再談中等專業学校数学中的“近似計算”問題

在去年中專校代数初出版时,讀了“近似計算”一章,曾写几点意見,投登本刊(56年11月号)。再讀新出版的中專校数学教科書——几何、三角、高等数学,觉得各教科書在貫徹近似计算方面,基本上已完成了中專校数学教学大綱所提出有关的教学任务,但在具体問題上,我想再提出几点意見,請同志們指正。     

近似計算

1.为什麼要用近似值及近似計算? 在日常生活中及工程設計及施工中我們遇到的數值絕大多數是有一定準確度的近似值,我們的錶告訴我們時間的一个近似值,如果每天中午無線电的報時与我們的錶在校正前相差不到半分鐘,那麼我們的錶已經足够準確了,要求我們的錶絕对準確是不可能的,也是不必要的。在工程施工中要求的準確度也是有一定限度的,有些零件要求準確到千分之一寸,有些零件要求準確到十万分之一寸,不过在任何情形下,要求絕对準確是不可能的,也是不必要的,要求过苛的準確度就要造成人力的浪費,要求的準確度不够就要造成很多廢品,結果浪費人力及資財,我們要求,也僅僅要求,足够的恰到好处的準確度,多餘或不足的準確度都会帶來損失。把幾个近似值加以加减乘除等运算後所得的結果仍是一个近似值。例如用算盤或筆算算出     

关于三分角問題的近似作图法問題

目前为止,还有相当多的朋友,虽然已經承认了用圓規直尺去三等分任意一角是不可能的了(其理由詳見[1],[2]及[3]),但是,他們却在致力于三分角的近似作图法的研究。我們在本文中将要指出,用圆規直尺可以作近似的三等分角,其精确的程度为:誤差可达任意小。如此看来,一切制造一个步署來作三分角的近似作图法的研究,是沒有新的創造意义的。希望还在致力于近似作三分角的朋友們不要再因为在已經彻底終結了的这类古典几何作图題上浪費时間和精力。我們的結論是: 定理.对任意給定的角φ,則对于任意的一小角ε>0,一定可以用圓規和直尺作得一角品(?)*,可使滿足 |(?)*-φ/3|<ε,(*) 其中φ,(?)*,ε的讀数是弧度的数值。 証.显然可以不妨假設0<φ<π/2。用圓規和直尺作两条相交的直綫OA和OB,它們相交子O点的夹角∠AOB=φ,再以O为圓心,以半径为1=OA的长作圓交OA及OB于A及B点,A和B連成綫段AB,其长度記作L。由三角学的知識,得     

对数的近似計算

我们有时是应用对数作为辅助工具来提高计算速度的,因此必须研究。当采用不同精确度的对数进行计算时,将产生怎样的误差。在对数表里,两个相邻真数的差和它们对数的值来比较是足够微小的。设N和N+h是顺次排列的两个真数,它们的对数(常用对数)的差α就是α=lg(N+h)-lgN=lg(N+h)/N=lg(1+h/N)。(1) 从数学分析里,我们知道 ln(1+h/N)=h/N-1/2·(h/N)~2+1/3·(h/N)~3-…,联系换底公式,就得到 lg(1+h/N)=lge·ln(1+h/N)= =lge·[h/N-1/2·(h/N)~2+1/3·(h/N)~3-…] ≈0.434·[h/N-1/2·(h/N)~2+1/3·(h/N)~3-…]。(2) (2)式右边括号里的第二项1/2(h/N)~2比起第一项h/N来是很小的,略去了它不致影响到对数表里尾数的末一位数的精确性(略去它后面的各项更没有关系)。例如,对于四位对数表,如果(实际上正是这样做)取     

“近似計算”中几个問题的商榷

讀了中等專業学校代数(1956年8月上海第一版)“近似計算”一章以后,我觉得它比卡尔宁著的譯本——試用本同章在編写方面要好得多;叙述簡潔,基本概念交代得明显突出,習題也比較充实,因此使用这一教本在教学方面所能取得的效果一定会更大,但是在这一章中,我以为还有些問題值得商榷,將我的認識写在下面,請同志們指正。 1.§18近似数的取法,举了“四舍五入法”,也举了“去尾法”,我認为同时应簡介“收尾法”,因为教本本身在講絕对誤差界及过剩近     

关於在等高线图上計算矿藏儲量与坡地面积的問題

<正> 戚謝我国的地理、矿冶与地貭工作者們,他們向我們介紹了不少計算矿藏儲量与計算坡地面积的实用方法,使我們能学习到这些方法,从而进行了一些研究.作者試图在本文中对这些方法进行比較,闡明它們相互之間的关系,与这些方法的偏差情况,并提出若干建議. 关于分层計算矿藏儲量方面,在矿体几何学上(見[2]—[4])有公式,截錐     

