作为高考试题,答案还应再"妥善"些!——对一道高考试题标准答案的指瑕

题目 2009年高考数学湖北理第17题 　　已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0) 　　 (Ⅰ)求向量b+c的长度的最大值; 　　(Ⅱ)设α=(π)/(4),且a⊥(b+c),求cos β的值.……     

一道联考题的多角度思考

题目(2006年高三第6次全国大联考(湖北专用)第19题)设0<α<π,0<β<π,a=(cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),且a·b=32-cosβ.1)求向量a与b的夹角θ;2)求sin(α β)的值.分析该题融三角、向量、不等式于一体,符合高考“在知识点的交汇处设计试题”的命题思想与创新精神,下面给出     

“一个几何命题的推广”的向量证法

文[1]中对一道平面几何题进行了推广,读后深受启发,但笔者试着用向量证明文[1]中的命题.现介绍如下:为了方便用向量证明文[1]中的命题,先给出一个引理已知向量a=(m,n),b=(p,q),现定义向量间的一种运算“*”:c=a*b=(mp-nq,mq np).则c是这样一个向量:把a的模变为原来的|b|倍,并按     

余弦定理的配方变形及应用

余弦定理。’二户十。“一Zb:‘。:A, b:=c恋 a忍一2 cac“sB, c念=a: b:一昌abc。:C经配方,可分别得到下面两种变形: 变形1 .a:=(b一c), 介bc(1一c。:A), b:=(‘一a):今。ca(1一co“B), c:二(a一b)念 ga西(1一cosC); 变形Ia忿=(b c)“ Zbc(1 cosA), b,二(e a):一介ca(1 cosB),     

计算机自动生成数学命题——以三元均值不等式的加强为例

<正>数学命题是数学研究的重要部分.如果没有好的题目源源不断地“生产”出来,解题研究也难以持续发展.然而,发现一个好的命题并不容易.设a,b,c为正数(下同),求证:a~3+b~3+c~3≥3abc+a (b-c)~2+b (c-a)~2+c (a-b)~2.这是华东师范大学《数学教学》(1985年第三期)上的一题.供题人冷岗松教授在《数学竞赛试题的若干命题策略》中讲述此题的发现经历.他给学生讲解瑞典1983年试题abc≥(-a+b+c)·(a+b-c)(a-b+c)时,一个学生采取“暴力展开”,于是有了发现.     

一个简单问题的深思

题目已知a=(2,-1),b=(-1,3),c=xa-yb.若y=2,且(a b)∥c,求x. 它是一道测验题,考试时,我想到以下简解: 因a与b不共线,a与b可作为基底. 将a b视作(1,1),而c=xa-2b视作(x,-2), 则(1,1)∥(x,-2),     

构造函数f(t)=(t-x)(t-y)(t-z)解题

三元不等式问题是国内外各层次数学竞赛的难点与热点之一 ,而其处理更以“入口宽 ,方法巧”见长 .为寻求解题规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分国内外有关三元不等式问题的试题 ,深入研究 ,发现许多问题均可以采用构造函数 :f(t) =(t -x) (t-y) ·(t-z) ,加以巧妙地解决 .下面举例加以说明 .例 1　设a ,b ,c为非负实数 ,且满足a ≥b≥c,a +b+c=3 ,求证 :ab2 +bc2 +ca2 ≤ 2 78.(《中等数学》1998年第 1期数学奥林匹克问题初 61题 )证明　由题意可知　a≥ 1,c≤ 1,从而　 1-a≤ 0 ,　 1-c≥ 0 .令　f(1) =(1-a) (1-b) (1-c) .一方面 :当b≤…     

解题后应反思

我国著名数学家苏步青教授曾经说过:“学习数学,要多做习题,边做边思考,先知其然,然后弄清所以然.”这里所说的“知其然”是指要知道答案是怎样来的;“所以然”是指解题后要进行反思,一思这道题为什么要这样解;二思这道题还有没有其它解法;三思这道题的变化形式;四思用这道题可以解决其它哪些问题.这就充分地说明了解题后反思的重要性.一、反思一题多解不少数学问题具有灵活多样的解法,积极寻求解题的多种途径,促进学生对问题有更深层次的理解,以拓展学生的发散性思维,增强学生不断创新的意识.例1已知a,b为实数,求证:方程(x-a)(x-a-b)=1的两…     

一道培训题的正确解法

在《数理天地》(初中版)1994年第1期上的第五届“希望杯”全国数学邀请赛培训题中,有这样一道题目:“设a,b为正整数,且满足2/3   

课本习题的价值在探索中升华--改造我们的数学教学方法

孤立地、片面地解决一个课本习题 ,在数学教学中毫无疑问是低效的教学方法 ,我们必须坚决反对 .相反 ,运用运动变化的观点、普遍联系的观点、辩证唯物的观点去分析、观察、探索一个数学问题 ,寻求课本习题的内在变化规律及习题之间的联系 ,是提高教学效率的一种有效途径 ,我们要坚决拥护 .题目不在做得多 ,开发其价值就行 .如何开发课本习题的价值 ?本文提供四种基本方法 :1 )多题一组 ,构造问题链 ;2 )一题多探 ,推而广之 ;3)一题多解 ,比较解法 ;4)一题多改 ,突而破之 .1　多题一组 ,编拟问题链 ,形成“合力” :加强题与题之间的横向联合…     

考题新解

<正>2015年浙江省高考数学文科最后一题(第20题),其中第二小题的题目中涉及到函数的零点问题,标准答案是利用函数、方程、不等式思想解的题目.事实上,利用函数零点的概念解题还是比较简单明了的,请看下面的解法.设函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).     

