Der Spannungs- und Verschiebungszustand drehsymmetrischer Membrane mit beliebig gekrümmter Meridiankurve

Zusammenfassung Die Einführung von Zylinderkoordinaten (x, r, ) in die Gleichgewichtsbedingungen der Schnittkräfte bzw. in die Beziehungen zwischen Verzerrung und Verschiebungen am differentialen Schalenabschnitt ermöglicht die Berechnung des Spannungs- und Verschiebungszustandes von drehsymmetrischen Membranen mit beliebig gekrümmter Meridiankurve auf die Integration einer einfachen, linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine charakteristische FunktionF bzw. zurückzuführen. Eine geschlossene Lösung und damit eine Darstellung der Schnittkräfte und Verschiebungen durch explizite Formeln ist bei harmonischer Belastung cosn für zwei Funktionsgruppen=x ² und=x ^–3 möglich. Im Sonderfall der drehsymmetrischen und der antimetrischen Belastung mitn=0 undn=1 gelten die Gleichungen der Schnitt- und Verschiebungsgrößen für eine beliebige Meridianfunktion=(). Die Betrachtungen der Randbedingungen offener Schalen bei harmonischer Belastung geben über die infinitesimalen Deformationen einer drehsymmetrischen Membran mit überall negativer Krümmung Aufschluß.     

Beitrag zur Auswertung von Anlauf-Vorgängen in viskoelastischen Flüssigkeiten

Zusammenfassung In diesem Bericht wird die Kraftübertragung zwischen zwei unbegrenzt ausgedehnten und durch eineMaxwell-Flüssigkeit gekoppelten Platten bei beliebigem Zeitgesetz der Bewegung der oberen auf die elastisch aufgehängte untere Platte unter Einbeziehung der Trägheit von unterer Platte undMaxwell-Flüssigkeit berechnet.Diese Fragestellung führt mathematisch auf ein Randwertproblem, dessen eine Randbedingung die Form ³ u/x ² y + ₁ u + ₁ u/y – ₂ ² u/xy = 0 fürx = 0 annimmt, also gemischte Ableitungen nach 2 unabhängigen Veränderlichen enthält.Es wird gezeigt, daß sich die Lösung als unendliche Reihe darstellen läßt, deren 1. Glied aus abklingenden Exponentialfunktionen, alle weiteren hingegen aus gedämpften Schwingungen bestehen.Als spezielle Zeitgesetze für die obere Platte werden die impulsförmige Erregung, die zeitproportionale und die periodische Bewegung untersucht.Es wird abgeleitet, wie sich die Kenngrößen undG (Viskosität und Schubmodul) aus Eigenfrequenz und Dämpfung bzw. aus den beiden Exponenten dere-Funktionen in den beiden ersten Fällen berechnen lassen. Bei periodischer Beanspruchung werden undG aus der Resonanzfrequenz und der Halbwertbreite bzw. dem Phasenwinkel ermittelt.Abschließend wird gezeigt, daß und wie ein Rotationsviskosimeter auf den behandelten Fall ebener Platten zurückgeführt werden kann.

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Summary In this report the force transmission between two infinitely extended plates coupled by aMaxwell-Fluid is calculated. In this calculation the inertia of the fluid and the influence of the elastically suspended lower plate is included, while the upper plate can perform any time-dependent movement.Mathematically this question leads to a boundery value problem; one boundery condition has the form ³ u/ ² y + ₁ u + ₁ u/y – ₂ ² u/xy = 0 (x = 0) ( ₁, ₂, = constant), that means it contains mixed differential-quotients of two independent variables.The solution is demonstrated as an infinite series, the form of the first term is of two negative exponential functions, all the other terms are damped oscillations.The excitation from a single pulse, the uniform timeproportional and the periodic movement as timedependent laws for the upper plate are analysed.The values of andG (viscosity and shear modulus) are derived from eigenfrequency and damping-constant respectively from the values of the two exponentials. In the periodic case andG are calculated from the resonance frequency and halfwidth or phase-angle respectively.Finally the conditions of the rotation-viscometer are reduced to the case of parallel-plate-viscometer.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen vom 7.–9. Mai 1973 in Berlin.

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Mit 6 Abbildungen und 1 Tabelle     

Messung und Berechnung des örtlichen und mittleren Stoffübergangs an stumpf angeströmten Kreisscheiben bei unterschiedlicher Turbulenz

Zusammenfassung In einer vergleichenden Literaturübersicht zu Umströmung, Druck- bzw. Geschwindigkeitsverteilung sowie Wärme- und Stoffübergang werden bislang vorliegende Angaben zu stumpf angeströmten Kreisscheiben und -Zylindern zusammengefaßt. Wenige und zudem divergierende Ergebnisse zum Wärme- und Stoffübergang machen grundlegende experimentelle und theoretische Untersuchungen notwendig, wie sie in [l, 2] für die Eichung von Stoffübergangsmeßmethoden benötigt werden.Unter Einbeziehung des quer angeströmten Kreiszylinders wird gezeigt, daß genaue Angaben zum Wärme- und Stoffübergang bei zwei- wie dreidimensionalen Staupunktströmungen bislang nur über die Messung möglich sind. Über gemessene Geschwindigkeitsverteilungen berechnete Stoffübergangskoeffizienten werden von der Messung nicht bestätigt. Sie liegen gegenüber dem Experiment zu niedrig.Die Messungen wurden bei Turbulenzintensiten 0,8%Tu6%, Reynolds-Zahlen 2·10³5 und Scheibendurchmessern 9,3mmd73,7mm durchgeführt. Der Einfluß der Turbulenz auf den Stoffübergang im Staupunkt von Kreisscheiben kann nur näherungsweise über den Smith-Kuethe-Parameter Tu · Re/100 erfaßt werden. Differenzen zwischen Theorie nach Smith und Kuethe für Tu· Re<5 und Messung lassen sich über die Stabilitätstheorie erklären. Für eine genauere Erfassung des Stoffübergangs muß den unterschiedlichen Transportvorgängen über Turbulenzballen oder Längswirbeln sowie der Struktur der Turbulenz Rechnung getragen werden.

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Measuring and computation of local and average mass transfer to disks in cross flow at different turbulence intensities

The results of different publications concerning the flow, pressure and velocity distributions as well as the heat and mass transfer of disks and cylinders in cross flow are compared by a literature review. A few diverging results for heat and mass transfer require new experimental and theoretical approaches. The calibration of recently developed techniques for the determination of mass transfer rates as published in [1, 2] make these investigations expecially necessary. Including the cylinder in cross flow the authors show, that up to now exact data of heat and mass transfer for two- or three-dimensional flow at a forward stagnation region can be obtained by direct measuring only.Mass transfer coefficients computed from measured velocity distributions are not confirmed by the experimental results. Compared to the experimental data they are too low. The measurements were accomplished for turbulence intensities 0.8%Tu6%, Reynolds-numbers 2· 10³5 and disk diameters 9.3 mm d 73.7 mm.The influence of the turbulence on the stagnation point mass transfer of disks can be obtained only approximately by the Smith-Kuethe-parameter Tu·Re/100. Differences between theoretical results of Smith and Kuethe and experimental ones for Tu·Re/100<5 may be explained by the stability theory. For a more accurate determination of the mass transfer the different transport mechanisms of the scale of turbulence or the tree-dimensional flow pattern like Taylor-Görtler-vortices as well as the structure of the turbulence itself have to be regarded.

