Fluiddynamik bei quer angeströmten Zylindern

Zusammenfassung Die vorliegende Untersuchung befa\t sich mit der stationÄren Umströmung eines einzelnen Kreiszylinders. Die vollstÄndige Navier-Stokessche Gleichung wurde für den Bereich der Reynolds-Zahl von Re=10^–4 bis Re=1,2·10² numerisch intergriert. — Die das Strömungsfeld kennzeichnenden Merkmale sind der Strömungswiderstand, die Grö\en für die Ablösung der Strömung sowie die kritische Reynolds-Zahl. Sie sind abhÄngig von der Ausdehnung des umgebenden Fluids. Zur Berechnung dieser Grö\en werden Gleichungen mit praktisch bedeutsamen Gültigkeitsbereich mitgeteilt. Diese Berechnungsgleichungen sind durch theoretisch-numerische Daten sowie durch zahlreiche Me\daten gestützt. — Insbesondere wird ein Widerstandsgesetz erörtert, dessen Gültigkeit im Bereich der Reynolds-Zahl von Re=10^–4 bis zur kritischen Reynolds-Zahl theoretisch und experimentell einwandfrei gesichert ist. Es ist das bisher umfassendste Widerstandsgesetz für Kreiszylinder. Für kleinere Werte der Reynolds-Zahl als Re=10^–4 wird ein analytisches NÄherungsgesetz für den Widerstandsbeiwert mitgeteilt.

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Investigation of the flow around transverse cylinders

The steady incompressible flow around a circular cylinder has been investigated. Numerical solutions of the full Navier-Stokes equation have been obtained for a range of Reynolds numbers from Re=10^–4 to Re=1,2·10². The calculated velocity distributions allowed to determine the values of the drag coefficient, the angles of separation, and the wake lengths. They depend on the extend of the numerical field. These quantities can be predicted now by means of correlations, which are in good agreement with all available experimental and theoretical data. Especially it is presented a drag equation for the range of Reynolds numbers from Re=10^–4 up to Re=Re_kr. The critical Reynolds number, Re_kr, is a function of the turbulence intensity. This function is known. For very low Reynolds numbers, Re < 10^–4, there is an analytical drag equation, that based on Oseen type linearization of the Navier-Stokes equation.

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Formelzeichen d Zylinderdurchmesser - F SchattenflÄche des Zylinders - l^* bezogene LÄnge des Rückströmungsgebietes - p,p^* örtlicher, bezogener örtlicher Druck - R Zylinderradius - r,r^* radiale, bezogene radiale Koordinate - W Strömungswiderstand des Zylinders - w Anströmgeschwindigkeit des Fluids - w_r,w _r ^* örtliche, bezogene örtliche Geschwindigkeitskomponente in radialer Richtung - w,w ^* örtliche, bezogene örtliche Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung - w zeitliche Schwankungsgeschwindigkeit - Widerstandsbeiwert des Zylinders - _D,_R Druck- und Reibungsanteil des Widerstandsbeiwerts - Umfangswinkel vom vorderen Staupunkt gemessen - _A Ablösewinkel vom hinteren Staupunkt gemessen - kinematische ViskositÄt des Fluids - Massendichte des Fluids - ,^* örtliche, bezogene örtliche WirbelstÄrke - ,^* örtliche, bezogene örtliche Stromfunktion - Reynolds-Zahl - Re_kr kritischer Wert der Reynolds-Zahl - Turbulenzgrad Indices r in radialer Richtung - b Umfangsrichtung     

An exact numerical method of calculating inviscid heated flows in two dimensions with an example of duct flow

Summary A twodimensional flow problem with heat addition can be expressed in terms of five parameters (pressure p, density , flow speed u, flow direction , rate of heating q) which must satisfy four equations (continuity, two components of momentum, and energy). It is shown how the equations become particularly simple, being linear and hyperbolic, if is specified and solutions obtained for the other four variables. An example is given of the flow through a supersonic combustion chamber.

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Übersicht Zweidimensionale Strömungsprobleme mit Wärmezufuhr können mit Hilfe von 5 Größen (Druck p, Dichte , Strömungsgeschwindigkeit u, Strömungsneigung , Wärmezufuhr q) formuliert werden, die 4 Gleichungen erfüllen müssen (Erhaltungssätze für Masse, Energie und zwei Komponenten des Impulses). Es wird gezeigt, daß die Gleichungen besonders einfach werden, nämlich linear und hyperbolisch, wenn vorgegeben wird und Lösungen für die andern 4 Veränderlichen bestimmt werden. Als Beispiel wird die Überschallströmung in einer Brennkammer behandelt.

     

Heat transfer enhancement in a channel with a built-in rectangular cylinder

A two dimensional numerical investigation of the unsteady laminar flow pattern and forced convective heat transfer in a channel with a built-in rectangular cylinder is presented. The channel in the entrance region has a length to plate spacing of ten. The computations were made for several Reynolds number and two rectangular cylinder aspect ratios. Hydrodynamic behavior and heat transfer results are obtained by solution of the complete Navier-Stokes and energy equation. The results show that these flow exhibits laminar self-sustained oscillations for Reynolds numbers above the critical one. This study show that oscillatory separated flows result in a significant heat transfer enhancement but also in a significant pressure drop increase.

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Erhöhung des Wärmeübergangs in einem Spaltkanal mit quer eingebautem Rechteckprisma

Zusammenfassung Es wird eine zweidimensionale numerische Untersuchung des instationären Wärmeübergangs und Druckverlustes im laminar durchströmten Spaltkanal mit quer eingebautem Rechteckprisma dargelegt und zwar für verschiedene Reynoldszahlen und zwei Prismenabmessungen. Als Lösung der Navier-Stokes- und der Energiegleichung resultieren selbsterregt oszillieren de Strömungs- und Temperaturfelder, verbunden mit starker Erhöhung des Wärmeübergangs und des Druckverlustes.

