- und Verträglichkeits-Bedingungen das nichtlineare Verhalten des gesamten ebenen Rahmens.

     

Zur Stabilität von Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Das Zustandekommen von Instabilitäten des Zellularströmungstyps in der ebenen und kreisförmigen Couette-Strömung aufgrund von Trägheit und Viskoelastizität wird anschaulich gemacht, und es werden die Störungsgleichungen für eine sog. Theorie 2. Ordnung aufgestellt und diskutiert. Diese Gleichungen werden für die ebene Couette-Strömung in vollständiger Form und anschließend für die nicht-ebene Couette-Strömung unter Vernachlässigung der Trägheit gelöst. Man findet, daß in beiden Fällen die sog. zweite Normalspannungs-differenz eine entscheidende Rolle spielt. Weiter wird gezeigt, daß die gefundenen Kriterien auch über den Anwendungsbereich der Theorie 2. Ordnung hinaus als Näherung gültig bleiben, wenn man die darin vorkommenden Materialkonstanten durch die entsprechenden Materialfunktionen ersetzt. Zum Abschluß werden orientierende Versuche mit einer Couette-Apparatur an viskoelastischen Flüssigkeiten beschrieben. In einer Polyisobutylenlösung treten Instabilitäten des diskutierten Typs bereits unter Bedingungen auf, bei denen die Drehzahl etwa 600 mal kleiner ist, als sie für die Erzeugung derartiger Störungen in einer vergleichbaren Newtonschen Flüssigkeit benötigt würde. In einer Al-Naphthenat-Lösung wird außerdem das Einsetzen elastischer Turbulenz beobachtet, wobei die Drehzahl ca. 30 mal kleiner ist, als sie zur Erzeugung von Trägheitsturbulenz sein müßte.

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Summary Instabilities of the cellular type in straight and circular Couette flow as generated by inertia and visco-elasticity are elucidated, and perturbation equations are derived and discussed for a second-order theory. For straight Couette flow these equations are solved in full generality, but for circular Couette flow with neglect of inertia only. It is found that in both cases the so-called second normal-stress difference is of decisive importance. It is shown further, that stability criteria may also be used as a good approximation outside the range of applicability of the second-order theory, if the material constants are substituted by the respective material functions. Finally, some makeshift experiments with viscoelastic fluids in a Couette apparatus are briefly described. A solution of polyisobutylene shows instabilities of the discussed type under conditions in which the rotational speed is about 600 times lower than it should be for generating such disturbances in comparable Newtonian fluids. In a solution of Al-naphthenate, in addition the transition to elastic turbulent flow was observed. Here, the speed was about 30 times lower than it should be to generate inertial turbulence.

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Herrn Dr. phil. W. Meskat zum 60. Geburtstag gewidmet

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Über die Ergebnisse dieser Untersuchung wurde auf der Jahrestagung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik in Darmstadt am 13. April 1966 berichtet, vgl. (12).

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Herrn Dr.G. Kaufhold und Herrn Stud.-ReferendarH. Schmittmann sei für die Vorbereitung und Durchführung der numerischen Rechnungen, sowie Herrn Dr.J. Pawlowski für die Bestimmung der Fließkurven herzlich gedankt. Den Herren cand. phys.E. Schultes undH. Pickelin gebührt Dank für die sorgfältige Durchführung der Experimente.     

Simple wave interaction of an elastic string

Summary The equations for the two-dimensional motion of a completely flexible elastic string can be derived from a Lagrangian. The equations of motion possess four characteristic velocities, to which the following four simple wave solutions correspond: leftward and rightward propagating longitudinal and transverse waves. The latter are exceptional (constant shape). By expanding the solution about a steady solution the interaction of simple waves may be studied. A typical result is the following: As a consequence of their interaction two transverse waves running into opposite directions emit a longitudinal wave and undergo themselves a translation over a finite distance but remain otherwise unchanged. The results are also valuable for a full comprehension of the interaction process of simple waves on inextensible strings.