一道高考题的另一解法

2007年高考全国卷(Ⅰ)理科第22(Ⅱ)题也可以用“辅助数列法”求出通项bn,然后证明.题:已知数列{an}中a1=2,an 1=(2-1)(an 2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn 1=23bbnn 34,n=1,2,3,….证明:2相似文献   

还有更好的方法吗?一道习题解法的探究教学片段及思考

近日,我校高三一次练习试卷上有这样一道题:“已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则｜c ｜的最大值是____在上讲评课时,笔者就让一个此题做错的学生A(之前已让学生自己先订正)讲解题方法.生A解(这里作为解法1):可设a,b为直角坐标系中x,y轴正方向上的单位向量,即a＝(1,0),b=(0,1),设c=(x,y),则a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y)∵(a-c)·(b-c)=0,∴(1 -x)(-x)+(-y)(1-y)=0,即x2+y2=x+y.∵x2+y2≥(x+y)2/2(此处用了基本不等式的推广)∴(x+y)2/2≤x+y,.∴0≤x+y≤2∴｜c｜=√(x2+y2)=√x+y≤√2,即｜c｜的最大值是√2.学生A的解法让笔者惊喜,说实在的由于批改后,发现此题的正确率很高,也没有多加研究.笔者本来是准备用后面的解法3解决的,学生A的解法着实让笔者眼前一亮.于是问:“解得很好!你能回答怎么想到的呢?”     

一道高考题的求解历程

题目(江苏2012高考数学第14题)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则ba的取值范围是_______.对于此题摘录笔者送考的学生走出考场时的话:①不会写,看了一眼,果断放弃.②要解超越方程?③对14题因水平所限选择了放弃,有些遗憾.④14题不好做,隐含条件不好找,类似一道大题.⑤话说那个ln大家怎么处理.⑥这是非线性规化问     

一道课本例题的构造法证明

构造法是一种创造性的解题方法,它是根据数学问题的题设和结论特征,构造出新的易解决的问题,从而得到简捷、明快、新颖的解法。本文笔者以高二数学教材上册中的一道例题为例说明构造法证不等式的几种策略。题目已知a,b,m∈R~ ,且a＜b,求证：(a m)/(b m)＞a/b。一、构造函数,利用其单调性分析不等式左边为(a m)/(b m),而右边可写成(a 0)/(b 0),从而构造函数f(x)=(a x)/(b x),研究其单调性可获问题的解决。证法1 构造函数     

一道“对角互补型”几何题的解与变

以一道“对角互补型”几何题为切入点,围绕主题精选、编拟“一题多解”“一题多变”的题目,并不断对问题进行变式,引导学生挖掘数学问题的本质,提炼共性.在数学教学中,凸显数学思想方法,优化数学思维品质,提高数学核心素养.     

问题征解

问　　题我是一名即将升入高三的文科班的学生 .作为一名文科班的学生 ,我深感数学的重要性 .关于数学学习 ,我有如下两个问题请教 .1)我的数学成绩不是挺好的 ,每次想赶上去都没有成功 .老师上课时所讲的内容我一听就懂 ,但做中高档题时却不知怎么下手 ,特别是课外参考书上的一些题目 ,有时看了以后还不知怎么下手 ,看了答案提示以后 ,有时还弄不清楚 .有时只看所作的辅助线就知道后面具体的该怎样做 ,可是过了几天后 ,又不会做了 .我很着急 ,不知该如何克服这现象 .2 )人教社新版高三数学课本 (上 )“随机变量”这章的第 6节“线性回归”…     

合理运用单位向量解题

<正>向量是数学中重要的基本的概念,它既是代数的对象,又是几何的对象.其中单位向量是向量的一个重要概念,本文谈一谈它的一些简单应用.例1已知a=(3(1/2),-1),b=(1,3(1/2)).求与a和b夹角相等且模为2(1/2)的向量c的坐标.分析将a和b的起点移在一起,通过向     

开放一道题目的结论

题目　已知 :8sinα + 10cosβ =5 (1)8cosα + 10sinβ =5 3(2 )求证 :sin(α + β) =-sin π3+α .文 [1]运用对称性给出了该题一个简捷漂亮的证明 ,读后受益匪浅 .值得提出的是 ,人们在追求对称、和谐美的同时 ,亦追求一种奇异美 .徐利治教授说过 :“奇异是一种美 ,奇异到极度更是一种美 .”奇异性的结果对数学发展的影响无论作何种评价都不会过分 ,因为它意味着旧观念的崩溃和新思想的诞生 .奇异性常常体现出思维的发散性美 .在奇异、发散美的刻意追求下 ,笔者萌发开放题目结论的意识 ,而这仅需在原证法基础上作适当改进 ,引进参变数化…     

一组优美的不等式

俄罗斯杂志《中学数学》每期都有“新题”的专栏.笔者从2004年和2005年《中学数学》杂志中选择了若干有关不等式的新题,并给出了解法.这些新题大多具有优美的结构,并能用巧妙的方法进行解答,在数学教学中有较大的参考价值.题后括号内注明了该题的命题者.1设a,b,c>0,证明不等式(a b)(a c)>abc(a b c).(贝·伊·卡斯开维奇)证(a b)(a c)=a2 ab ac bc>ab ac bc=(ab ac bc)2=a2b2 a2c2 b2c2 2abc(a b c)>abc(a b c).2设a,b,c,d>0,证明不等式(ab cd)(ad bc)(a c)(b d)≥abcd.(阿·贝·斯米尔诺夫)证不影响结论的一般性,可认为ab cd≥ad bc,而此时…