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List of symbols C _f skin friction coefficient, Eq. (11) - C _D drag coefficient, Eq. (11) - D drag [N/m] - f _app apparent friction factor, Eq. (10) - h cylinder height [m] - H channel height [m] - k thermal conductivity of cylinder [W/mK] - k ₀ thermal conductivity of air [W/mK] - l cylinder length [m] - L channel length [m] - Nu Nusselt number, Eq. (7) - P dimensionless pressure - Pr Prandtl number of air - Re Reynolds number, Eq. (6) - t time [s] - T temperature [K] - T _b bulk temperature [K], Eq. (8) - U, V dimensionless velocity components - X, Y dimensionless coordinates Greek symbols thermal diffusivity [m²/s] - velocity factor, Eq. (11) - dimensionless temperature, Eq. (5) - fluid density [kg/m³] - kinematic viscosity [m²/s] - dimensionless time, Eq. (5) - difference     

A power-law fluid flow past a porous sphere

Summary A model has been developed for the flow of a non-Newtonian fluid past a porous sphere. The drag force exerted on a porous sphere moving in a power-law fluid is obtained by an approximate solution of equations of motion in the creeping flow regime. It is predicted that the effect of the pseudoplastic anomaly on the drag force is more pronounced at large porosity parameters.

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Zusammenfassung Es wird ein Modell für die Strömung einer nichtnewtonschen Flüssigkeit längs einer porösen Kugel entwickelt. Die auf die in einer Ostwald-DeWaele-Flüssigkeit bewegte Kugel ausgeübte Reibungskraft wird durch eine Näherungslösung der Bewegungsgleichungen für schleichende Strömung gewonnen. Man findet, daß der Einfluß der Abweichung vom newtonschen Verhalten um so ausgeprägter wird, je größer die Porosität ist.

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A, B, C, D a, b, c, d coefficients in eqs. [10] and [18] - F _D drag force - K consistency index in power-law model - k ₁ ,k ₂ coefficients defined by eq. [18] - m porosity parameter - n flow index in power-law model - P pressure - P ^* dimensionless pressure defined by eq. [4] - P pressure difference - R radius of porous sphere - r radial distance from the center of the sphere - U velocity of uniform stream - u _i velocity component - u _i ^* dimensionless velocity component defined by eq. [4] - Y drag force correction factor defined by eq. [27] - _ij rate of deformation tensor - _ij ^* dimensionless rate of deformation tensor defined by eq. [4] - , spherical coordinates - dimensionless radial distance defined by eq. [4] - second invariant of rate of deformation tensor - ^* dimensionless second invariant of rate of deformation tensor defined by eq. [4] - _ij stress tensor - _ij ^* dimensionless stress tensor defined by eq. [4] - stream function - ^* dimensionless stream function defined by eq. [4] - i inside the surface of the sphere - o outside the surface of the sphere With 1 figure and 1 table     

Temperature fluctuations in a separated and reattached turbulent flow over a blunt flat plate

Investigated in the present study are some statistical features of temperature fluctuations in a two-dimensional separated and reattached turbulent flow over a blunt flat plate. Clarified are statistic behaviors of temperature fluctuation intensities, its autocorrelation coefficients, integral time scales, power spectra, probability density functions, skewness and flatness factors in the separated, reattached and redeveloped flow regions. Further, the present results are compared with the existing ones for a normal turbulent boundary layer over a flat plate without separation.

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Temperaturschwankungen in einer abgelösten und wiederanliegenden turbulenten Strömung über eine stumpfe ebene Platte

Zusammenfassung In der vorliegenden Untersuchung wurden mehrere statistische Charakteristika der Temperaturschwankungen im Bereich der abgelösten, wiederanliegenden und wiederausgebildeten zwei-dimensionalen turbulenten Luftströmung über eine ebene Platte mit stumpfer Vorderkante experimentell untersucht. Besonders wurde das statistische Verhalten der Intensität der Temperaturschwankungen, die Autokorrelationskoeffizienten, der integrale Zeitmaßstab, das Leistungsspektrum und die Wahrscheinlichkeits-Dichte-Funktion und die schiefen und ebenen Beiwerte im Bereich der abgelösten, wiederanliegenden und wiederausgebildeten Luftströmung beschrieben. Die erhaltenen Ergebnisse werden mit bereits existierenden Ergebnissen für eine turbulente Grenzschicht ohne Druckgradient über eine ebene Platte verglichen.

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Nomenclature E(k) power spectrum - z flatness factor - f frequency - 2H plate thickness - k wave number=2f/U - l time-mean reattachment length - P() probability density function - q _w heat flux per unit area and time - R () autocorrelation coefficient - Re Reynolds number=U·H/v - S skewness factor - T integral time scale - U velocity of upstream uniform flow - U,u local streamwise mean and turbulent fluctuating velocity - u ⁺ friction velocity= - x distance from leading edge along plate surface - y distance normal to wall - y ⁺ nondimensional wall distance=u ⁺·y/v - _T nominal thermal boundary layer thickness defined as a wall distance of (-)/(gQ _W - )=0.01 - _m momentum thickness - , mean and turbulent fluctuating temperature - temperature at upstream uniform flow - _w wall temperature - v kinematic viscosity of air - fluid density - time lag - _w wall shear stress     

Analysis of fully developed opposing mixed convection between inclined parallel plates

An exact solution is presented of fully developed, laminar flow between inclined parallel plates with a uniform wall heat flux boundary condition. The flow is downward and the heat flux is into the channel, so that natural convection opposes the forced flow. The solution depends on the two parametersP ₁=Gr sin/Re andP ₂=Gr cos/Re ² Pr. Four different flow reversal regimes are observed: 1) no reversal, 2) top reversal, 3) bottom reversal, and 4) top and bottom reversal. Velocity profiles, temperature profiles, wall friction, and Nusselt numbers are presented. Despite the simplicity of the problem which has been analyzed, it does display some features which have been observed in real mixed convection flows, such as flow reversal and nonmonotonic dependence on tilt angle.