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Bezeichnungen a Temperaturleitkoeffizient - C_p Beiwert für den statischen Druck - C₂, C₃ Gradient der bezogenen Geschwindigkeit U⁺ am Staupunkt bei ebener, räumlicher Strömung - D_A Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft - d Durchmesser - Fr=Sh/Re Frössling-Zahl für den Stoffübergang - Fr=Nu/Re Frössling-Zahl für den Wärmeübergang - Le=a/D_A Lewis-Zahl - L Bezugslänge - M Maschenweite von Turbulenzgittern - Nu=·d/ Nußbelt-Zahl - n Exponent der Prandtl-bzw. Schmidt-Zahl - Pr=/a Prandtl-Zahl - p Druck, Partialdruck - p_x statischer Druck an der Stelle x am Rand der Grenzschicht - Re=U · d/ Reynolds-Zahl - r Radius - r(x) radiale Distanz von der Rotationsachse eines Körpers zu einem Oberflächenelement - Sc=/D_A Schmidt-Zahl - Sh= _A ·d/D_A Sherwood-Zahl - T absolute Temperatur - Tu Turbulenzintensität (Turbulenzgrad) in% - U Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - U Hauptströmungsgeschwindigkeit im freien Kanalquerschnitt - U⁺=U/U bezogene Geschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - u Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung, tangential zur Oberfläche - mittlere turbulente Geschwindig-keitsschwankung in x-Richtung - v Strömungsgeschwindigkeit in y-Richtung, normal zur Oberfläche - x Koordinate in Strömungsrichtung, tangential zur Oberfläche - x_G Entfernung vom Turbulenzgitter in Strömungsrichtung - x⁺ bezogene Länge x/r - y Koordinate normal zur Oberfläche - Wärmeübergangskoeffizient - _A Stoffübergangskoeffizient (Ammoniak) - dimensionsloses Temperaturgefälle an der Wand - Keilvariable - Wärmeleitkoeffizient - Wirbelweilenlänge (mm) - kinematische Zähigkeit - transformierte bezogene Länge - _A Partialdichte von Ammoniak Indices B mit Korrektur aufgrund der Verengung - m mittel - S bezogen auf die Kreisscheibe - Z bezogen auf den Kreiszylinder Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Josef Ipfelkofer zum 70. Geburtstag am 7. April 1977 gewidmet.     

Rheology of molten polymers

Summary TheCross equation describes the flow of pseudoplastic liquids in terms of an upper and a lower Newtonian viscosity corresponding to infinite and zero shear, and ₀, and of a third material constant related to the mechanism of rupture of linkages between particles in the intermediate, non-Newtonian flow regime, Calculation of of bulk polymers is important, since it cannot be determined experimentally. The equation was applied to the melt flow data of two low density polyethylenes at three temperatures.Using data in the non-Newtonian region covering 3 decades of shear rate to extrapolate to the zero-shear viscosity resulted in errors amounting to about onethird of the measured ₀ values. The extrapolated upper Newtonian viscosity was found to be independent of temperature within the precision of the data, indicating that it has a small activation energy.The ₀ values were from 100 to 1,400 times larger than the values at the corresponding temperatures.The values of were large compared to the values found for colloidal dispersions and polymer solutions, but decreased with increasing temperature. This shows that shear is the main factor in reducing chain entanglements, but that the contribution of Brownian motion becomes greater at higher temperatures.

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Zusammenfassung Die Gleichung vonCross beschreibt das Fließverhalten von pseudoplastischen Flüssigkeiten durch drei Konstante: Die obereNewtonsche Viskosität (bei sehr hohen Schergeschwindigkeiten), die untereNewtonsche Viskosität ₀ (bei Scherspannung Null), und eine Materialkonstante, die vom Brechen der Bindungen zwischen Partikeln im nicht-Newtonschen Fließbereich abhängt. Die Berechnung von ist wichtig für unverdünnte Polymere, wo man sie nicht messen kann.Die Gleichung wurde auf das Fließverhalten der Schmelzen von zwei handelsüblichen Hochdruckpolyäthylenen bei drei Temperaturen angewandt. Die Werte von ₀, durch Extrapolation von gemessenen scheinbaren Viskositäten im Schergeschwindigkeitsbereich von 10 bis 4000 sec^–1 errechnet, wichen bis 30% von den gemessenen ₀-Werten ab. Die Aktivierungsenergie der war so klein, daß die-Werte bei den drei Temperaturen innerhalb der Genauigkeit der Extrapolation anscheinend gleich waren. Die ₀-Werte waren 100 bis 1400 mal größer als die-Werte.Im Verhältnis zu kolloidalen Dispersionen und verdünnten Polymerlösungen war das der Schmelzen groß, nahm aber mit steigender Temperatur ab. Deshalb wird die Verhakung der Molekülketten hauptsächlich durch Scherbeanspruchung vermindert, aber der Beitrag derBrownschen Bewegung nimmt mit steigender Temperatur zu.

     

Flow birefringence of dilute polymer solutions in two-dimensional flows

Summary Flow birefringence measurements have been obtained on three molecular weight samples (2–8 × 10⁶ M _W ,M _W /M _N = 1.14–1.3) of polystyrene in dilute solution (50–100 ppm) in a viscous polychorinated biphenyl solvent. The flows were generated using a four roll mill which could simulate a wide range of two dimensional flows in which the flow type (i.e. the ratio of the rate of rotation to the rate of strain) could be varied independently of the velocity gradient. The normalized birefringence, corrected for concentration, (n/nc), was observed to approach a saturation value at high velocity gradients in purely extensional flow. This saturation value was independent of both the molecular weight and the concentrationc, in agreement with theory. In addition, the magnitude of the saturation value is consistent with nearly fully extended chains and suggests extensions in the range of 20–50 times the rest state size. The data for the birefringence over a wide range of flows was found to be well correlated against the eigenvalue of the velocity gradient tensor in agreement with the results of the strong/weak flow theories ofTanner (1976) andOlbricht et al. (1980).The experiments are compared with a simple dumbbell model which incorporates the effects of a nonlinear spring variable hydrodynamic friction, and internal viscosity. It is shown that this simple model can simulate the experimental results surprisingly well if the effects of molecular weight distribution and finite transit times in the flow device are taken into account.