近似計算的基本法則

(一) 中学里的近似計算,有两个方面的問題,一起近似数据的运算:已知参加运算的近似数(亦称为原始数据)的准确度,要决定其运算結果的准确度;另一个方面的問題是預定准确度的計算:預先知道了計算結果所需要的准确度,而要决定原始数据应当采取的准确度。这两个方面問題的解决,是用法则的形式来叙述的,这些基本的法則是怎样建立起来的呢?为了討论这一問題,应該明确以下几点: 第一,近似計算的根本目的在于用最少的劳力和时间,較好地解决生产实际和日常生活中的一些近似数据的計算问題。通过数学上的計算来解决生产上或日常生活中的     

复数計算与几何証題

同学們在代数課程中学习复数这一部分的时候,一般对复数的代数演算注意得比較多,而对这种数及其运算的几何意义注意得比較少。其实,复数及其运算的几何解释在数学中有着重要的地位,在物理学、力学中有着广泛的应用。在这一讲中我們要比較詳細地解释一下复数及其四則运算的几何意义,并且用一些有趣的例子来說明怎样利用复数演算来証平面几何題。一、复数的几何意义大家知道,如果我們在平面上引进一个笛卡儿坐标系,那么任何一个复数     

关于复习問題

学期快結束了,对学生进行一次全面的复习,把过去所学过的知識加以整理,使之更有系統,更加巩固是非常必要的。中学数学教学大綱(修訂車案,1956-1957学年度)的說明部分明确地指出“进行复习的目的,不仅是使学生在記忆上重現一下个別的公式、法則、定义、定理或者解答习題的方法,还要使学生能够对于新旧課題作更巩固而明确的联想以及邏輯的联系,能够确定解决同类問題的法則和方法的异同,并且能够以新的更全面的观点闡明所学习过的教材”。教师必須完整地領会这一精神进行組織教材与恰当运用教法,才能获得預期的效果。     

关于分配問題

引言及符号本文中所谓分配问题(或称“占位问题”),指的是给定了n个物件,r个容器,在各种限制下(如某k个容器不空等)将全部物件分入所给容器的有关问题。这里我们感兴趣的是不同分法的总数。我们不考虑物件在容器中的顺序,也不考虑容器的排列顺序。为行文简洁,不妨以“室”代表容器,如果物件是相同的,以“球”代表物体,如果物件是相异的,以“人”代表物件,这样就将分配问题分为“人分室”及“球分室”两种类型。什么叫不同的分法?在“球分室”问题中,对于任二分法,当且仅当至少有一室球数不等时,称此二分法是不同的。在“人分室”问题中,对于任二分法,当且仅当至少有一室人数不等,或人数等但人不同时,称此二分法是不同的。这类问题在统计力学中有重要意义(见[2]p.41)笔者认为在高中代数讲完“排列组合”一章后,在课外活动中适当启发学生考虑这类问题,或有助于帮助学生了解所学知识在实际中的应用,从而激发学生的学习热情,如果进而解决这些问题,或可巩固并加深对所学知识的理解,培养综合运用所学知识的能力。实际上,比如学生在做完高中代数课本习题“将6本不同的     

关于中等专业学校近似計算教法的一些体会

近似計算在中等专业学校数学课里,占有重要地位。但是,由于过去所采用的课本,以及在我们的教法方面存在着一些问题,因此几年来教学效果不能令人滿意。在总路线的鼓舞下,在党的“破除迷信,解放思想”的号召下,我們决心改变这种現象,经过努力,根据下述四項原則,对教材作了补充,教法作了改进,教学效果已有所提高。四项原則是: (一)在讲授近似計算的概念时,应当先从具体的、簡单的实例出发,使同学易于理解。这样,才符合认識发展的过程,从个别的具体的,到抽象的一般的;而且使同学深刻体会到近似計算的理論和任何科学的理論一样,都是起源于实践。     

关于复习課中的例題选择問題

为了使学生获得系統而牢固的知識,需要經常进行复习。复习課較难組織。这是由于要通过复习課把学生所获得的知識系統化,深刻化,不仅要把学生所学过的知識重新由記忆中呈現出来,同时还要闡明所学問題的某些新的方面,在重新理解旧知識的基础上,扩大、加深和修正某些概念,补足在知識或技能上某些缺陷,最后使学生获得系統、完整而牢固的知識,显然在有限时間內完成这个任务是有困难的。这就提出了这样一个問題,就是怎样在有限时間內,发揮复习課的最大效能。根据笔者在教学实践中的体会,我认为在复习課中有計划的选择适当的問題和例題,是解决上述問題的极为重要的一环。 現在把我在这方面的一些作法和看法写在下面: 一、选择典型性題目,变化題目的条件,分析比較,使学生掌握解这种問題的一般規律。比如在复习多面体这个单元时,选择了下面的一个例題,“已知正四棱台上下底面的边长分别为a和b,側面和底面所成的角是60°,求它的高、斜高、側面积、全面积和体     