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Berechnung der voll entwickelten entgegengesetzt gerichteten Misch-Konvektion zwischen geneigten parallelen Platten

Zusammenfassung Es wird eine exakte Lösung für voll entwickelte laminare Strömung zwischen geneigten parallelen Platten mit einheitlichem Wand-Wärmestrom als Randbedingung dargestellt. Die Strömung ist abwärts gerichtet und der Wärmestrom führt in den Kanal, so daß die freie Konvektion der erzwungenen entgegengesetzt gerichtet ist. Die Lösung hängt von den beiden Parametern P₁=Gr sin/Re und P₂=Gr cos/Re ² Pr ab. Vier verschiedene Bereiche der Strömungsumkehr wurden betrachtet: 1) keine Richtungsumkehr, 2) Umkehr an der Oberseite, 3) Umkehr an der Unterseite und 4) Umkehr an Ober- und Unterseite. Es wurden Geschwindigkeits- und Temperaturprofile, Wandreibung und Nusselt-Zahlen dargestellt. Trotz der Einfachheit des analysierten Problems werden einige Dinge dargestellt, welche in realer gemischter Konvektion untersucht wurden, so z.B. Strömungsumkehr und die nicht-monotone Abhängigkeit vom Schrägungswinkel.

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Nomenclature f friction factor=_w/(1/2_ou^–2) - g gravitational acceleration constant=9.8 m/s² - Gr Grashof number=qL⁴/kv² - k fluid thermal conductivity - L channel width - Nu Nusselt number=2qL/k(T _w –T _h ) - p fluid thermodynamic pressure - P nondimensional pressure=[p– _o g(x sin–y cos)]/Pr _o u ^– - Pr Prandtl number=v/ - P ₁ Gr sin/Re - P₂ Gr cos/Re ² Pr - q wall heat flux - Re Reynolds number=–u L/v - T fluid temperature - T _b fluid bulk temperature - T _o constant reference temperature - T _w fluid temperature - u axial velocity - average velocity - U nondimensional velocity=u/ - x axial coordinate - X nondimensional axial coordinate=x/–uL ² - y transverse coordinate - Y nondimensional transverse coordinate=y/L - fluid thermal diffusivity - fluid thermal expansion coefficient - tilt angle, measured counterclockwise from horizontal in Fig. 1 - v fluid kinematic viscosity - ₀ fluid density evaluated atT ₀ - _w wall shear stress - nondimensional temperature=(T–T _o )/(q L/k) - _b nondimensional bulk temperature=f U dY - _w nondimensional wall temperature=(T _w –T ₀)/(qL/k)     

Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Reibungsschicht an axial angeströmten rotierenden Drehkörpern

Zusammenfassung Als Abschluß eines umfangreichen Programmes zur Berechnung der Strömung an angeblasenen rotierenden Rotationskörpern wird der bisher noch fehlende Fall turbulenter Strömung behandelt.Für die Berechnung der Impulsverlustaicken sowie des Drehmomentes konnten einfache Quadraturformeln erhalten werden, die für den laminaren Fall ebenfalls eine recht brauchbare Näherung darstellen. In den Formeln kommen nur die Verteilung des Körperhalbmessers und des Körperhalbmessers und die Geschwindigkeitsverteilung um den Körper vor. Es wird eine Abschätzung zur Bestimmung der Lage des Ablösungspunktes infolge der Drehbewegung des Körpers angegeben.Das Verfahren wurde erprobt an den Beispielen der rotierenden Scheibe, der Kugel, der Rotationsellipsoide und des räumlichen Halbkörpers. In allen Fällen wurde der Momentenbeiwert bei laminarer und turbulenter Strömung berechnet. Allgemein kann man zeigen, daß sich das Drehmoment bei konstant gehaltener Anströmungsgeschwindigkeit linear mit der Umfangsgeschwindigkeit ändert.Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Teil einer von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig angenommenen Habilitationsschrift mit dem Titel Die Strömung um rotierende Drehkörper bei axialer Anströmung dar. (Berichter Prof. Dr. H. Schlichting, Mitberichter Prof. Dr. H. Blenk.) Der erste Teil mit dem Titel Die turbulente Strömung an einer angeblasenen rotierenden Scheibe wird in der Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik erscheinen.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Institut für Strömungsmechanik der T. H. Braunschweig ausgeführt.     

Convective heat transfer in a parallel plate channel with porous lining

The paper proposes a theoretical model for the study of flow and heat transfer in a parallel plate channel, one of whose walls is lined with non-erodible porous material, both the walls being kept at constant temperatures. The analysis uses Brinkman model in the porous medium and employs the velocity and temperature slips at the interface (the so called nominal surface). The influence of the thickness as well as the permeability of the porous medium on the flow field and Nusselt numbers at the walls is investigated.

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Konvektive Wärmeübertragung in einem Parallelplattenkanal mit porösem Überzug

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit dem Vorschlag eines theoretischen Modells, um die Wärmeübertragung in einem Parallelplattenkanal mit unauswaschbarem porösem Überzug zu studieren. Die Strömung innerhalb des porösen Überzugs ist mit Hilfe der Brinkmannschen Gleichung analysiert. An der Grenze (der sogenannten Nominalfläche) zwischen dem Überzug und der freien Strömung sind die Geschwindigkeitsgleitung und die Temperaturgleitung benutzt. Die Beeinflussung des Geschwindigkeitsfelds und die Nusseltschen Zahlen an den Wänden in Abhängigkeit von der Dicke und der Durchlässigkeit des porösen Überzugs ist untersucht.

