探究课本习题 培养发散思维

1 问题背景 问题(人教版数学必修1,第27页第9题):一个圆柱形容器的底面直径是d cm,现在以vcm3/s的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度x cm与注入溶液的时间t s之间的函数解析式,并写出函数的定义域和值域.     

用几何证明一个物理结论

在许多杂志和平时的教学中,我们都在用以下这个常用的结论:一圆柱形容器中盛有水,水面漂浮着一个小容器,将一个实心小塑料球(或铁球或其它物体)放入小容器中后,大容器中水面上升高度为h,则前后两次的排水体积差为Sh(S为大容器底面积).那么你知道这个结论为什么成立?你能给出它的证明吗?笔者询问了许多物理老师,但遗憾的是几乎没有一位老师能说出个所以然.本文将对此问题进行一些初浅探讨,试给这一常用结论一个数学的证明.首先我们先来看一种最简单的情形———小容器为圆柱形(或长方形).如图一,设大容器中水深为a,未放入小球时小容器底部离…     

Stokes Flow in Cylindrical Containers With Rotating Ends北大核心CSCD

该文以端部旋转的圆柱形容器内的Stokes流为研究对象,根据流动的特点,将轴向坐标模拟为时间,则问题归结为Hamilton对偶方程的本征值和本征解问题.利用本征解空间的完备性和本征解之间的共轭辛正交关系,给出了问题解的展开形式,并建立了展开系数的数值求解方法.采用该方法研究了单端旋转、两端以相同或相反角速度旋转时不同外形比(容器的高度与半径之比)时圆柱形容器内流动速度和应力的分布情况,展示了不同边界条件下流场的一些特点.     

桶中放球

这里的桶中放球是指以下两类问题 :( )已知桶的内径和需放置到桶中的球的大小及个数 ,该桶的高最少是多少的问题 ;( )有一已知内径和高的圆柱形桶和若干个 (数量是足够多 )大小相同的球 ,将这些球放置到该桶中 ,最多可放置多少个球的问题 .为了要桶的高度最小 (或者是放置最多的球 ) ,就需要考虑如何放置这些球 ,才能使它们在桶内所占的空间尽可能少 ?也就是要使相邻的球能够两两外切 .下面我们将通过具体问题的解决 ,来探讨这两类问题的解题途径 .例 1　 (上海市 1986年竞赛试题 )制作一个底面直径为 4 cm的圆柱形容器 ,要内装直径为 2 c…     

错例分析

例1 一个底面直径是10厘米,长20厘米的圆柱形钢材,它的体积是多少？     

函数y=Asinωx的图像

1　提出实例问题 1　 (大屏幕显示 )烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的 (展示实物 ) .现在我们要用长方形铁片做成一个直角烟筒弯头 (如图 1 ) .如果烟筒的直径为 9cm,最短母线长均为 6 cm,不考虑焊接处的需要 ,选用的材料应是怎样尺寸的矩形铁片 ?如何裁剪 ,才能既省工 ,又节俭 ?图 12　切入正题让我们聚焦直角烟筒弯头 !由于两个圆柱呈垂直状 ,因此两个圆柱形烟筒的截面与水平面成 4 5°角 .现在 ,我们不妨先看一个小问题 ,换一个角度来思考 :问题 2　底面半径是 4 .5cm的圆柱被平面截成形状相同的两个几何体 ,如图 2所示 .若将…     

三棱锥体积公式教学中的几个问题

对于三棱锥的体积公式 ,多数学生都能熟练掌握其内容 .然而 ,公式引入和证明过程中所隐含的重要数学观点和思想方法 ,不少学生体会不深 ,解题时 ,对三棱锥的体积公式也不能灵活加以运用 .为此 ,本文就三棱锥体积公式的教学 ,谈几点浅见 ,供大家参考 .1　公式的引入实验、观察、猜想 ,往往是发现真理的重要一步 .引入三棱锥的体积公式 ,应遵循“实践———理论———实践”这一认识论的基本规律 ,培养学生的实验观点和观察猜想能力 .取两个等底等高的容器 (一个三棱柱和一个三棱锥 ) ,用水或沙装满锥体容器 ,然后倒入柱体容器 ,倒三次刚好倒…     

