利用圆锥曲线的定义解题

定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式 .对定义的深刻理解是提高解题能力的坚实基础 ,但不少学生对圆锥曲线的定义的应用缺乏自觉性 .其实在处理某些解析几何问题时 ,若能结合圆锥曲线的定义来考虑 ,可避免繁琐的计算过程 ,从而显得简洁、明快 .以下略举几例 ,说明圆锥曲线的定义在解题中的应用 .例 1　 (1990年全国高中数学联赛试题 )设双曲线的左、右焦点是Ｆ1,Ｆ2 ,左、右顶点是Ｍ ,Ｎ ,若△ＰＦ1Ｆ2 的顶点Ｐ在双曲线上 ,则△ＰＦ1Ｆ2 的内切圆与边Ｆ1Ｆ2 的切点位置是 (　　 )(Ａ)在线段ＭＮ内部 .(Ｂ)在线段Ｆ1Ｍ内部或线段…     

巧用圆锥曲线的定义解轨迹题

这里所讲的定义都是用式子来反映的,不妨复述一下：设M是圆锥曲线上任一点,C为圆心,r为半径,F1,F2是椭圆或双曲线的两焦点,长（实)轴长为2α,焦距为2c,F是抛物线的焦点,则有：     

圆锥曲线统一定义的解题功能

圆锥曲线是平面解析几何的重要曲线,其性质是历年高考考查的重点本文举例说明圆锥曲线的统一定义的解题功能,供同学们参考.     

不可忽视的圆锥曲线定义

圆锥曲线定义是一个内容非常丰富的定义 ,运用圆锥曲线的定义解题不但可以使学生加深对定义的理解 ,而且可以起到以点带面、事半功倍的作用 .先看下面的一个例题 :例 1　若点 P的坐标是 (- 1 ,- 3) ,F为椭圆x21 6 y21 2 =1的右焦点 ,点 Q在椭圆上移动 ,当|QF | 12 |PQ|取得最小     

圆锥曲线定义的活用

圆锥曲线的第一定义给出了三类曲线各自的内涵及几何特征,有"质"的区别;统一定义(第二定义)则深刻地揭示了三类曲线的内在联系,使焦点、离心率和准线等构成有"形"的统一.灵活地运用这两种定义,在求解圆锥曲线的有关问题时,往往能收到避繁就简、事半功倍的效果.     

添准线 用定义

我们熟悉圆锥曲线的统一定义,题中同时出现焦点与准线,易想到用统一定义.但很多时候,题干中仅出现焦点,其实用心审题,我们可以添准线,创造条件使用圆锥曲线的统一定义.使用定义     

重视圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线的定义是圆锥曲线最本质的属性,它揭示了圆锥曲线存在的条件及其所包含的几何性质,恰当地运用圆锥曲线定义进行解题不但加深对概念的理解,而且还可以起到以点带面、事半功倍的作用．由于圆锥曲线的第二定义超出现行上海教学大纲,故下面一些举例都是圆锥曲线的第一定义出发．下面从五个方面说明：     

活用圆锥曲线的定义巧解一类高考试题

圆锥曲线是解析几何中的最重要的部分,也是高考中必考的难点内容,尤其是圆锥曲线与向量的交汇,很好地考查了学生利用数形结合思想解决问题的综合能力.笔者针对最近出现的高考试题,谈谈灵活应用圆锥曲线定义解决直线与圆锥曲线综合问题的巧妙简捷解法.     

圆锥曲线定义的几何证明

用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口瞄线,分别是椭圆、双曲线、抛物线,通常把它们统称为圆锥曲线．那么,为什么截口曲线是椭圆、双曲线或抛物线呢？     

圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件：     

圆锥曲线两个性质的推广

《数学通报》2 0 0 2年第 6期文 [1 ]给出了圆锥曲线的如下两个性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .性质 2　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,点Ｃ在Ｌ上 ,直线ＡＣ平分线段ＥＦ ,则ＢＣ∥ＦＥ .本文旨在将以上两个性质进行推广 ,即若将性质中的焦点Ｆ推广为圆锥曲线 (包括圆 )对称轴上的任意一定点 ,是可得如下若干结论 ,1　性质 1的推广定理 1…     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

椭圆定义在解题中的应用

椭圆有两种定义,定义式分别为｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数2a＞｜F1F2｜)和｜PF｜=e(0＜e＜1).椭圆定义中的数量关系十分明显,若能正确应用椭圆定义解题,则可以优化解题方法,培养解题能力,达到事半功倍的效果,现举例说明其应用.     