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Nomenclature u streamwise velocity in Zone 1 (Fig. 1) - û streamwise velocity in Zone 2 (Fig. 1) - p pressure - coefficient of viscosity of the fluid - k absolute permeability of the material used for lining - density of the fluid - R Reynolds number - the average velocity in Zone 1 (Fig. 1) - T temperature in Zone 1 (Fig. 1) - T temperature in Zone 2 (Fig. 1) - K thermal conductivity in Zones 1 and 2 (Fig. 1) - M ₁ non-dimensional mass flow rate in Zone 1 (Fig. 1) - M ₂ non-dimensional mass flow rate in Zone 2 (Fig. 1) - (Nu)_U Nusselt number at the upper plate (Fig. 1) - (Nu) _L Nusselt number at the lower plate (Fig. 1) - _E experimental value of the temperature in the channel (with porous lining) at a specified point - _E/* experimental value of the temperature in the channel (without porous lining) at a specified point     

A computer model of hole-pressure measurement in Poiseuille flow of visco-elastic liquids

Summary Liquid-filled holes used for pressure measurements of visco-elastic liquids give rise to systematic hole pressure errors.Tanner andPipkin have presented an analysis for flows of a second-order fluid in which they derive a simple relation between the first normal-stress difference and the hole pressure for flow situations where Reynolds numbers are very small. Implicit in the analysis is the assumption that the streamlines are symmetric about the hole center line. In this paper, using a numerical solution, we investigate the relationship between the hole pressure and the first normalstress difference for a range of Reynolds numbers where inertial effects are not negligible. The ratio of hole pressure to first normal-stress difference is found to vary from 0.25 to 0.16 as the Reynolds number is varied from 1 to 10. Streamline patterns are presented for Poiseuille flow of a second-order fluid over a slot cut into one wall of an otherwise straight channel. Various geometries are considered. The results naturally include those for an incompressible Newtonian liquid at non-zero Reynolds numbers.

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Zusammenfassung Flüssigkeitsgefüllte Bohrungen für Druckmessungen führen bei viskoelastischen Flüssigkeiten zu systematischen Fehlern (hole pressure errors).Tanner undPipkin haben für Strömungen von Flüssigkeiten zweiter Ordnung diesen Effekt analysiert und finden im Falle sehr kleiner Reynoldszahlen eine einfache Beziehung zwischen der ersten Normalspannungsdifferenz und dem Lochdruck (hole pressure). Bei dieser Untersuchung wird implizit von der Annahme Gebrauch gemacht, daß die Stromlinien symmetrisch zur Lochachse verlaufen. In der vorliegenden Arbeit wird unter Anwendung eines numerischen Verfahrens die Beziehung zwischen dem Lochdruck und der ersten Normalspannungsdifferenz für einen Bereich von Reynoldszahlen untersucht, bei dem Trägheitseffekte nicht mehr vernachlässigt werden können. Das Verhältnis von Lochdruck zu erster Normalspannungsdifferenz verkleinert sich von 0,25 auf 0,16, wenn die Reynoldszahl von 1 bis 10 ansteigt. Für die Poiseuille-Strömung einer Flüssigkeit zweiter Ordnung über einer in die Wand eines sonst geradlinigen Kanals eingeschnittene Nute werden Stromlinienbilder dargestellt, wobei unterschiedliche geometrische Verhältnisse betrachtet werden. Die Ergebnisse schließen natürlich den Fall der Strömung inkompressibler newtonscher Flüssigkeiten mit nicht-verschwindender Reynoldszahl ein.

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With 11 figures and 2 tables     

Mixed convection in vertical channels with a discrete heat source

Two dimensional laminar mixed convection flow in vertical channels with a discrete heat source was numerically analyzed. An isoflux discrete heating element was located on the left wall, while the isothermal conditions were imposed on the other wall. The governing equations were solved using a finite difference method based on the control volume approach. The mean Nusselt number was calculated and the maximum component temperature was determined. The computations were carried out for different Grashof number, Reynolds number, heater locations and the channel width. It was observed that the location of the heating element does not play a considerable role on the flow. At low Reynolds numbers (Re<50), the mean Nusselt number and the maximum temperature are mainly controlled by the Grashof number. However, at higher Reynolds numbers, the Reynold number plays an important role on the flow. It was also found that at low Reynolds numbers, cooling is more effective when the channel width is large (W/H>1). However, at high Reynolds numbers more effective cooling is obtained in narrow channels.

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Mischkonvektion in vertikalen Kanälen mit einer lokalen Wärmequelle

Zusammenfassung Die zweidimensionale laminare Mischkonvektion in vertikalen Kanälen mit einer lokalen Wärmequelle wird numerisch untersucht. Ein Heizelement konstanter Wärmeleistung befindet sich auf der linken Kanalwand, die rechte hat konstante Temperatur. Die Lösung der Grundgleichung erfolgte mit Hilfe der auf dem Kontrollvolumenprinzip basierenden Finitdifferenzenmethode. Die mittlere Nusselt-Zahl sowie die Maximaltemperatur des Heizelementes wurden berechnet, und zwar unter Variation der Grashof-Zahl, der Reynolds-Zahl, der Lage des Heizelements und der Kanalbreite. Letztere hatte nur geringen Einfluß auf den Strömungsverlauf. Bei kleinen Reynolds-Zahlen (Re<50) werden Nusselt-Zahl und Maximaltemperatur vorrangig durch die Grashof-Zahl bestimmt, während bei hohen Reynolds-Zahlen letztere den Strömungsvorgang beherrscht. Ferner zeigte sich, daß bei niedrigen Reynolds-Zahlen die Kühlung für große Kanalbreite (W/H>1) effektiver wird und bei hohen Reynolds-Zahlen die Verhältnisse gerade umgekehrt liegen.