151函数y=Asinωx的图像

1提出实例 问题1(大屏幕显示)烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的(展示实物).现在我们要用长方形铁片做成一个直角烟筒弯头(如图1).如果烟筒的直径为9cm,最短母线长均为6cm,不考虑焊接处的需要,选用的材料应是怎样尺寸的矩形铁片?如何裁剪,才能既省工,又节俭?     

对一只圆柱形杯子倾斜问题的探讨

例题一只无盖的圆柱形杯子放在水平的桌面上.杯子的底面半径为1,高为4,杯子原来盛满了水.现让杯底一点A接触桌面,将杯子倾斜,倒出5/6的水,如图1,则其水面与桌面的距离等于______.(A)1(B)2~(1/2)(C)4/3(D)4/(17)~(1/2)分析设圆柱底面半径为R,底面积为S,高为h,则R=1,h=4.设弓形ABC的面积为     

变种超方体网络的容错直径与宽直径

研究变种超方体的网络容错直径和宽直径,证明了n维变种超立方体的n-1容错直径和n宽直径为[2n/3]+1或[2n/3]+2.     

内爆载荷作用下泄压容器准静态压力特性北大核心CSCD

为了研究泄压容器内部准静态压力特性,采用AUTODYN软件提出并建立了3种柱形泄压容器的数值模型,分别包括一端开口的敞口泄压容器、在开口处设有可冲出端盖的带泄压盖容器、将泄压盖与容器通过剪切销连接的带剪切销泄压容器.以Bernoulli方程为基础建立了理论简化模型,模拟了敞口泄压容器内部的准静态压力;以能量守恒方程为基础建立理论简化模型,模拟了不同起爆药量下带泄压盖容器的准静态压力;最后,探讨了剪切销在剪断和未剪断时对带剪切销泄压容器内部压力的影响.该文建立了文献中的数值模型,准静态压力计算结果与文献中的实验结果吻合情况良好,验证了计算方法的可靠性.结果表明:敞口泄压容器内部压力衰减迅速,准静态阶段持续时间较短,以Bernoulli方程为基础的理论简化模型能够较好地预测泄压容器内部压力衰减至大气压力的时间;带泄压盖容器内冲击波沿轴向做往复式传播,以能量守恒方程为基础的理论模型能够较好地预测在泄压过程中的准静态压力;剪切销未剪断时,容器内部准静态压力呈现明显的平台效应;对比无剪切销的工况,18 mm直径的剪切销剪断后,容器内部压力变化趋势基本一致,泄压盖的飞出时间提前了0.25 ms.研究结果可为泄压容器的结构设计提供理论基础和参考.     

直径为5的整树

“整图”这个术语首先由 F.Harary 和 A.J.Schwenk(1974)引入.所谓整图就是指其特征值均为整数的图.文献[1]给出了所有直径小于4的整树以及一类直径4的整树.文献[2]给出了无穷多个异于文献[1]所指出的直径4的整树,并找到了无穷多个直径6的整树,同时提出下面两个未解决的问题:存在直径5的整树吗?存在直径任意大的整树吗?     