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Zusammenfassung Es werden Doppelbrechungsmessungen an verdünnten Lösungen (50–100 ppm) von drei Polystyrolproben mit verschiedenem Molgewicht (M _W = 2–8 10⁶,M _W /M _N = 1,14–1,3) in einem polychlorierten Diphenyl-Lösungsmittel (Pyralene 4000) durchgeführt. Die Strömung wird in einer Vier-Walzen-Apparatur erzeugt, die zweidimensionale Strömungen in einem weiten Typenbereich (d. h. mit verschiedenen Verhältnissen von Rotations- zu Deformationsgeschwindigkeit) unabhängig vom Geschwindigkeitsgradienten herzustellen gestattet. Die bezüglich der Konzentration korrigierte normierte Doppelbrechung (n/nc) strebt bei reiner Dehnströmung mit hohem Geschwindigkeitsgradienten gegen einen Sättigungswert. Dieser ist in Übereinstimmung mit der Theorie sowohl vom Molgewicht als auch von der Konzentrationc unabhängig. Weiterhin entspricht die Größe dieses Sättigungswerts der Annahme nahezu vollständig gestreckter Ketten mit Ausdehnungen vom 20–50fachen der Ausdehnung im Ruhezustand. Die Doppelbrechungswerte sind in einem weiten Strömungsbereich gut mit dem Eigenwert des Tensors des Geschwindigkeitsgradienten korreliert, was mit den Ergebnissen der Theorien starker und schwacher Strömungen vonTanner (1976), sowieOlbricht und Mitarbeitern (1980) übereinstimmt.Die Experimente werden mit den Voraussagen der Theorie des einfachen Hantelmodells verglichen, allerdings unter Einschluß eines nichtlinearen Federgesetzes, einer variablen hydrodynamischen Reibung und einer inneren Viskosität. Man findet, daß dieses einfache Modell die experimentellen Ergebnisse überraschend genau wiederzugeben vermag, wenn die Einflüsse der Molgewichtsverteilung sowie einer endlichen Einstellzeit in der Strömungsanordnung mitberücksichtigt werden.

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With 17 figures and 1 table     

Ein Schwingungstilger zur Abstimmung von Einschwingvorgängen

Übersicht Das Prinzip des linearen Schwingungstilgers wird zur Beeinflussung von Einschwingvorgängen angewandt. Abstimmungskriterien werden definiert und als Funktion der Wurzellage der charakteristischen Gleichung entwickelt. Zehn Regeln, die die Wurzellage mit den physikalischen Parametern des Schwingungssystems verbinden, werden aufgestellt; drei dieser Regeln, die auf einer in Anwendungsfällen häufig gerechtfertigten Vernachlässigung beruhen, können direkt zur Abstimmung verwandt werden. Die für das Schwingungsbild wichtigen speziellen Lagen der Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der komplexen Ebene bei variabler relativer Federkonstante bzw. bei variabler relativer Feder- und Dämpfungskonstante werden als relative bzw. absolute Einflußposition eingeführt.

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Summary The principle of the dynamic vibration absorber was applied to reduce in a defined manner transient vibrations of a one degree of freedom system. Ten rules were developed which relate the position of the roots of the characteristic equation to the physical parameters; three of these rules, based upon an approximation which is often justified in engineering practice can directly be used to determine the spring and damping coefficients of the absorber to approximate the defined ideal response. The concept of the relative and the absolute influence position is introduced; these new definitions refer to a particular position of the roots of the characteristic equation when only the spring constant or, respectively, the spring constant and the damping coefficient between the masses are variable.

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Gekürzte Fassung der Dissertation des Verfassers. Die Arbeit wurde am Institut für Aerodynamik und Gasdynamik der Technischen Hochschule Stuttgart, Direktor Prof. Dr.-Ing. A. Weise, angefertigt.     

Bemerkungen über die Auswertung von Dämpfungsschleifen. II

Zusammenfassung Für eine lineare Beanspruchung erhält man eine elliptische Hysterese, deren Auswertung nachKemmnitz mit Hilfe der konjugierten Durchmesser vorgenommen werden kann. Konjugierte Durchmesser haben im Gegensatz zu den Hauptachsen eine einfache physikalische Bedeutung.Für die nicht lineare Beanspruchung kann nachKemmnitz in guter Näherung ein elliptischer Ansatz zur Auswertung der Hysterese beibehalten werden, wenn man diese aus der Summe oder Differenz von zwei Ellipsenhälften zusammensetzt.VonKemmnitz undEspanion ist ein graphisches Verfahren ausgearbeitet worden, mit dessen Hilfe der Phasenwinkelverlauf aus dem Kraft- und Längenverlauf gefunden wird.Dieser Phasenwinkelverlauf ist nur für die lineare Beanspruchung konstant. Wie sich aus Meßergebnissen vonMeumann ergibt, die nach diesem Verfahren ausgewertet wurden, erhält man für die nicht lineare Beanspruchung je nach dem Probenmaterial oder der Probenform den Verlauf= _a (1+cos t) oder= _a (1-cos t).     

Mixed convection on vertical plate for fluids of any prandtl number

A mixed convection parameter=(Ra) ^1/4/(Re)^1/2, with=Pr/(1+Pr) and=Pr/(1 +Pr)^1/2, is proposed to replace the conventional Richardson number, Gr/Re², for combined forced and free convection flow on an isothermal vertical plate. This parameter can readily be reduced to the controlling parameters for the relative importance of the forced and the free convection,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) forPr 1, and (RaPr)^1/2/(RePr ^1/2 forPr 1. Furthermore, new coordinates and dependent variables are properly defined in terms of, so that the transformed nonsimilar boundary-layer equations give numerical solutions that are uniformly valid over the entire range of mixed convection intensity from forced convection limit to free convection limit for fluids of any Prandtl number from 0.001 to 10,000. The effects of mixed convection intensity and the Prandtl number on the velocity profiles, the temperature profiles, the wall friction, and the heat transfer rate are illustrated for both cases of buoyancy assisting and opposing flow conditions.

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Mischkonvektion an einer vertikalen Platte für Fluide beliebiger Prandtl-Zahl

Zusammenfassung Für die kombinierte Zwangs- und freie Konvektion an einer isothermen senkrechten Platte wird ein Mischkonvektions-Parameter=( Ra) ^1/4 (Re)^1/2, mit=Pr/(1 +Pr) und=Pr/(1 +Pr)^1/2 vorgeschlagen, den die gebräuchliche Richardson-Zahl, Gr/Re², ersetzen soll. Dieser Parameter kann ohne weiteres auf die maßgebenden Kennzahlen für den relativen Einfluß der erzwungenen und der freien Konvektion reduziert werden,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) fürPr 1 und (RaPr)^1/4/(RePr)^1/2 fürPr 1. Weiterhin werden neue Koordinaten und abhängige Variablen als Funktion von definiert, so daß für die transformierten Grenzschichtgleichungen numerische Lösungen erstellt werden können, die über den gesamten Bereich der Mischkonvektion, von der freien Konvektion bis zur Zwangskonvektion, für Fluide jeglicher Prandtl-Zahl von 0.001 bis 10.000 gleichmäßig gültig sind. Der Einfluß der Intensität der Mischkonvektion und der Prandtl-Zahl auf die Geschwindigkeitsprofile, die Temperaturprofile, die Wandreibung und den Wärmeübergangskoeffizienten werden für die beiden Fälle der Strömung in und entgegengesetzt zur Schwerkraftrichtung dargestellt.

