立体几何中圆锥的截口曲线问题

<正>在人教版高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》的章头图和章头文中,给出了用一个不垂直于圆锥轴线的平面去截圆锥,当平面与轴线夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.但具体什么时候截得的是椭圆、双曲线和抛物线,课本中没有详细介绍,而在近几年的高考     

球的点射影与圆锥曲线

文 [1]给出了我们生活中一个现象的有趣结论与巧妙证明 :放在水平地面上的篮球在太阳光 (平行光源 )的斜照射下 ,其影子是一椭圆 ,而且篮球与地面的切点始终是该椭圆一焦点 ,与光线垂直的篮球大圆所在面与水平地面的交线 ,也正好是该焦点所对应的该椭圆一准线 ,同时 ,该椭圆离心率为光线与地面成角α的余弦值 .文 [1]作者用椭圆定义 ,一步证得上述四个连带有趣结论 .　　读后令人感到兴奋 ,对证明的简捷拍案叫绝 .本人通过研究 ,联想到平面截圆柱面可得到圆或椭圆 ,平面截圆锥曲面可得到四种圆锥曲线 .于是得出 :篮球在附近点光源的照射下 ,…     

读《关于圆在某些平面上的投影是椭圆的证明》有感

我在拜读贵刊2007年第8期刊登的任洪波老师的<关于圆在某些平面上的投影是椭圆的证明>也有所感:"圆在某些平面上的投影是椭圆,反之椭圆在某些平面上的投影也是圆".……     

利用GeoGebra探索一种新曲线

1问题提出平面解析几何中利用平面内到两定点的距离构造椭圆、双曲线、圆,这三种曲线的构造分别用动点到两定点的距离的和、差、商为定值的形式给出.在四种算术运算中,唯独没有积,那么平面内与两定点距离之积是常数的点的轨迹是怎样的呢?可以利用GeoGebra的绘制隐函数图象的功能进行探索!     

圆、椭圆与双曲线之间的相关性

圆、椭圆与双曲线是高中平面解析几何研究的重要对象．众所周知,利用一个同胚映射可以将椭圆变换成圆,那么是否存在一个同胚映射将双曲线变换成圆呢？     

椭圆与圆的变换关系应用

若将椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )进行如下变换ｘ′ =ｘｙ′ =ａｂｙ ,即将ｘ =ｘ′,ｙ =ｂａｙ′代入原方程 ,则得ｘ′2 ｙ′2 =ａ2 ,可知是圆的方程 .以上变换勾通了椭圆和圆两种曲线 ,即是我们所要讨论的椭圆和圆的变换关系 .从中我们可以看出 ,将圆等比例地压缩 ,便得到椭圆 .这种变换关系我们也可以从曲线的立体投影中看出 ,若圆所在平面与某个平面 β夹锐角α ,则半径为ａ的圆在平面β上的投影便是一个长半轴为ａ ,短半轴为ａｃｏｓα的椭圆 .根据这种变换关系 ,我们可得出以下几个有用的结论 .结论 1　曲线内一点分过此点的…     

凸域内两点间的平均距离

本文研究了凸域内两点间的平均距离公式,利用广义支持函数的方法分别求出了圆、矩形、椭圆域内两点间的平均距离,并给出了具体的求解过程.     

椭圆面积公式S=πab的一种初等证法

椭圆的面积公式S=πab的证明,要用到微积分的知识,在这里,给出一种初等证法。高中《平面解析几何》上有这样的题(P126第23题):底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截,截面为一椭圆。求该椭圆的方程。其图如右(图1),不难发现:椭圆的长半轴a、短半轴b与底面圆的半径r有如下关系: a·cosa=r b=r (a为椭圆面与底面成的角) “—一·—L_/ 由此,我们以椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的短半轴b为底面圆半径,构造一个圆柱(高h足够大),然后用一个平面去截圆柱,当截面与底面成a角时,得到椭圆截面x~2/a~2     

探讨一种新曲线

我们知道，平面解析几何中，关于椭圆、双曲线和圆的定义分别由平面上动点到两定点距离的和、差以及商的特征给出的，尚缺一种用积的形式给出的关系式，未免有点美中不足．下面我们就探讨这个问题：     

例析椭圆圆化方法的应用

<正>椭圆经过适当的伸缩变换就可以变成圆.虽然椭圆与圆之间有很大的不同,但它们之间有很多的相似之处,通过变换先把椭圆变成圆,在圆中研究图形的某些性质,再还原到椭圆中,往往比直接在椭圆中进行计算和推证要简单的多.在平面直角坐标系中,曲线C:f(x,y)=0     

圆锥截线定理的又一证法

直圆锥面与平面相贯,其截线不外是圆、椭圆、抛物线、双曲线等四种曲线,即二次曲线,这就是圆锥截线定理。它的证明通常是纯几何的。作者通过教学实践获得如下的又一证法,它是利用几何关系作出的一种分析的证法。可供教学上参考。 为方便计,只讨论平面与圆锥在一侧相贯的情     

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想:与椭圆x2a2 y2b2=1内接,且与圆x2 y2=(aba b)2外切的多边形是三角形.随后证明了猜想.美中不足的是运算量过大,现给出另一证法,以供参考.图1椭圆过椭圆上的点B作已知圆的切线BA,BC.交椭圆于点A,C.设A(acosα1,bsinα1),B(acosα2,bsinα2),C(acos     