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Nomenclature g gravitational acceleration - Gr Grashof number (Gr=gqH ⁴/v²k) - H heater hight - k thermal conductivity of fluid - L height of the channel - Nu Nusselt number - P pressure - Pr Prandtl number - Re Reynolds number (Re=V ₀H/v) - S position of heater center - T temperature - T _c cold wall temperature - T ₀ inlet temperature - u velocity component inx-direction - U dimensionless velocity component inx-direction (U=u/V ₀) - x horizontal axis - X dimensionless horizontal axis (x/H) - v velocity component iny-direction - V dimensionless velocity component iny-direction (V=v/V ₀) - V ₀ inlet velocity - W width of the channel - y vertical axis - Y dimensionless vertical axis (y/H) Greek symbols a thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - density of fluid - kinematic viscosity - dimensionless temperature (=(T–T _c)/[qH/k])     

Thermische Marangonikonvektion in Tropfen unter Mikrogravitation bei Beachtung der Tropfendeformation

Übersicht Die hier vorgestellten Ergebnisse sind Teil eines Forschungsprojektes mit dem Ziel, Marangonikonvektion unter Schwerelosigkeit mittels transienter Temperaturfelder zu beeinflussen. In dieser Veröffentlichung werden Lösungen für stationäre Strömungsfelder unter Vorgabe des Temperaturfeldes an der Oberfläche eines frei schwebenden Tropfens präsentiert. In der bestehenden Literatur wird zur Berechnung dieser Ergebnisse die freie Oberfläche des Tropfens als nicht deformierte Kugel vorgegeben. Im Vergleich dazu ergibt sich die Oberfläche in den hier vorgestellten Ergebnissen als Teil der Lösung. Das Strömungsfeld im Tropfen wird für verschiedene Reynolds-Zahlen 0Re5000 und Kapillarzahlen 10Ca1000 dargestellt.

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Thermal Marangoni convection in drops under microgravity taking into account their deformation

Summary The investigations presented here are part of a microgravity project in which the reduction of thermal Marangoni convection by using a transient heat source is studied experimentally and theoretically. This publication shows the results of the theoretical considerations concerning steady state fluid motion in a drop under microgravity induced by a given temperature field at the surface of the drop. In contrast to the literature where the surface is assumed to be an underformed sphere the position of the surface is part of the solutions obtained. The solutions have been computed for Reynolds numbers 0Re5000 and capillary numbers 10Ca1000.

     

Mathematische Modellierung der Wärmeübertragung in Plattenwärmeaustauschern unter Nutzung der Methode der finiten Elemente

Zusammenfassung Es wird ein eindimensionales mathematisches Modell für Plattenwärmeaustauscher vorgestellt, das es erlaubt, den Wärmeaustausch bei beliebig lokal veränderlichen Wärmeübergangskoeffizienten zu berechnen. Zur numerischen Lösung des Problems wird die Methode der finiten Elemente (FEM) verwendet. Der Vergleich theoretischer Berechnungen mit diesem Modell mit den Ergebnissen anderer Berechnungsverfahren und mit experimentellen Ergebnissen zeigt die gute Verwendbarkeit des Verfahrens für Plattenwärmeaustauscher mit beliebiger Strömungskonfiguration.

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Mathematical modelling of heat transfer in plate heat exchangers using the finite element method

A one-dimensional mathematical model for predicting heat transfer in plate heat exchangers with locally varying heat transfer coefficients is presented. Numerical solutions are obtained using the finite element method (FEM). Comparisons of theoretical predictions using this model with the results of other prediction methods and with experimental results show the good efficiency of the method for modelling plate heat exchangers with arbitrary flow configurations.

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Formelzeichen A Wärmeaustauschfläche, m² - A _p Wärmeaustauschfläche einer Platte, m² - b,b _p thermisch aktive Kanal- oder Plattenbreite, m - Be Boolsche Transformationsmatrix im Element - c _p spezifische Wärmekapazität eines Fluides, J/(kg K) - d _d hydraulischer Durchmesser eines Strömungskanals, m - F Korrekturfunktion im globalen kinetischen Ansatz - Enthalpiestrom eines Fluides, W - k lokaler Wärmedurchgangskoeffizient, W/(m² K) - über einen gewissen Bereich des Apparates gemittelter Wärmedurchgangskoeffizient, W/(m² K) - L thermisch aktive Plattenlänge, m - Fluidmassenstrom, kg/s - Ne Zahl der Elemente für die FEM-Zerlegung eines Strömungskanals - Nk Zahl der geometrischen Knoten in einem Strömungskanal (Nk=Ne + 1) - Nsk Zahl der Strömungskanäle in einem Apparat - Ntp Zahl der thermischen Platten in einem Apparat (Ntp=Nsk- 1) - NTU NTU- Zahl (Kenngröße) - NTU1 lokaleNTU-Zahlen im Strömungskanal - NTU2 lokaleNTU- Zahlen im Strömungskanal - N Zahl der rechnerischen Knotenvariablen in einem Strömungskanal (Nv=2 · Nk) - Pe Elementenmatrix - Pr lokaler Wert der Prandtl-Zahl in einem Strömungskanal - lokale Wärmestromdichte, W/m² - über einen gewissen Bereich des Apparates gemittelte Wärmestromdichte, W/m² - Wärmestrom, W - R(x) Residuenfunktion einer Differentialgleichung - Re lokaler Wert der Reynoldszahl in einem Strömungskanal - s Kanalspaltbreite, m - Se Elementenmatrix - T Temperatur, °C - t _p Wandstärke der thermischen Platten, m - mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Kanal, m/s - Volumenstrom eines Fluides, m³/s - w(x) Wichtungsfunktion im Approximationsansatz nach Galerkin - x Längenkoordinate in Hauptströmungsrichtung eines Kanals, m - lokaler Wärmeübergangskoeffizient, W/(m² K) - e Länge eines Elementes, gemessen in der globalen Koordinatex, m - T _m logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz zwischenzwei Fluidströmen, K - dimensionslose Längenkoordinate im einzelnen finiten Element oder energetischer Wirkungsgrad des Apparates - dimensionslose Längenkoordinate im Strömungskanal - dynamische Zähigkeit eines Fluides, kg/(m s) - Approximationsfunktion der dimensionslosen Temperatur - dimensionslose Temperatur - Wärmeleitfähigkeit, W/(m K) - Fluiddichte, kg/m³ - lokale oder globale Formfunktion im FEM-Ansatz Indizes 12 Austauschgröße zwischen den Fluiden 1 und 2 - a Austrittsgröße aus dem Apparat - e Eintrittsgröße in den Apparat oder Elementgröße - i Zählindex für die Kanäle - max Maximalwert einer Größe - min Minimalwert einer Größe - 0 Referenzzustand - T transponierte Matrix (Vektor)     