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Nomenclature C _f local friction coefficient - C _p specific heat capacity - f reduced stream function - g gravitational acceleration - Gr local Grashoff number,g T _w –T )x³/v² - Nu local Nusselt number - Pr Prandtl number,v/ - Ra local Rayleigh number,g T _w –T x ³/( v) - Re local Reynolds number,u x/v - Ri Richardson number,Gr/Re ² - T fluid temperature - T _w wall temperature - T free stream temperature - u velocity component in thex direction - u free stream velocity - v velocity component in they direction - x vertical coordinate measuring from the leading edge - y horizontal coordinate Greek symbols thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - mixed convection parameter (Ra)1/4/Re)^1/2 - pseudo-similarity variable,(y/x) - ₀ conventional similarity variable,(y/x)Re ^1/2 - dimensionless temperature, (T–T T _W –T - unified mixed-flow parameter, [(Re) ^1/2 + (Ra)^1/4] - dynamic viscosity - kinematic viscosity - stretched streamwise coordinate or mixed convection parameter, [1 + (Re)^1/2/(Ra) ^1/4]^–1=/(1 +) - density - Pr/(1 + Pr) _w wall shear stress - stream function - Pr/(l+Pr)^1/3 This research was supported by a grand from the National Science Council of ROC     

Beitrag zur Prüfung metallischer Werkstoffe im Torsionsversuch

Zusammenfassung Der Torsionsversuch eignet sich zur Untersuchung des plastischen Verhaltens von Metallen bei erhöhten Temperaturen, wenn die Fließspannung stark von der Umformgeschwindigkeit abhängt. Aus der gemessenen Drehmoment-Drehwinkel-Kurve wird die Fließkurvek _f () berechnet. Hierfür wird ein Fließkriterium benötigt, dessen Unsicherheit im allgemeinen größer ist als alle Meßfehler. Diese Unsicherheit geht aber nicht in die berechnete Dehngeschwindigkeitsempfindlichkeit ein, die somit als Hauptergebnis des Versuches anzusehen ist.Um die Bedingungen technischer Warmumformung zu simulieren, wird die Verwendung extrem kurzer Proben (flacher Scheiben) empfohlen, womit sehr hohe Umformgeschwindigkeiten erreicht werden können. Für die Auswertung derartiger Versuche ist die wirksame Länge der kurzen Proben — experimentell oder semiempirisch — zu bestimmen und die Kerbwirkung zu berücksichtigen. Im Gegensatz zur herkömmlichen Vorgehensweise wird empfohlen, die örtliche Spannung und Verzerrung nicht für die Mantelfläche der Probe zu berechnen, sondern für einen kritischen Radialabstand im Innern der Probe, für den die Schiebung von der Kerbwirkung unabhängig ist, so daß sich die zuverlässigsten Werte ergeben.

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Summary The torsion test is often used for studying the plastic deformation of metals at elevated temperatures when stress depends strongly on the strain rate. From the measured torque-twisting angle curve, the stress-strain curvek _f () has to be calculated. For this purpose a yield criterion has to be used the uncertaintly of which normally exceeds all experimental errors. This uncertaintly, however, does not propagate into the calculated strain rate sensitivity which therefore may be considered as the main result of the torsion test.For simulating the conditions of technical hot forming processes, the use of extremely short test pieces (flat discs) by which very high strain rates can be obtained is recommended. For evaluating the test data the efficient lenght of short specimens has to be determined. In opposition to the conventional procedure of test evaluation, it is recommended not to calculate stress and strain for the surface of the specimen but for a critical radius for which strain is independent of the notch effect so that the most reliable values are obtained.

Mit 5 Abbildungen     

Über den Einfluß von Querkrümmung und Dichte bei inhomogenen turbulenten Freistrahlen

Zusammenfassung Zur Berechnung turbulenter Strömungen wird das k--Modell im Ansatz für die turbulente Scheinzähigkeit erweitert, so daß es den Querkrümmungs- und Dichteeinfluß auf den turbulenten Transportaustausch erfaßt. Die dabei zu bestimmenden Konstanten werden derart festgelegt, daß die bestmögliche Übereinstimmung zwischen Berechnung und Messung erzielt wird. Die numerische Integration der Grenzschichtgleichungen erfolgt unter Verwendung einer Transformation mit dem Differenzenverfahren vom Hermiteschen Typ. Das erweiterte Modell wird auf rotationssymmetrische Freistrahlen veränderlicher Dichte angewendet und zeigt Übereinstimmung zwischen Rechnung und Experiment.

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On the influence of transvers-curvature and density in inhomogeneous turbulent free jets

The prediction of turbulent flows based on the k- model is extended to include the influence of transverse-curvature and density on the turbulent transport mechanisms. The empirical constants involved are adjusted such that the best agreement between predictions and experimental results is obtained. Using a transformation the boundary layer equations are solved numerically by means of a finite difference method of Hermitian type. The extended model is applied to predict the axisymmetric jet with variable density. The results of the calculations are in agreement with measurements.

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Bezeichnungen Wirbelabsorptionskoeffizient - c_i Massenkonzentration der Komponente i - c_D, c_L, c, c₁, c₂ Konstanten des Turbulenzmodells - d Düsendurchmesser - E bezogene Dissipationsrate - f bezogene Stromfunktion - f Korrekturfunktion für die turbulente Scheinzähigkeit - j turbulenter Diffusionsstrom - k Turbulenzenergie - k_i Schrittweite in -Richtung - K dimensionslose Turbulenzenergie - L turbulentes Längenmaß - M_i Molmasse der Komponente i - p Druck - allgemeine Gaskonstante - r Querkoordinate - r_0,5 Halbwertsbreite der Geschwindigkeit - r_0,5c Halbwertsbreite der Konzentration - T Temperatur - u Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung - v Geschwindigkeitskomponente in r-Richtung - x Längskoordinate - y allgemeine Funktion - Y_i diskreter Wert der Funktion y - Relaxationsfaktor für Iteration - turbulente Dissipationsrate - transformierte r-Koordinate - kinematische Zähigkeit - Exponent - transformierte x-Koordinate - Dichte - _k, Konstanten des Turbulenzmodells - Schubspannung - allgemeine Variable - Stromfunktion - Turbulente Transportgröße Indizes 0 Strahlanfang - m auf der Achse - r mit Berücksichtigung der Krümmung - t turbulent - mit Berücksichtigung der Dichte - im Unendlichen - Schwankungswert oder Ableitung einer Funktion - – Mittelwert Herrn Professor Dr.-Ing. R. Günther zum 70. Geburtstag gewidmet     

Experimental and numerical analysis of oscillatory tube flow of viscoelastic fluids represented at the example of human blood

Summary The 4 constant parameters of an Oldroyd type constitutive equation for normal human blood of 45% haematocrit were determined by means of the steady flow curve and the material functions () and (), measured at 2 Hz in an oscillatory capillary viscometer. It was found, as other authors did before, that the phenomenological behaviour of blood flow can be reproduced qualitatively thereby. The quantitative behaviour, however, cannot be described by thus developed parameters. The parameters of the constitutive equationµ ₀, ₁ and ₂ were therefore generalized to become dependent of shear rate and frequency respectively.In itself this is nothing but a transformation of the material functions ( ),() and (), but these can be used as parameters in a constitutive equation though having lost the property of constancy.In this way the linear region of viscoelasticity and the steady flow curve can be reproduced quantitatively. A computer simulation of oscillatory flow for large amplitudes shows another tendency for the phase shift between pressure and flow than the experiment in the oscillatory capillary rheometer does.The applicability of a constitutive equation modified in this manner for other than oscillatory flow should be further examined especially for pulsatile flow.