关于中学数学教学里的“近似計算”

关于中学教学里近似計算內容应讲到怎样的深度与广度、怎样安排等問題,是历來研討的問題之一,現将陈定中、徐荣信两同志的文章綜合发表如下,供讀者参考。     

近似數的对數計算

当計算对數的時候,学生常常不考慮他們所从事計算的量是準確的呢还是近似的,因此就会得到不合理的計算和答案,这答案可能与所給的近似數的準確度不相適应。必須教給学生,在利用对数表作实际計算的時候,他們应当仔細地考慮,是根据什么样的已知数(準確的还是近似的)來進行运算,並且根据这點來选用合適的对數表。如在所給的例題或習題中含有的是一些準     

关于中等專業学校代数課中的近似計算的问题

本文是根据骆風和、曹国强二同志的来稿,加以綜合而成的。     

再談关于使用計算尺进行乘除时的定位問題

数学通报1957年8月号登載了管仲希同志的“計算尺使用方法”一文,文中介紹了計算尺的各部名称、尺度的刻法及使用方法,但該文談到关于使用計算尺进行乘除的定位方法时說:“心算法定位用慣了以后比較快,并可养成习惯来校正刚做好的計算,可以及早发現錯誤,免得在冗长的計算中錯誤一直存留到最后才发現。定位除心算估計外,还有另一种比較繁复的法則,但因沒有什么实用价值,故从略。”(p.13)同頁中談到关于(7)連續乘除时只应用了C,D尺度。1958年数学通报2月号,又发表了葛云书同志“关于使用計算尺进行乘除时的定位問題”一文,該文又只介紹了使用C,D尺进行乘除的定位方法。     

加强近似計算教学的一点体会

中专代数的近似计算一章,历来就是教师较难讲懂,学生较难理解的内容。其所以难教,主要问题有两个:一是学生怀疑近似数的客观存在,一是学生对近似计算法则难于理解。最基本的还是学生对度量出来的一切数都是近似数这一事实半信半疑,没有深入实际了解产生近似数的原因和实质,因而有少部分学生还往往在计算中将近似数当真值,或者认为在计算结果中数位取得越多越准确。而大部分学生则都感到对概念认识模糊,对法则不够相信,知其然不知其所以然,学习效果不够好。本期来,我组教师在教改过程中,反复学习了毛主席的教育思想,寻找改进教学方法的指针,当我们学习了毛主席的“实践论”以后,才发现学生对近似计算一章难于理解的主要原因是我们没有遵循人们对客观事物的认识规律进行教学。我们初步认识到要想使学生了解近似数的客观存在,信任近似数的计算法则,必须首先从实践开始。通过讨论我们确定了近似计算一章     

初中平面几何教学中添輔助綫的問題

在初中平面几何教学中,学生最感困难的是添輔助綫的問題。他們遇到一个需要添輔助綫的題目,就不知从何着手。有的学生因为輔助綫添不出来,完成不了作业,就感到几何难学,因而丧失了学习的信心。因此,我在教学初中平面几何时,特別注意培养学生添輔助綫的能力。下面談談我的一些体会。 1.在讲添輔助綫时,应該启发学生根据图形和題中的条件、結論来分析,找出需要的輔助綫来。例如,“在四边形ABCD中,AB∠C(图1),由于在图中AB和BC、AD和CD都不是一个三角形的两条边,为了利用三角形的边角关系,从已知条件AB相似文献   

关于函数定义的問題

函数概念的重要性,不仅是学习高等数学的基础,而尤其重要的是:第一,沒有任何一个概念反映現实世界的現象,象函数相关性这个概念似的那么直接和具体,并且体現着現实世界的动态和实际量之間的互相制約性。第二,沒有任何一个概念,象函数相关性这个概念似的,能够体現出近代数学思維的辯証的特征。它告訴我們考虑量的生动的变化无常性,而不是人为的那样死板;考虑量之間的互相制約性,而不是人为的将它們割裂开。因此对学生来說,掌握它的精神和实质是具有头等重要的意义。但是,就現行中学教材关于函数的定义来看,是不能令人十分滿意的。 (一) 現行中学教材的函数定义。 現行教材的函数定义表述为:如果对于自变量的每一个确定的值,另一个变量有确定的值和它对应,那     

关于計算能力的培养

本稿主要是由“中学数学教学存在的主要問題和改进意見”(内蒙古自治区教育厅教研室);“关于提高学生的解題能力”(北京四中数学教研组);“在数学教学中有关技能技巧的训练”(北京工业学院預科数学教学研究组)三稿综合写成。