圆锥曲线的一个有趣性质及若干推论

圆锥曲线是一类美丽、实用的曲线 ,它有许多内涵丰富、引人入胜的性质 ,本文将笔者在研究圆锥曲线中所得的一点成果 (圆锥曲线的一个有趣性质 )奉献出来与读者共赏 .1　几个结论以下分椭圆、双曲线、抛物线三种情形 ,介绍几个结论 .定理 1　给定椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,M(m ,0 ) (m≠ 0 ,m≠±a)是x轴上的一定点 ,直线l:x=a2m,过M任意引一条直线与椭圆交于A ,B两点 ,A ,B在l上的射影分别为A′,B′,在x轴上的射影分别为A″,B″,则｜AA′｜｜AA″｜ =｜BB′｜｜BB″｜.图 1定理 2　给定双曲线 x2a2 - y2b2 =1 (a >0 ,b>0 ) ,其…     

用定义求解圆锥曲线中的恒定问题

以圆锥曲线为背景的“恒定”问题，其形式多姿多彩。我们往往可以利用圆锥曲线的定义直接破题。下面我们列举几例，供大家欣赏。     

圆锥曲线统一定义课件的制作

《数学通讯》2 0 0 1年第 2 3期、2 0 0 2年第7期先后刊登了张爱明老师和杨德兵、余咏梅老师用《几何画板》辅助圆锥曲线统一定义教学的文章 .《几何画板》和《平面解析几何教师版》都是人民教育电子音像出版社推出的制作数学课件的软件 .而在制作平面解析几何的课件时 ,《平面解析几何教师版》具有更强大的功能和优势 .本人在此介绍自己用此软件制作圆锥曲线统一定义课件的方法 ,与同行共同探讨 .如图 1,设M (x ,y)为圆锥曲线上任意一点 ,圆锥曲线统一定义用数学式子可表示为 :|MF|d =e ,0 1,曲…     

利用直线生成圆锥曲线解题

在解析几何里 ,二元二次方程a1 1 x2 + 2a1 2 xy+a2 2 y2 + 2a1 x+ 2a2 y+a0 =0 (a1 1 ,a1 2 ,a2 2 不全为零 )表示一般的圆锥曲线 ,它的性质由系数的比值a1 1 ∶a1 2 ∶a2 2 ∶a1 ∶a2 ∶a0 来确定 .因此 ,当给定五个独立的条件时 ,可采用解线性方程组的方法求出系数的比值 ,从而圆锥曲线被唯一确定 .为了避免求解复杂的线性方程组 ,可利用直线之间的某种组合关系来生成圆锥曲线 ,从而 ,使某些复杂且颇具难度的几何题得到简捷的解决 .1　由直线生成圆锥曲线族 (系 )设l1 ≡a1 x+b1 y+c1 =0 ,l2 ≡a2 x+b2 y+c2 =0 ,l3≡a3x+b3y+c3=0 ,l4≡a…     

一个圆锥曲线引理的补正及其应用

文 [1 ]给出了文 [2 ]的一个统一命题 ,并利用一个引理给出了简证 ,遗憾的是统一命题虽对 ,但是引理不正确 ,为此特作更正 ,并用圆锥曲线的这一几何性质证明几个命题 .定理　设F是圆锥曲线的焦点 ,其相应的准线为L ,过L上一点M作直线交圆锥曲线于P ,Q两点 ,则MF平分∠PFQ ,或其邻补角 .证明　设圆锥曲线的离心率为e,点P ,Q在准线上的射影为R ,S .如图 1中 ,图 (甲 )为e≤ 1 ,图 (乙 )为e >1的情况 .图 1由圆锥曲线的定义得 :｜PF｜｜PR｜=e,｜QF｜｜QS｜=e.由平行线的性质得 :｜PR｜｜QS｜ =｜PM｜｜QM｜.所以 ｜PF｜｜QF｜ =…