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Zusammenfassung Mit Hilfe der Fließkurve für die stationäre Strömung und Messungen der Materialfunktion () im Oszillations-Kapillarrheometer bei 2 Hz wurden die Konstanten der 4-Konstanten-Oldroyd-Stoffgleichung für gesundes Humanblut von 45% Hämatokrit bestimmt. Es zeigte sich, daß sich — wie auch schon von anderen Autoren mitgeteilt wurde — mit den so ermittelten Modellkonstanten die Phänomenologie des Fließverhaltens des Blutes qualitativ gut beschreiben läßt. Zur quantitativen Beschreibung reicht dieses Modell jedoch nicht aus, wie man an der Wiedergabe der stationären Fließkurve und der Materialfunktionen der linearen Viskoelastizität erkennt. Aus diesem Grund wurden die Parameterµ ₀, ₁ und ₂ in Abhängigkeit der Schergeschwindigkeit bzw. der Frequenz angesetzt.Dies bedeutet zunächst nichts anderes als eine Transformation der Materialfunktionen, jedoch in einer Art, daß letztere als Parameter in einer Stoffgleichung verwendet werden können, was allerdings mit dem Verlust der Konstanz der Parameter verbunden ist. Mit einer derart modifizierten Stoffgleichung lassen sich der Bereich der linearen Viskoelastizität und die stationäre Fließkurve quantitativ beschreiben. Eine Computersimulation der oszillierenden Rohrströmung zeigt für große Amplituden eine andere Tendenz für die Phasenverschiebung zwischen Druck und Volumenstrom, als sie sich bei Messungen am Oszillations-Kapillarrheometer ergibt.Die Anwendbarkeit der modifizierten Stoffgleichung für andere Strömungsformen, wie z.B. pulsierende Rohrströmungen, muß noch geprüft werden.

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Paper, presented at the Annual Conference of the Deutsche Rheologische Gesellschaft in Berlin, May 8–10, 1978.

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With 8 figures     

On the prediction of riblet performance with engineering turbulence models

The paper reports the outcome of a numerical study of fully developed flow through a plane channel composed of ribleted surfaces adopting a two-equation turbulence model to describe turbulent mixing. Three families of riblets have been examined: idealized blade-type, V-groove and a novel U-form that, according to computations, achieves a superior performance to that of the commercial V-groove configuration. The maximum drag reduction attained for any particular geometry is broadly in accord with experiment though this optimum occurs for considerably larger riblet heights than measurements indicate. Further explorations bring out a substantial sensitivity in the level of drag reduction to the channel Reynolds number below values of 15 000 as well as to the thickness of the blade riblet. The latter is in accord with the trends of very recent, independent experimental studies.Possible shortcomings in the model of turbulence are discussed particularly with reference to the absence of any turbulence-driven secondary motions when an isotropic turbulent viscosity is adopted. For illustration, results are obtained for the case where a stress transport turbulence model is adopted above the riblet crests, an elaboration that leads to the formation of a plausible secondary motion sweeping high momentum fluid towards the wall close to the riblet and thereby raising momentum transport.Nomenclature c _f Skin friction coefficient - c _f Skin friction coefficient in smooth channel at the same Reynolds number - k Turbulent kinetic energy - K ⁺ k/ _w - h Riblet height - S Riblet width - H Half height of channel - Re Reynolds number = volume flow/unit width/ - Modified turbulent Reynolds number - R _t turbulent Reynolds numberk ²/ - P _k Shear production rate ofk, _t (U _i /x _j + U _j /x _i ) U _i /x _j - dP/dz Streamwise static pressure gradient - U _i Mean velocity vector (tensor notation) - U Friction velocity, _w/ where _w=–H dP/dz - W Mean velocity - W _b Bulk mean velocity through channel - y ⁺ yU /v. Unless otherwise stated, origin is at wall on trough plane of symmetry - Kinematic viscosity - _t Turbulent kinematic viscosity - Turbulence energy dissipation rate - Modified dissipation rate – 2(k ^1/2/x _j )² - Density - _k , Effective turbulent Prandtl numbers for diffusion ofk and      

Flow birefringence of polymer melts: Application to the investigation of time dependent rheological properties

Summary Transient stresses including normal stresses, which are developed in a polymer melt by a suddenly imposed constant rate of shear, are investigated by mechanical measurement and, indirectly, with the aid of the flow birefringence technique. For the latter purpose use is made of the so-called stress-optical law, which is carefully checked.It appears that the essentially linear model of the rubberlike liquid, as proposed byLodge, is capable of describing the behaviour of polymer melts rather well, if the applied total shear does not exceed unity. In order to describe also steady state values of the stresses successfully, one should extend measurements to extremely low shear rates.These statements are verified with the aid of a method which was originally designed bySchwarzl andStruik for the practical calculation of interrelations between linear viscoelastic functions. In the present paper dynamic shear moduli are used as reference functions.

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Zusammenfassung Mit der Zeit anwachsende Spannungen, darunter auch Normalspannungen, wie sie sich nach dem plötzlichen Anlegen einer konstanten Schergeschwindigkeit in einer Polymerschmelze entwickeln, werden mit Hilfe mechanischer Messungen und indirekt mit Hilfe der Strömungsdoppelbrechung untersucht. Für den letzteren Zweck wird das sogenannte spannungsoptische Gesetz herangezogen, dessen Gültigkeit sorgfältig überprüft wird.Es ergibt sich, daß das im Wesen lineare Modell der gummiartigen Flüssigkeit, wie es vonLodge vorgeschlagen wurde, sich recht gut zur Beschreibung des Verhaltens von Polymerschmelzen eignet, solange der im ganzen angelegte Schub den Wert Eins nicht überschreitet. Um auch stationäre Werte der Spannungen in die Beschreibung erfolgreich einzubeziehen, sollte man die Messungen bis zu extrem niedrigen Schergeschwindigkeiten ausdehnen.Die gemachten Feststellungen werden mit Hilfe einer Methode verifiziert, die vonSchwarzl undStruik ursprünglich für die praktische Berechnung von Beziehungen zwischen Zustandsfunktionen entwickelt wurde, die dem linear viskoelastischen Verhalten entsprechen. In der vorliegenden Veröffentlichung dienen die dynamischen Schubmoduln als Bezugsfunktionen.