诗两首

指、对数函数图象就象艺术家手下的一束鲜花 .若再结合性质配之上口的歌诀 ,将令人美不胜收 ,历历不忘 .指数函数指数函数象束花 ,( 0 ,1)这点把它扎 .撇增捺减无例外 ,底互倒数纵轴夹 .x =1为判底线 ,交点 y标看小大 .重视数形结合法 ,横轴上面图象察 .对数函数对数函数也好记 ,花束右倒 ( 0 ,1)系 .底属 ( 0 ,1)减函数 ,函数若增底大 1.y =1为判底线 ,交点横标易求底 .底互倒数横轴夹 ,图象 y轴右边去诗两首$辽宁本溪市第二十四中学@杨文君!117006     

椭圆内接n边形面积最大值的简证

文[1]探求了椭圆内接n边形面积最大值.本文给出一个构造性的简证,供参考.引理圆柱形物体的斜截口为椭圆.简析如图1,OA     

圆柱体的侧面积和表面积教学实录

把问题作为教学的出发点,不直接展示结论,提出具有挑战性的,能给学生更多动手、动脑、思维机会的问题,在课堂教学中显得非常必要.下面是本人在圆柱体的侧面积和表面积这节课中的教学实录.1.创设问题情境,引发探究师问:申博成功,上海将建造许多新的场馆,场馆内的圆柱形柱子将刷上油漆,如果按1平方米用漆0.2千克计算,要知道共用油漆多少千克,首先我们要知道什么?学生:要知道圆柱形柱子的侧面积.师问:请同学们利用圆柱形纸筒及剪刀等工具操作,看如何求它的侧面积?同学们都非常有兴趣地开始操作,大部分同学都想到将圆柱体的侧面转化成长方形,长…     

圆柱形容器中自由表面波的三波内共振相互作用

由Luke变分原理导出了圆柱形容器中自由毛细重力表面波的基本方程.首先对速度势和自由面波高作Galerkin展开,用多重尺度法导出了控制方程前二阶摄动方程,在此基础上讨论了三个波二阶内共振的非线性相互作用,导出了三波内共振的非线性耦合作用方程和守恒律.针对非退化的作用方程,分析了相平面上平衡点的位置,研究了参数对应共振与非共振的各种情况,在不同参数情况下求出二阶作用方程的稳态解并分析了解的稳定性态,还讨论了只在有限时间内有效的解.分析表明,在非退化情况下,由于初始条件不同,3个波之间能量传递的模式不尽相同,有可能能量在3波之间周期性传递,亦可能单波的能量有衰减或增长.     

金属板与介质板之间的Casimir效应 *

利用 1 + 1维有限势垒模型计算了金属板与介质板之间的Casimir力 .它由直接收敛的级数给出而不需采用重整化或截断函数方法 .计算结果表明 ,金属板与介质板之间的Casimir效应除了与介质的势垒高度 ,厚度以及金属板与介质板的间隙a有关外 ,还要受实验容器尺度的影响 .当间隙a远小于容器尺度时Casimir力正比于a^-1,当a较大时正比于a^-2 .这一结果对于非理想导体之间Casimir效应的实验检验具有重要指导意义     

从直径人手解题

<正>圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,直径所在直线是它的对称轴,直径的中点是对称中心.与弦垂直的直径,平分弦及弦所对的弧;直径对的圆周角是直角.可见直径是圆中最活跃的因素,它是沟通弦、角、弧关系的桥梁.解题中,若能从直径入手,可突破难点,化难为易.(1)在题设或结论中涉及弧的中点、弦的中点,解题时往往考虑构造"垂径".(2)在题设、结论中涉及直径或直角,解题时要关注直径对的圆周角.     

有心二次曲线的直径式方程

我们知道：若A(x1,y1)和B(x2,y2)为圆的直径两端点,则圆c的直径式方程为(x-x1)(x-x2) (y-y1)(y-y2)=0.由此我们是否可自然地提出如下一个问题：若AB为椭圆或双曲线的直径,即线段AB为过有心二次曲线的中心的弦,那么曲线的直径式方程是否存在？又是什么形式？     

滚动时它转了几圈?

滚动,从字面上理解是指一个物体(多为球形或圆柱形)在另一个物体上接触面不断改变的移动.如车轮滚动.转动,则是物体以某一点为中心或以一直线为轴作圆周运动.或物体的某部分能自由地活动.如时钟里的时针、分针绕着中心转动.