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Zusammenfassung Die Gleichungen für die ebene Bewegung eines ideal flexiblen elastischen Seils lassen sich aus einer Lagrange-Funktion ableiten. Die Bewegungsgleichungen besitzen vier charakteristische Geschwindigkeiten. Ihnen entsprechen vier mögliche einfache Wellen: links- und rechtsläufige longitudinale und transversale Wellen. Die letzteren sind ausgeartet (von konstanter Form). Durch Entwicklung der Lösung um eine stationäre Lösung läßt sich die Wechselwirkung einfacher Wellen studieren. Ein typisches Ergebnis ist das folgende: Infolge ihrer Wechselwirkung emittieren zwei gegenläufige transversale Wellen eine longitudinale Welle und erleiden selbst eine Versetzung um eine endliche Strecke, bleiben aber sonst ungeändert. Die Ergebnisse sind auch wertvoll für ein tieferes Verständnis der Wechselwirkung einfacher Wellen auf undehnbaren Seilen.

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With 1 figure and 1 table     

Transient displacement and stress in non-homogeneous elastic shells

Summary Transient displacement and stress in thick inhomogeneous cylindrical and spherical shells is investigated for situations when the surfaces are subjected to dynamic loads consistent with the production of radial vibrations. In the first instance, transformation of the governing equations is sought to a form amenable to solution via a finite Hankel transform technique. Such reduction is available for a broad class of radial variations in the material density and elastic parameters. However, the solutions generated by this method are rather involved and two other approaches are indicated. Thus, reduction of the system to the conventional wave equation is obtained under certain restrictions on the nature of the inhomogeneities and a simple correspondence principle is presented for the imposed boundary stress boundary value problem. Finally an asymptotic wave front analysis is presented which has a wide generality of application.

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Zusammenfassung Es werden die zeitlich vorübergehenden Verrückungen und Spannungsänderungen in dicken inhomgenen zylinder-und kugelförmigen Schalen für den Fall untersucht, dass die Oberfläche dynamischen Belastungen ausgesetzt ist, die strahlenförmige Schwingungen produzieren. Zunächst werden Tranformationen der auftretended Gleichungen gesucht, die eine Lösung mit Hilfe von endlichen Hankeltransformations-Techniken zulassen. Eine solche Reduzierung ist für eine grosse Klasse von abstandsabhängigen Veränderungen der Dichte-und Elastizitätsparameter \:moglich.Die so erhaltenen Lösungen sind jedoch recht kompliziert, und zwei weitere Lösungsmöglichkeiten werden angedeutet. Einmal erhält man unter gewissen Beschränkungen bezüglich der Art der Inhomogenitäten eine Reduzierung des Gleichungssystems auf die gewögnliche Wellengleichung, zum anderen wird ein einfaches Korrespondensprinzip für das betrachtete Randwertproblem aufgestellt. Schliesslich wird eine asymptotische Wellenfrontanalyse entwickelt, die vielseitig verwendbar ist.

     

Heat transfer from non-isothermal surfaces in the stagnation-point flow of a micropolar fluid

Summary This paper contains a numerical study of the development of the thermal boundary layer on an impermeable flat surface, following a step change in surface temperature, for stagnation-point flow of a micropolar fluid. A study is made of the relative effects of the individual parameters in the equations, and a comparison of certain integral parameters, representative of the flow, is used to assess the accuracy of the results.

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Zusammenfassung Diese Arbeit enthält eine numerische Untersuchung der Entwicklung der thermischen Grenzschicht auf einer undurchlässigen ebenen Oberfläche nach stufenförmigem Sprung in der Oberflächentemperatur für die Staupunktsströmung einer mikropolaren Flüssigkeit. Die relativen Auswirkungen der einzelnen Parameter in den Gleichungen werden untersucht und ein Vergleich von gewissen, für die Strömung repräsentativen integralen Parametern wird durchgeführt, um die Genauigkeit der Ergebnisse abzuschätzen.