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a _T shift factor - B _ij Finger deformation tensor - C stress-optical coefficient, (m²/N) - f (p _jl ) undetermined scalar function - G shear modulus, (N/m²) - G(t) time dependent shear modulus, (N/m²) - G() shear storage modulus, (N/m²) - G() shear loss modulus, (N/m²) - G _r reduced shear storage modulus, (N/m²) - G _r reduced shear loss modulus, (N/m²) - H() shear relaxation time spectrum, (N/m²) - k Boltzmann constant, (Nm/°K) - n _ik refractive index tensor - p undetermined hydrostatic pressure, (N/m²) - p _ij ,p _ik stress tensor, (N/m²) - p ₂₁ shear stress, (N/m²) - p ₁₁ –p ₂₂ first normal stress difference, (N/m²) - p ₂₂ –p ₃₃ second normal stress difference, (N/m²) - q shear rate, (s^–1) - t, t time, (s) - T absolute temperature, (°K) - T ₀ reference temperature, (°K) - x the ratiot/ - x position vector of a material point after deformation, (m) - x position vector of a material point before deformation, (m) - ₀, ₁ constants in eq. [37] - ₀, ₁ constants in eq. [37] - shear deformation - (t, t) time dependent shear deformation - _ij unity tensor - n flow birefringence in the 1–2 plane - (q) non-Newtonian shear viscosity, (N s/m²) - ^* () complex dynamic viscosity, (N s/m²) - | ^* ()| absolute value of complex dynamic viscosity, (N s/m²) - () real part of complex dynamic viscosity, (N s/m²) - () imaginary part of complex dynamic viscosity, (N s/m²) - (t — t) memory function, (N/m² · s) - v number of effective chains per unit of volume, (m^–3) - temperature dependent density, (kg/m³) - ₀ density at reference temperatureT ₀, (kg/m³) - relaxation time, (s) - integration variable, (s) - (x) approximate intensity function - ₁ (x) error function - extinction angle - _m orientation angle of the stress ellipsoid - circular frequency, (s^–1) - 1 direction of flow - 2 direction of the velocity gradient - 3 indifferent direction - t time dependence The present investigation has been carried out under the auspices of the Netherlands Organization for the Advancement of Pure Research (Z. W. O.).North Atlantic Treaty Organization Science Post Doctoral Fellow.Research Fellow, Delft University of Technology.With 11 figures and 2 tables     

Comparison of network theory predictions with stress/time data in shear and elongation for a low-density polyethylene melt

Summary Experimental data are presented which show the variation with time of the shear stress and primary normal stress difference during shear flow with a stepfunction shear rate; the material (Melt I at 150 °C) is a low-density polyethylene melt for which stress-growth and elastic recovery data in elongational flow experiments have been previously reported. A method of comparing the data with the predictions of the rubberlike-liquid constitutive equations is given, based on the use of a specially-chosen rate-of-strain invariantI _IV, defined in [4.1]. From this comparison, it is shown that the disagreement between theory and experiment is about the same for shear flow and for elongational flow, and that the extent of disagreement does not exceed 10% for short-duration flows such thatI _IV t 3.

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Zusammenfassung Es werden Meßergebnisse über die zeitliche Änderung der Schubspannung und der ersten Normalspannungsdifferenz bei Scherfließen einer LDPE-Schmelze (Schmelze I bei 150 °C) vorgelegt. Der zeitliche Spannungsverlauf bei und die elastische Erholung nach Dehnfließen sind für dieses Material bereits früher mitgeteilt worden. Hier wird das Verhalten der Schmelze bei Scherung und bei Dehnung mit den Voraussagen der rubberlike liquid-Zustandsgleichung verglichen, wobei eine speziell gewählte InvarianteI _IV der Deformationsgeschwindigkeit verwendet wird (definiert in [4.1]). Der Vergleich zeigt Abweichungen von Theorie und Experiment, die für Scher- und Dehnfließen etwa gleich groß sind. Die Abweichungen liegen unter 10%, wenn für das Produkt ausI _IV und der Deformationszeitt der WertI _IV t = 3 nicht überschritten wird.

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With 7 figures and 2 tables     

Numerical solution of integro-differential and singular integral equations for plate bending problems

Two integral equation formulations for the determination of the vertical displacement and the bending moment around holes in an elastic plate are presented. Each formulation consists of two equations, the first one an integral equation and an integro-differential equation and the second one two singular integral equations. The equations are solved using B-splines as approximations to the unknowns and the method is applied to the case of one elliptic hole in a twisted plate.

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Zusammenfassung Zwei verschiedene Integralgleichungssysteme für die Bestimmung von die Durchbiegung und die Biegemoment in einer gelochten elastischen Platte werden entwickelt. Die eine Systeme besteht von einer Integralgleichung und einer Integro-Differentialgleichung und die andere von zwei singulären Integralgleichungen von Cauchy'schen Typus. Bei der Auflösung der Systeme werden die unbekannten mit Hilfe B-splines ausgedrückt. Beide Systeme werden benutzt in dem Fall von einer elliptischen Loch in einer uendlichen, tordierten Platte.

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An abbreviated version of this paper was included in a paper Integral equation solutions to mechanical problems. A review and an application to plate theory which will appear in the Proceedings from second national congress of theoretical and applied mechanics, Druzba, Bulgaria, 1973.     

Rheologische Messungen an Polypropylenschmelzen

Zusammenfassung An einer Anzahl von Polypropylenproben wurden die Grenzviskositäten [] und dieNewtonschen Schmelzviskositäten ₀ bei 190 °C gemessen; die meisten Proben wurden fraktioniert und die Molekulargewichtsverteilung festgestellt. Die Messung der Schmelzviskosität erfolgte in einem Extrusionsrheometer mit drei Düsen verschiedener Länge. Es wurden Endkorrekturen bestimmt und die Schubspannung entsprechend korrigiert. Für die-M-Beziehung ergibt sich: log ₀=3,69 log¯M _w –11,90.Proben mit sehrenger bzw. weiter Molekulargewichtsverteilung weichen von dieser Beziehung deutlich ab. Eine für die Molekulargewichtsverteilungsbreite besonders empfindliche Größe ist die Steigungskonstante (1/ vs.), die gleichzeitig ein Maß für den Grad des Nicht-Newtonschen Verhaltens der Schmelze darstellt, bzw. ₀ ; diese letzte Größe eignet sich ganz besonders zur Kennzeichnung der Verteilung sowohl für Proben mit besonders enger Verteilung (Fraktionen, Abbauprodukte, Luparen) als auch für den anderen Extremfall (Mischungen).Vorgetragen auf der Arbeitstagung der Sektion Rheologie des Vereins Österreichischer Chemiker am 28. September 1965 in Graz.Die Messungen und experimentellen Arbeiten wurden von FräuleinHeather Furley und HerrnHelmuth Lehner durchgeführt.     