Stabilitätsrechnung der Rohrströmung einer inkompressiblen viskoelastischen Flüssigkeit zweiter Ordnung

Zusammenfassung Für die Durchsatzströmung im Rohr wird mit Hilfe der klassischen hydrodynamischen Stabilitätstheorie gezeigt, daß die inkompressible Flüssigkeit zweiter Ordnungs = –pI + 2(d + 2t ₁ d ² –t ₀ d) stabil ist gegenüber kleinen rotationssymmetrischen Störungen.

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Summary For Poiseuille pipe flow it is shown by means of the classical theory of hydrodynamic stability, that the incompressible second-order fluids = –pI + 2(d + 2t ₁ d ² –t ₀ d) is stable with respect to small disturbances of rotational symmetry.

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Nomenklatur a _n Koeffizienten der Reihenentwicklung - c = /k komplexe Wellengeschwindigkeit - d Deformationsgeschwindigkeitstensor - D, D dimensionsloser Deformationsgeschwindigkeitstensor (Grund- und Störtensor) - e _i kovariante Basis - g Vektor der Erdbeschleunigung - I Einheitstensor - k Wellenzahl - M, O, S, Q, T Funktion vonk, Re, ₀ - p, P, p Gesamt-, Grund-, Stördruck - r, (r, , z) dimensionsloser Ortsvektor (Zylinderkoordinaten) - R Rohrradius - Re =U _M R/ Reynoldszahl - s(s ^*=s*pI) Spannungstensor (Isotroper Anteil des ) - t ₀,t ₁ Stoffzeiten, Parameter der Flüssigkeit zweiter Ordnung - t Zeit - u, U, u Vektor der Gesamt-, Grund-, Störgeschwindigkeit - U _M Maximale Grundgeschwindigkeit - v, V, v Vektor der dimensionslosen Gesamt-, Grund-, Störgeschwindigkeit - w Rotationsgeschwindigkeitstensor - W, W Rotationsgeschwindigkeitstensor, dimensionslos (Grund-, Störtensor) - x (x _r ,x ,x _z ) Ortsvektor (Zylinderkoordinaten) - Viskosität - ₀, ₁ dimensionslose Stoffzeiten - dimensionsloser Druck - Dichte - dimensionslose Zeit - Stromfunktion, dimensionslos - komplexe Frequenz, dimensionslos - = e ⁱ /x _i Nablaoperator (e ⁱ kontravariante Basis) - _* Nablaoperator, dimensionslos - R, I Real-, Imaginärteil Mit 4 Abbildungen     

The effect of velocity distribution on forced convection laminar flow heat transfer in a pipe at constant wall temperature

In this paper, a theoretical study of heat transfer to a fluid of vanishing viscosity in laminar flow in a pipe is made. The constant wall temperature boundary condition is considered in order to facilitate comparison with other classical solutions. Using velocity profiles of simple geometrical shape, the dependence of the heat transfer on velocity distribution is illustrated. Because of the nature of the idealised flow and heat transfer models, the theoretical results are applicable to all axisymmetric flows. Accordingly, some account of the possible effects of swirl on heat transfer in real flows is given.

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Zusammenfassung Es handelt sich um eine theoretische Untersuchung des Wärmeübergangs in laminarer Rohrströmung bei verschwindender Viskosität. Zum Vergleich mit anderen klassischen Lösungen wurde konstante Wandtemperatur als Randbedingung vorgegeben. Unter Benutzung von Geschwindigkeitsprofilen einfacher Geometrie wurde deren Einfluß auf den Wärmeübergang ermittelt. Diese Ergebnisse sind wegen der gewählten Strömungs- und Wärmeübergangsmodelle auf alle achsensymmetrischen Strömungen anwendbar. Die mögliche Wirkung einer Wirbelströmung auf den Wärmeübergang wird diskutiert.

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Nomenclature =(k/c) Thermal diffusivity - C, C ₁, C₂, C₃, C_n Constants - c Specific heat at constant pressure - D=(2r_w) Diameter - k Thermal conductivity - M _n Root of Bessel Equation,J ₀(M_n)=0 - r Radius - T Temperature - u, Velocity, average velocity - x Axial distance - X, R Function ofx, (r) alone - _n (= 2M _n/r _w ² ) Eigen value - Dynamic viscosity - (=/) Kinematic viscosity - Density - (=(T-T _w)/(T₁-T_w)) Dimensionless temperature - (=(T–T _w)/(T ₁–T _w)) Nusselt number - Pe (=Re·Pr) Péclet number - Pr (= c/k) Prandtl number - Re(=2r_w·v) Reynolds number Suffixes b Bulk - 1 Inlet - w wall     

Flow model for velocity distribution in fixed porous beds under isothermal conditions

In a brief survey of the previous work the limitations of the modified Darcy equation and of the vectorial form of the Ergun equation are discussed. To include the effect of wall friction on the flows the viscous resistance term is added to the vectorial form of the Ergun equation. Using the generalized Ergun equation a one-dimensional formulation is presented for flow of fluids through packed beds taking into account the variation of porosity along the radial direction. It is found that there is a reasonable agreement between the numerical and the experimental results and it is observed that the variation of porosity with radial position has greater influence on channeling of velocity near the walls. For the assumption of constant porosity the velocity profiles exhibit similar nature as the plug flow profiles with a thin boundary layer near the wall.