椭圆与圆的投影模型与应用

椭圆和圆都是二次曲线中对称的封闭曲线,因为圆的特殊性,所以与圆有关的定理很多,相比之下椭圆问题就要复杂一些.然而椭圆和圆有着密不可分的内在联系,合理利用圆的     

在主编寄语指导下的椭圆教学

1教学回顾与反思在笔者以往的椭圆第1课时教学中,采用的教学基本流程是:教师用绳子画椭圆→建立椭圆定义→建立椭圆标准方程→例1和练习→小结与布置作业.反思这一过程,感到有如下问题:(1)两种曲线无关感到突兀按照教材编写的顺序进行教学,根据椭圆的定义先画出图形,然后给出定义,再推导其标准方程.但是学生心目中的"椭圆"应该与圆有一定联系,至少它们外表"相近","椭圆"是一个长圆形,是由圆"压扁"或"伸长"而成.今天学习椭圆教师为什么不提圆呢?这样显得没有人情味,学生心里产生一种不自然感.     

巧用伸缩变换解决椭圆问题

在伸缩变换下,平面图形要发生相应的变化．如圆在伸缩变换下可变成椭圆,而椭圆在伸缩变换下又可变成圆．圆是我们相当熟悉的图形,它的许多性质的推导和证明都比较容易,在圆中研究图形的某种性质然后再还原到椭圆中,从而得到椭圆的相应性质,这往往要比直接在椭圆中进行计算和证明简单得多．     

点群6一维六方准晶椭圆孔口与半无限裂纹反平面弹性问题的解析解

导出了点群6-维六方准晶反平面弹性问题的控制方程.利用复变方法,给出了点群6-维六方准晶在周期平面内的反平面弹性问题的应力分量以及边界条件的复变表示,通过引入适当的保角变换,研究了点群6-维六方准晶中带有椭圆孔口与半无限裂纹的反平面弹性问题,得到了椭圆孔口问题应力场的解析解,给出了半无限裂纹问题在裂纹尖端处的应力强度因子的解析解.在极限情形下,椭圆孔口转化为Griffith裂纹,并得到该裂纹在裂尖处的应力强度因子的解析解.当点群6-维六方准晶体的对称性增加时,其椭圆孔口与半无限裂纹的反平面弹性问题的解退化为点群6mm-维六方准晶带有椭圆孔口与半无限裂纹的反平面弹性问题的解。     

含椭圆孔有限大二十面体准晶板平面弹性问题的边界元分析

基于扩展的Stroh方法,对含椭圆孔有限大二十面体准晶板平面弹性问题进行边界元分析.首先利用扩展的Stroh方法,研究了二十面体准晶的Green函数,得到了含椭圆孔无限大二十面体准晶平面弹性问题位移和应力的基本解.利用该基本解,通过加权余量法建立了区域内积分方程和边界积分方程,并采用线性插值函数及Gauss积分对含未知量的边界积分方程和区域内积分方程分别进行离散,得到了离散格式.进一步,对椭圆孔的孔边应力进行了数值求解,并将有限大板的数值结果与无限大板的解析解进行了对比验证,说明当板与椭圆孔尺寸之比小于某下限值时,不能用无限大板的解析解对有限大板进行分析.最后,分析了在垂向拉伸作用下,板的大小、孔口尺寸及倾斜角度对孔边应力的影响.结果表明：板的尺寸沿垂直拉伸方向变化对孔边应力的影响更明显;随着椭圆孔尺寸的增加,孔边应力集中现象越明显;若长轴垂直拉伸方向,椭圆孔倾斜会减缓孔边应力集中程度.     

伸缩变换视角下的直线与椭圆问题

<正>在圆锥曲线的学习中,我们知道圆锥曲线问题的解法,普遍偏向于联立方程求解．若直接在椭圆中利用几何性质相较繁琐,而伸缩变换却具有将椭圆转化为圆的功能,所以对椭圆进行伸缩变换后,转而利用圆的一些几何性质进行辅助研究解题更为简便．     

圆锥曲线是椭圆双曲线和抛物线的解析证明

在一次讨论《高中数学课程标准》的会议上有人问如何证明一圆锥被一平面所截 ,得出截线是椭圆、双曲线或抛物线 .在《标准》选修 1系列课程的参考案例 4中画了一张立体图 ,意示可以用立体几何的办法加以证明 .其实这种证法大约最早是由G .Daudeliu在 1 82 2年给出的 .(可参阅[1 ]P .2 47)他给出了一个定理 :“如果两个球面内切于一个圆锥并且都与一个已知平面相切 ,该平面与圆锥交于一条圆锥曲线 ,那么球面与平面的接触点是圆锥曲线的焦点 ,球面与圆锥相切的圆所在的平面同已知平面的交线是圆锥曲线的准线 .”再根据平面与圆锥轴线的夹角…     

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性黑龙江绥滨一中邹楼海椭圆、双曲线和抛物线，都可以看作平面截圆锥面所得到的截线，从本质上说，三种曲线是统一的，只是由于平面与圆锥轴线交角的不同，才产生这三种曲线的差别，从轨迹的观点看，三种曲线都是一个动点到定点Ｆ和定直线...