Modell zur Beschreibung des Fließens wandgleitender Substanzen durch Düsen

Zusammenfassung Zur Analyse des Fließens einer direkt an der Düsenwand gleitendenOstwald-deWaele-Flüssigkeit (Potenzgesetz) wird ein Modell entwickelt, das die rheologischen Vorgänge tribologisch, d. h. analog derCoulombschen Reibung fester Körper beschreibt.Es zeigt sich, daß in der Düse zwei Bereiche zu unterscheiden sind: ein Haftbereich in der Nähe des Düseneinlaufs und ein am Düsenaustritt liegender Gleitbereich. Die Länge des Gleitbereichs, der Verlauf des Drucks und der Schubspannung längs der Düse sowie die Änderung des Geschwindigkeitsprofils im Gleitbereich werden ermittelt.Überschreitet die Wandschubspannung einen kritischen Betrag, so entsteht am Düsenende ein labiler Bereich, in dem der Betrag der Wandschubspannung sprunghaft auf einen kleineren Wert sinken kann. Der von verschiedenen Autoren gefundene Sprung in der Fließkurve bestimmter Polymerschmelzen kann damit grundsätzlich erklärt werden.

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Summary Starting from theCoulomb Friction Law for solids, a theoretical model is developed for the pressure flow of a viscous power-law fluid with slip at the wall.It is shown that two flow regions exist in the die: a first region at the upstream part of the die, where the fluid sticks to the wall; and a second region at the downstream part of the die, where the fluid slips at the wall. The length of the slip region, the development of pressure and shear stress along the die as well as the change of the velocity distribution are given for the slip region.For shear stresses above a critical value, an instability region is found at the exit of the die. In this region, a sudden decrease of shear stress can occur. This seems to explain the discontinuity in the flow curve reported by several investigators.

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F Querschnittsfläche der Kapillaren - Volumendurchsatz - K _R Reibkraft - L Düsenlänge - m Stoffwert (Fließexponent) - N Normalkraft - p hydrostatischer Druck - p _L Druck am Düsenende - p ₁ Druck an der Übergangsstelle Haften-Gleiten - p ₀ Druck vor der Düse - p _0H Druck vor der Düse im Falle des Wandhaftens - r Radius - R Düsenradius - v _g Gleitgeschwindigkeit - v _z Strömungsgeschwindigkeit inz-Richtung - z Koordinate in Strömungsrichtung - z ₁ Längskoordinate der Übergangsstelle Haften-Gleiten - Schergeschwindigkeit - Stoffwert - Viskosität - µ Gleitkoeffizient - µ _H Haftkoeffizient - Dichte - dimensionsloser Radiusr/R - _rz Schubspannung in der Flüssigkeit - _rz ^(R) Wandschubspannung in der Flüssigkeit - ₀ Stoffwert - _wg Wandschubspannung im Falle des Gleitens - _wH Haftschubspannung an der Wand Auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 28.–30. April 1975.Mit 10 Abbildungen     

Analytic research on dynamic phenomena of parametrically and self-exited mechanical systems

Summary Fundamental behaviors in parametrically and self-excited mechanical systems are discussed through the analysis of a category of nonlinear models described by typical excitation mechanisms. In the present paper the self-excitation and parametric excitation are idealized by a nonlinear resistance of van der Pol type and some kinds of restoring forces consisting of nonlinear functions of deflection y and a periodic one of time . The effects of nth-power exciting terms y ⁿ cos 2 (: exciting frequency) and self-excitation on resonance phenomena and amplitude-modulated motions are considered in comparison with the stability analysis of linear modelling.

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Untersuchung dynamischer Phänomene parameter- und selbsterregter mechanischer Systeme

Übersicht In Abhängigkeit von typischen Erregermechanismen wird das grundsätzliche Verhalten von parameter- und selbsterregten mechanischen Schwingern untersucht. Die Selbsterregung und die Parameter-erregung werden idealisiert angenommen als ein nichtlinearer Widerstand vom Van-der-Pol-Typ sowie als Rückstellkräfte, die nichtlineare Funktionen der Auslenkung y mit periodischen Koeffizienten sind. Es werden die Resonanzerscheinungen und die amplitudenmodulierten Bewegungen infolge der Selbsterregung und der Erregerterme der Form y ⁿ cos 2 (mit der Erregerfrequenz ) diskutiert sowie deren Stabilitätsverhalten analysiert.

     

On the measurement of normal stress differences in steady shear flow

Summary Compared to the similar pressure-distribution cone-and-plate apparatus of Adams and Lodge (4), the new apparatus' improvements include: temperature control of the cone (as well as the plate); increased stiffening of the frame; four (not three) pressuremeasuring holes in the cone/plate region; inclusion of a pressure-measuring hole on the axis under the cone truncation; exclusive use of a vertical free liquid boundary at the cone rim (without a sea of liquid). Temperature control of the rotating cone and of the fixed plate leads to acceptable temperature uniformity in the test liquid for working temperatures within 10°C or 20°C of ambient; the corresponding interval is about 1°C if the cone temperature control is abandoned. Pressure gradients measured using a Newtonian liquid agree with those calculated using Walters' eq. (3). For a viscoelastic liquid, after subtracting inertial contributions, pressure distributions measured at a given shear rate in the cone/plate region do not change when the gap angle is changed from 2° to 3°, showing that the effects of secondary flow are negligible. Values ofN ₃ =N ₁ + 2N ₂ obtained from the gradients of these distributions are believed to be in error by not more than ±1 Pa, in favorable cases. The present most useful ranges are: 10 to 5000 Pa forN ₃; 0.1 to 200 sec^–1 for shear rate; up to 5 Pa s for viscosity; and 5 to 40°C for temperature. As an application, it is shown that adding 0.1% of a high molecular weight polyisobutylene to a 2% polyisobutylene solution doublesN ₃ and has no detectable effect on the viscosity measured at low shear rates with a Ferranti-Shirley viscometer.

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Zusammenfassung Im Vergleich zu dem ähnlichen Kegel-Platte-Gerät von Adams und Lodge (4) zur Messung der Druckverteilung wurden an dem neuen Gerät die folgenden Verbesserungen vorgenommen: Temperaturregelung an Kegel und Platte, Versteifung des Rahmens, vier (anstatt drei) Druckmeßlöcher im Kegel-Platte-Bereich, ein zusätzliches Druckmeßloch auf der Achse unter der Kegelstumpf-Deckfläche, ausschließliche Verwendung einer vertikalen freien Grenzfläche der Flüssigkeit am Kegelrand (ohne umgebenden Flüssigkeitssee). Die Temperaturregelung des rotierenden Kegels und der festen Platte führt zu einer ausreichenden Temperaturgleichförmigkeit in der Testflüssigkeit für Betriebstemperaturen, die höchstens um 10–20°C von der Umgebungstemperatur abweichen. Dieses Intervall beträgt dagegen nur etwa 1°C, wenn auf die Temperaturregelung am Kegel verzichtet wird. Für newtonsche Flüssigkeiten entsprechen die gemessenen Druckgradienten den mittels der Gleichung von Walters (3) berechneten. Für viskoelastische Flüssigkeiten zeigen sich bei der Änderung des Spaltwinkels von 2° auf 3° nach Abzug der Trägheitsbeiträge keine Änderungen der bei einer bestimmten Schergeschwindigkeit gemessenen Druckverteilung. Dies zeigt, daß Sekundärströmungseffekte vernachlässigbar sind. Es darf angenommen werden, daß die Werte vonN ₃ =N ₁ + 2N ₂, die man aus den Gradienten dieser Verteilungen erhält, unter günstigen Umständen mit einem Fehler von nicht mehr als ±1 Pa behaftet sind. Gegenwärtig liegen die günstigsten Bereiche bei 10 bis 5000 Pa fürN ₃, 0,1 bis 200 s^–1 für die Schergeschwindigkeit, unterhalb von 5 Pa s für die Viskosität und 5 bis 40°C für die Temperatur. Als Anwendung wird gezeigt, daß ein Zusatz von 0,1% hochmolekularen Polyisobutylens zu einer 2%igen Polyisobutylenlösung den Wert vonN ₃ verdoppelt, aber keinen erkennbaren Einfluß auf die (bei geringen Schergeschwindigkeiten mit einem Ferranti-Shirley-Viskosimeter gemessen) Viskosität hat.