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Modell der Geschwindigkeitsverteilung in einem isotherm durchströmten Festbett

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden eingangs die Anwendbarkeitsgrenzen der modifizierten Darcy-Gleichung und der in vektorieller Form geschriebenen Ergun-Gleichung diskutiert. Um Einflüsse der Wandreibung auf eine Strömung mit in der Ergun-Gleichung berücksichtigen zu können, wird ein Reibungsterm hinzugefügt. Die so generalisierte Gleichung kann benutzt werden, um die eindimensional gerichtete Strömung durch eine Kugel schüttung zu berechnen. Eine radiale Veränderung der Schüttungsporosität ist dabei mit in die Betrachtung eingeschlossen. Das nichtlineare Grenzwertproblem wird numerisch gelöst und mit experimentellen Daten aus der Literatur verglichen. Die mit Meßwerten zufriedenstellend übereinstimmenden Rechenergebnisse zeigen, daß die radiale Porositätsverteilung in einem Festbett einen erheblichen Einfluß auf die Durchströmungsgeschwindigkeit in Wandnähe ausübt; die Berechnungen geben die Strömungsrandgängigkeit wieder. Wird die Bettporosität als unveränderlich angenommen, erhält man pfropfenströmungsähnliche Geschwindigkeitsprofile mit einer dünnen Wandgrenzschicht, in welcher die Geschwindigkeit auf den Wert null abfällt.

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Nomenclature A Tridiagonal matrix defined in Eq. (20) - a Bed radius - d_p Particle diameter - f₁ 150 (1–)²/(³d _p ² ) Darcy resistance term - f₂ 1,75(1–)/(³d_p) Parameter of resistance due to inertial effects - ¯f₁ 150(1–)²/³ - ¯f₂ 1,75(1–)/₃ - G Column vector defined in Eq. (20) - k Permeability, /f₁ - L Length of the bed - P Pressure - r Radial co-ordinate - R_p Reynolds number based on particle diameter, v₀d_p/ - , v_z Superficial velocity vector, axial component - v_1z Average superficial velocity defined in Eq. (20) - V Absolute magnitude of velocity - ¯v The average velocity - v₀ The velocity at the centre of the tube - X Column vector defined in Eq. (20) - r^* Dimensionless radial co-ordinate, r/a - p^* Dimensionless pressure, p/v ₀ ² - v _z ^* Dimensionless axial component of velocity, v_z/v₀ - ¯v^* Dimensionless average velocity defined in Eq. (20) - z^* Dimensionless axial co-ordinate, z/L Greek letters Ratio of tube radius to particle diameter, a/d_p - Porosity or void fraction - ₀ Porosity at the axis of the container - Dynamical viscosity - Kinematic viscosity - p Density - Distance from the wall of the container, defined in Eq. (16)     

Squeezing flows of Newtonian liquid films an analysis including fluid inertia

A theoretical study is made of the flow behavior of thin Newtonian liquid films being squeezed between two flat plates. Solutions to the problem are obtained by using a numerical method, which is found to be stable for all Reynolds numbers, aspect ratios, and grid sizes tested. Particular emphasis is placed on including in the analysis the inertial terms in the Navier-Stokes equations.Comparison of results from the numerical calculation with those from Ishizawa's perturbation solution is made. For the conditions considered here, it is found that the perturbation series is divergent, and that in general one must use a numerical technique to solve this problem.Nomenclature a half of the distance, or gap, between the two plates - a ₀ the value of a at time t=0 - adot da/dt - ä d² a/dt ² - d³ a/dt ³ - a ⁱ components of a contravariant acceleration vector - f unknown function of z ₀ and t defined in (6) - f ⁱ function defined in (9) f ¹=r ₀ g(z ₀, t) f ²= ₀ f ³=f(z ₀, t) - F force applied to the plates - g unknown function of z ₀ and t defined in (6) - g g/z ₀ - h grid dimension in the z ₀ direction (see Fig. 5) - Christoffel symbol - i, j, k, l indices - k grid dimension in the t direction (see Fig. 5) - r radial coordinate direction defined in Fig. 1 - r ₀ radial convected coordinate - R radius of the circular plates - t time - v _r fluid velocity in the r direction - v _z fluid velocity in the z direction - v fluid velocity in the direction - x ⁱ cylindrical coordinate x ¹=r x²= x³=z - z vertical coordinate direction defined in Fig. 1 - z ₀ vertical convected coordinate - tangential coordinate direction - ₀ tangential convected coordinate - viscosity - kinematic viscosity, / - ⁱ convected coordinate ¹=r₀ ²=₀ ³=z₀ - density     

Die kompressible Grenzschichtströmung am dreidimensionalen Staupunkt bei starkem Absaugen oder Ausblasen

Zusammenfassung Es wird die kompressible, laminare Grenzschichtströmung am dreidimensionalen Staupunkt mit Absaugen oder Ausblasen an der Wand untersucht und daraus Wandschubspannung, Wärmeübergang und Verdrängungsdicke in Abhängigkeit von der Normalgeschwindigkeit an der Wand bestimmt. Besonders ausführlich wkd auf die Grenzfälle sehr starken Absaugens bzw. Ausblasens eingegangen, die auf singuläre Störungsprobleme führen, deren Lösung mit der Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen erfolgt. – Die Unsymmetrie am Staupunkt wird durch den Parameter c gekennzeichnet mit den Spezialfällen c=0 (ebener Staupunkt) und c=1 (rotationssymmetrischer Staupunkt). Im Grenzfall starken Absaugens sind die beiden Wandschubspannungskomponenten und der Wärmeübergang unabhängig von c, im Grenzfall starken Ausblasens ist nur eine der beiden Wandschubspannungskomponenten von c unbeeinflußt.