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With 4 figures and 1 table     

Der zylindrische Schalenstreifen oberhalb der Beulgrenze

Zusammenfassung Oberhalb der Beulgrenze versagt die linearisierte Elastizitätstheorie. Man erhält eine erste Näherung für das elastische Verhalten ausgebeulter Bauteile, wenn man von den Potenzentwicklungen der Deformationen bei der Ausbiegung die Glieder zweiter Ordnung hinzunimmt, während man sich bei den Verschiebungen senkrecht zur Ausbeulrichtung weiterhin auf die linearen Glieder beschränken darf. Ferner darf man schwach gekrümmte Schalen als vorgekrümmte Platten behandeln.Unter diesen Voraussetzungen wurde mit Hilfe der energetischen Methode in der von Marguerre angegebenen Form ein sehr langer, schwach gekrümmter Schalenstreifen unter Schubund axialer Druckbelastung untersucht. Für ein bestimmtes Krümmungsmaß wurden Diagramme angegeben, aus denen die berechneten elastischen Größen für die beiden Grenzfälle vollkommen nachgiebiger und vollkommen steifer Querstützen entnommen werden können.     

Gleichungen für die dynamische Viskosität und die Wärmeleitfähigkeit von reinem fluidem Wasser

Zusammenfassung Methoden zum Aufstellen von Gleichungen für die dynamische Viskosität und die Wärmeleitfähigkeit reiner fluider Stoffe werden angegeben und ihre Brauchbarkeit wird bei H₂O nachgewiesen. Es ergibt sich nur jeweils eine Gleichung für die Berechnung der Transportgrößen, die allerdings die Variablen Temperatur und Dichte anstelle von Temperatur und Druck enthält, dafür aber das ganze Gas- und Flüssigkeitsgebiet erfaßt. Es werden neue Erkenntnisse über die prinzipielle Abhängigkeit der Transportgrößen von Temperatur und Dichte gewonnen.

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Equations for the dynamic viscosity and the thermal conductivity of pure fluid water substance

Methods for formulating equations for the dynamic viscosity and the thermal conductivity of pure fluid substances are given; their applicability is proved for H₂O. It is found that only one equation is needed to calculate the transport properties, which has the variables temperature and density instead of temperature and pressure, but covers the whole gaseous and liquid region. New knowledge of the principal dependence of the transport properties on temperature and density is attained.

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Über dieses Thema wurde am 6. 10. 1969 auf dem Thermodynamik-Kolloquium des VDI in Zürich berichtet.     

On the analysis of thick rectangular plates

Summary Thick rectangular plates are investigated using the method of initial functions proposed by Vlasov. The governing equations are derived from the three-dimensional elasticity equations using a MacLaurin series approach. As the governing equations can be obtained in the form of series, approximate theories of any desired order can be constructed easily by proper truncation. An exact solution is obtained for an allround simply supported thick plate using a Navier type solution. A Levy type solution for higher order theories is illustrated for the case of a thick plate with two opposite edges simply supported and other two edges clamped. Numerical results obtained are compared with those of classical, Reissner and Srinivas et al. solutions.

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Übersicht Mit Hilfe der Methode der Initial-Funktionen von Vlasov werden rechteckige Platten untersucht. Die zugehörigen Gleichungen werden aus den Gleichungen für das dreidimensionale Problem durch eine Entwicklung in MacLaurin-Reihen gewonnen. Durch Abbrechen dieser Reihen können Näherungen beliebiger Ordnung erhalten werden. Für den Fall einer allseitig einfach gelagerten dicken Platte wird eine exakte Lösung erhalten, bei der eine Lösung vom Navier-Typ verwendet wird. Eine Lösung vom Levy-Typ höherer Ordnung wird am Beispiel einer dicken Platte abgeleitet, von der zwei gegenüberliegende Ecken einfach gelagert, die anderen fest eingespannt sind. Die numerischen Ergebnisse werden mit den klassischen, von Reissner, Srinivas u. a. erhaltenen Resultaten verglichen.