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udsf unidirectional shear flow - TCP truncated-cone and plate - N ₁,N ₂ 1st and 2nd normal stress differences in udsf - N ₃ N ₁ + 2N ₂ - : = A is defined by the equationA := B - P ^* hole pressurePw – Pm; Pw, Pm = pressures measured by flush transducer and by hole-mounted transducer - t time - , strain rate, shear rate - (P,t) covariant body metric tensor at particleP and timet - ⁱ , _i covariant and contravariant udsf body base vectors (i = 1, 2, 3) - ^–1 inverse of - R, plate radius, cone/plate gap angle - r ₀,h ₀ radius and height of cone truncation - r,, spherical polar coordinates; cone axis = 0; plate surface = /2 - physical components of stress; for a tensile component - cone angular velocity - p on the plate = /2 - ,T, density, absolute temperature, viscosity - P 0.15 ²(r ² –R ²) (inertial contribution) [2.7] - P _ve contribution [2.8] from flow perturbations of viscoelastic origin - r _i i = 1,2,3,4; values ofr at centers of holes in cone/plate region - P _i () pressure change recorded by transducerTi when cone angular velocity goes from zero to - 1/2 {P _i ()+ P _i (–)} (average for 2 senses of rotation) - rim pressure, from least-squares line through four points - Re Reynolds' number:R ²/ - (P,t)/t With 11 figures and 2 tables     

Die Charakterisierung viskoelastischer Fluide mit Hilfe ihrer Strömungseigenschaften in Kugelschüttungen

Zusammenfassung Das viskoelastische Verhalten verdünnter makromolekularer Lösungen wird anhand von Strömungen durch Zufallsschüttungen mit einheitlichem Kugeldurchmesser untersucht. Zur Beschreibung der experimentell beobachteten Polymereffekte wird das Konzept einer repräsentativen Deborahzahl angewandt, die sich für die Porenströmung als Produkt aus der Relaxationszeit der Polymerflüssigkeit und der effektiven Dehnrate im Porenraum ergibt. Zur Modellierung der polymeren Flüssigkeit und zur Ableitung von Dehnviskositätsgleichungen werden Modellvorstellungen herangezogen, die auf der kinetischen Theorie verdünnter Hantelsuspensionen basieren. Für endlich dehnbare, nichtlinear-elastische Hanteln als Modellmoleküle erhält man für die Modellflüssigkeit ein Zweiparametersystem (b, _H), welches unmittelbar in die viskoelastischen Kenngrößen einer reinen Dehnströmung eingeht. Die Porenströmung wird als eine solche Dehnströmung modelliert. Experimentelle Ergebnisse aus Porenströmungen zeigen, daß der Einfluß aller maßgebenden strömungsmechanischen und physikalisch-chemischen Parameter, die das viskoelastische Verhalten von verdünnten Polymerlösungen bestimmen, von den theoretisch abgeleiteten Endbeziehungen korrekt beschrieben wird.

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The viscoelastic flow behaviour of dilute macromolecular solutions is investigated experimentally using the flow through randomly packed beds composed of glass beads with a narrow size distribution. The concept of the Deborah number is applied to describe the observed polymer effects. To model the polymeric liquids and to derive extensional viscosity equations the kinetic theory of dilute dumbbell solutions is used treating the macromolecules as finite extendable, nonlinear-elastic dumbbells. In this way two parameters (b, _H) are obtained which characterize the behaviour of the macromolecules when these are stretched in elongational flow fields. The flow through porous media can be classified as such an extensional flow. The viscoelastic behaviour and the relaxation times of various polymer solutions are investigated by systematically varying the fluid velocity and bed characteristics of the porous media and the polymer-solvent-temperature conditions of the used polymer solutions. The experimental results are in good agreement with the theoretical predictions obtained by the dilute dumbbell theory.

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Formelzeichen a Mark-Houwink-Exponent - A Avogadro-Konstante - b Verhältnis von Molekülzeitkonstanten bzw. quadratisches Streckungsmaß - c Gewichtskonzentration gelöster Polymermoleküle - d Kugeldurchmesser der Schüttung - De Deborahzahl - DH Verseifungsgrad der Polymere - f Reibungsbeiwert der Porenströmung - F Federkraft des Hantelmodells - g Erdbeschleunigung - I Ionenstärke der Lösung - k Boltzmann-Konstante - k ₁ Dehnströmungsfaktor der Porenströmung - K Mark-Houwink-Konstante - l ₀ Länge des Monomeren - L Länge des statistischen Fadenelementes - L ₀ Maximallänge des gestreckten Polymermoleküls - L Bezugslänge für den Druckverlust der Porenströmung - m Masse des statistischen Fadenelementes - m ₀ Masse des Monomeren - Molarität der Lösung - M Molekulargewicht des Polymeren - n Porosität der Kugelschüttung - n ₀ Hantelkonzentration - N Anzahl der statistischen Fadenelemente - p Druckverlust der Porenströmung - P Polymerisationsgrad - q Ladungsdichte am Makromolekül - R Endpunktabstand des Makromoleküls - R ₀ maximaler Endpunktabstand des gestreckten Makromoleküls - R ² mittlerer quadratischer Endpunktabstand - Re Reynoldszahl der Porenströmung - T Temperatur - mittlere Filtergeschwindigkeit der Porenströmung - Dissoziationskonstante - Bindungswinkel zweier Kohlenstoffatome - Dehnrate - dynamische Viskosität - ^* reduzierte Viskosität - [] Grenzviskositätszahl - Dehnviskosität - ^* reduzierte Dehnviskosität - Widerstandskennzahl der Porenströmung - v kinematische Viskosität - p Dichte des Fluids - Relaxationszeit - _H Hookesche Relaxationszeit des EDNE-Hantelmodells - _H,e Hookesche Relaxationszeit des linear-elastischen Hantelmodells - ₀ Flory-Fox-Konstante - b Puffer (buffer) - e effektiv - max maximal - 0 Onset - p Polymer - s Lösungsmittel (solvent) - sa Salz (salt) - Theta-Zustand