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The compressible boundary layer flow at a threedimensional stagnation point with intensive suction or injection

The compressible laminar boundary layer flow at a general three-dimensional stagnation point including large rates of injection or suction on the porous surface is considered. The wall shear stress, heat flux and displacement thickness as function of the mass transfer parameter are determined. The two limiting cases of intensive suction and intensive blowing lead to singular perturbations problems, which are solved by the method of matched asymptotic expansions.—The asymmetry of the stagnation point flow is characterized by the ratio c of the two velocity gradients including the special cases of two-dimensional (c=0) and axisymmetric (c=1) stagnation point flow.-For intensive suction the wall shear stresses and the heat flux become independent of c, whereas for intensive blowing only one of the two wall shear stress components is independent of c.

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Bezeichnungen x, y, z kartesische Koordinaten, siehe Bild 1 - u, v, w Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung innerhalb der Grenzschicht - U, V Geschwindigkeitskomponenten in x- und y-Richtung am Außenrand der Grenzschicht - a =(dU/dx)_x=0 Geschwindigkeitsgradient in x-Richtung der Außenströmung im Staupunkt - b=(dV/dy)_y=0 Geschwindigkeitsgradient in y-Richtung der Außenströmung im Staupunkt - c=b/a Staupunkt-Parameter (c=0: ebene Strömung, c=1: axialsymmetrische Strömung) - Dichte - p Druck - h spezifische Enthalpie - Viskosität - Pr Prandtl-Zahl - _x, _y Wandschubspannungskomponenten in x- bzw. y-Richtung - c_m=–ga Ausblaseparameter, siehe Gl. (21) - t_w= h_w/h_e bezogene Wandenthalpie - Ähnlichkeitsvariable, siehe Gl. (11) - F () G () dimensionslose Funktionen nach den Gln. (12), - (),() (13), (15) und (32) - ¯ Ähnlichkeitsvariable, siehe Gl. (29) - F (¯), G (¯) dimensionlose Funktionen nach Gl. (29) - ₁=1/c_m Störparameter für starkes Absaugen - ₂=1/c _m ² Störparameter für starkes Ausblasen - ^*, ^* Verdrängungsdicken nach Gl. (26) - R, R rechte Seiten der Differentialgln. (40) bzw. (41) - z=/ in Abschnitt 4: bezogener Wandabstand nach Gl. (43) - =t_w·z² Ähnlichkeitsvariable in Abschnitt 4 - ^* (c) Lösung der Gl. (58) - A(c) Definition nach Gl. (63) Indizes w an der Wand - e am Außenrand der Grenzschicht - a äußere Lösung - i innere Lösung     

Experimental investigation of the asymptotically approached Mach reflection over the second surface in a double wedge reflection

The assumption that the Mach reflection which is formed over the second surface of a double wedge with angles _w ¹ and kw/2 approaches asymptotically the Mach reflection which would have been obtained by an identical incident shock wave over a single wedge with an angle _w = _w ² was verified experimentally. The verification of this assumption supports the shock polar analysis suggested by Ben-Dor et al. (1987) for the study of the reflection process of a planar shock wave over a double wedge. Measurements of the rate of approach to the asymptotic value are also provided.     

The measurement of the material parameters of viscoelastic fluids using a rotating sphere and a rheogoniometer

Summary In this work, measurement of the flow field around a rotating sphere has been used to obtain the material parameters of a second-order Rivlin-Ericksen fluid. Experiments were carried out with a Laser-Doppler anemometer to obtain the velocity distribution and usingGiesekus' analysis, the material parameters for the second-order fluid were obtained.

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Zusammenfassung In dieser Untersuchung wird die Ausmessung des Strömungsfeldes um eine rotierende Kugel dazu verwendet, um die Stoffparameter einer Rivlin-Ericksen-Flüssigkeit zweiter Ordnung zu erhalten. Die Experimente zur Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung werden mit einem Laser-Doppler-Anemometer durchgeführt, und zur Auswertung der Parameter der Flüssigkeit zweiter Ordnung wird eine Analyse vonGiesekus benutzt.

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Notations A ₁,A₂ Rivlin-Ericksen tensor - A ² Parameter used in eq. [12] - a Radius of the sphere - B Parameter used in eq. [12] - I Unit tensor - m ₀(₁ – ₂)/a², parameter used by ref. (8) - N ₁,N₂ First and second normal stress difference - p Isotropic pressure - Radial distance from the centre of the rotating body - S ₁,S₂ Stress tensor - v _r,v,v Velocity components in a spherical coordinate system - ₀,₁,₂ Material parameters used in eq. [2] - Shear rate - _a Apparent voscosity - ₀ Zero-shear viscosity - Angle measured from the axis of rotation - Fluid density - Stream function - Shear stress - Angular velocity With 3 figures     

Application of dispersion theory to time domain reflectometry in soils

With time domain reflectometry (TDR) two dispersive parameters, the dielectric constant, , and the electrical conductivity, can be measured. Both parameters are nonlinear functions of the volume fractions in soil. Because the volume function of water ( _w) can change widely in the same soil, empirical equations have been derived to describe these relations. In this paper, a theoretical model is proposed based upon the theory of dispersive behaviour. This is compared with the empirical equations. The agreement between the empirical and theoretical aproaches was highly significant: the ( _w) relation of Topp et al. had a coefficient of determination r ² = 0.996 and the (_u) relation of Smith and Tice, for the unfrozen water content, _u, at temperatures below 0°C, had an r ² = 0.997. To obtain ( _w) relations, calibration measurements were performed on two soils: Caledon sand and Guelph silt loam. For both soils, an r ² = 0.983 was obtained between the theoretical model and the measured values. The correct relations are especially important at low water contents, where the interaction between water molecules and soil particles is strong.