     

Non-similar solutions of free convection flow over a vertical frustum of a cone for constant wall temperature

Summary The laminar free convection flow and heat transfer over a vertical frustum of a cone is studied. The governing boundary layer equations are solved using local non-similarity method for constant wall temperature case. Local similarity and the local non-similarity two- and three-equation models are constructed and the resulting equations are solved numerically. Results obtained from two- and three-equation models are in good agreement. The numerical values of the flow and temperature functions required to calculate the surface skin friction and heat transfer rate have been reported for various values of Prandtl numbers.

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Nichtähnlichkeits-Lösnngen für die freie Konvektionsströmung an einem vertikalen Kegelstumpf bei konstanter Wandtemperatur

Übersicht Untersucht wird die laminare freie Konvektionsströmung und der Wärmeübergang an einem vertikalen Kegelstumpf. Zur Lösung der zugehörigen Grenzschichtgleichungen im Fall konstanter Wandtemperatur werden die Modelle der lokalen Ähnlichkeit und der lokalen Nichtähnlichkeit mit zwei bzw. drei Gleichungen eingeführt und die sich ergebenden Gleichungen numerisch gelöst. Die Lösungen nach den Modellen mit zwei und drei Gleichungen passen gut zusammen. Die Zahlenwerte von Strom- und Temperaturfunktionen, die für die Berechnung der Wandschubspannung und der Wärmeübergangsrate benötigt werden, sind für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl angegeben.

     

Theory and numerics of thin elastic shells with finite rotations

Summary A bending theory for thin shells undergoing finite rotations is presented, and its associated finite element model is described. The kinematic assumption is based on a Reissner-Mindlin theory. The starting point for the derivation of the strain measures is the polar decomposition of the material deformation gradient. The work-conjugate stress resultants and stress couples are integrals of the Biot stress tensor. This tensor is invariant with respect to rigid body motions and therefore appropriate for the formulation of constitutive equations. The rotations are described by using Eulerian angles. The finite element discretization of arbitrary shells is performed using isoparametric elements. The advantage of the proposed shell formulation and its numerical model is shown by application to different non-linear plate and shell problems. Finite rotations can be calculated within one load increment. Thus the step size of the load increment is only imited by the local convergence behaviour of Newton's method or the appearance of stability phenomena.

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Theorie und numerische Analysis dünner elastischer Schalen mit endlichen Drehungen

Übersicht Es wird eine Biegetheorie elastischer Schalen mit endlichen Drehungen dargestellt und die numerische Behandlung mit der Methode der finiten Elemente beschrieben. Dazu müssen die Verzerrungen und die schwache Form des Gleichgewichts angegeben werden. Es wird eine Reissner-Mindlin-Kinematik zugrunde gelegt. Die Verwendung des Greenschen Verzerrungstensors führt im Schalenraum bei endlichen Drehungen auf sehr komplizierte Ausdrücke. Daher wird von der polaren Zerlegung des materiallen Deformationsgradienten ausgegangen. In diesem Fall sind die Kräfte und Momente Spannungsresultierende des Biot-Spannungstensors, der invariant gegenüber Starrkörperbewegungen und somit für ein Stoffgesetz geeignet ist. Als Drehkinematen werden Eulerwinkel verwandt. Um allgemeine Schalengeometrien beschreiben zu können, wird eine isoparametrische Elementformulierung gewählt. Endliche Drehungen können in den berechneten Platten- und Schalenproblemen in einem Lastschritt aufgebracht werden. Die Lastschrittweite wird nur durch das Lösungsverfahren und das Auftreten von Stabilitätspunkten beschränkt.

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Dedicated to the memory of Dr. Dieter Withum who died on June 25, 1979. At the time of his death, Dr. Withum was Professor of Engineering Mechanics at the University of the German Federal Armed Forces in Munich. He would have been 60 years old on September 29, 1988     

Finite-element analysis of slow incompressible viscous fluid motion

Summary The governing field equations and the constitutive relation are specialized to the boundary value formulation of incompressible viscous fluid motion excluding thermal effects. When choosing the velocities and the hydrostatic pressures as variables, the established non-linear matrix equation in terms of finite-element properties becomes valid for both two- and three-dimensional application. It is shown that a restricted class of problems readily fits within the scope of existing finite-element software designed for conventional structural mechanics analysis provided an effective Lagrange multiplier technique can be incorporated.Two curved triangular finite-element models are proposed for both two-dimensional and axisymmetric flow, based on a and order Lagrangian and 3rd order Hermitian interpolation set for the velocities. Some typical examples are attached including linear stationary and transient problems, as well as non-linear cavity flow at moderate Reynolds numbers.

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Übersicht Die Feldgleichungen und das Stoffgesetz werden für die Formulierung der Randwertaufgabe für inkompressible zähe Strömungen spezialisiert, wobei thermische Effekte unberücksichtigt bleiben. Die entwickelte nichtlineare Matrizenbeziehung in Termen der Finite-Element-Schreibweise gilt sowohl für zweidimensionale als auch für dreidimensionale Anwendungen, sofern die Geschwindigkeitskomponenten und der hydrostatische Druck als Strömungsvariablen gewählt werden. Es wird gezeigt, daß eine eingeschränkte Klasse von Problemen direkt im Rahmen bereits bestehender Finite-Element-Programme gelöst werden kann, die für herkömmliche Aufgaben der Strukturmechanik entwickelt wurden, sofern ein effektiver Einbau der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren möglich ist.Für zweidimensionale und achsensymmetrische Strömungen werden zwei krummseitige dreiecksförmige Finite-Element-Modelle vorgeschlagen, deren Geschwindigkeitsfelder mit Hilfe einer Lagrangeschen Interpolation zweiter Ordnung bzw. eines Hermiteschen Ansatzes dritter Ordnung approximiert werden. Einige typische Beispiele behandeln lineare stationäre und instationäre Probleme, sowie eine nichtlineare Hohlraumströmung bei kleineren Reynolds-Zahlen.

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Professor Dr. Ing. Dr. h. c. Eduard C. Pestel zu seinem 60. Geburtstag herzlichst gewidmet.     

Growth of a dent on an isothermal fluid filament in uniaxial extension a spinnability model in Lagrangian coordinate

Summary Growth of an arbitrarily shaped dent made on a filament of power law and Maxwell type fluids being uniaxially extended was analysed in the Lagrangian coordinate assuming inertia, surface tension, gravity and air drag forces to be negligible in comparison to the rheological force.The use of the Lagrangian coordinate reduced the problem essentially into that of the extension of a uniform fluid cylinder thereby leading to a simple and straightforward solution of the nonlinear governing equations. An analytical solution was obtained with power law fluids. Within the context of the present dent growth problem the above nonlinear solution was so simple and clearcut that recource to the linearized perturbation method was totally unnecessary.

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Zusammenfassung Das Wachstum einer beliebig geformten Kerbe in einem Spinnfaden bei der einachsigen Verstreckung wird für eine Potenz-Gesetz-Flüssigkeit und eine Maxwell-Flüssigkeit berechnet. Dabei wird ein Lagrangesches Koordinatensystem gewählt, und es werden Trägheits-, Oberflächenspannungs-, Gravitations-und Luftreibungseffekte vernachlässigt.Die Verwendung Lagrangescher Koordinaten reduziert das Problem wesentlich auf dasjenige der Dehnung eines gleichmäßigen Flüssigkeitszylinders und führt daher auf eine einfache und direkte Lösung der das Problem bestimmenden nicht-linearen Gleichungen. Für Potenz-Gesetz-Flüssigkeiten werden auf diese Weise analytische Lösungen gefunden. Wegen der Einfachheit des Problems braucht in dieser Darstellung nirgends auf linearisierte Störungsmethoden zurückgegriffen zu werden.

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With 19 figures