Calibration of and measurements on a rheogoniometer by means of a small computer

Summary In this paper we propose a method for measurements with and calibration of the Weissenberg Rheogoniometer by means of a small computer.For Newtonian fluids we found that the dynamic viscosity is changed by a superposition of a steady shear flow on an oscillatory one, dependent on the direction of the steady shear flow.

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Zusammenfassung In diesem Aufsatz wird eine neue Methode zur Eichung eines Weissenberg-Rheogoniometers und für das Messen mit diesem Apparat dargestellt. Wir haben an newtonschen Flüssigkeiten beobachtet, daß die dynamische Viskosität bei der Überlagerung einer stationären und einer oszillierenden Scherströmung je nach der Richtung der stationären Strömung ihren Wert ändert.

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With 3 figures     

Numerical solutions of some unsteady laminar flows of viscoelastic fluids in concentric annuli with axially moving boundaries

Summary The numerical solution of the steady and nonsteady laminar, isothermal flow of the 6-constant Oldroyd fluid in concentric annuli with axially moving boundaries, is given. The steady flow problem involves the solution of a non-linear ordinary differential equation. In the non-steady flow problem, a modified finite difference method, given byTownsend, is used. It is shown that the steady flow solution obtained directly and the solution obtained from the start-up flow problem agree with each other, thus showing the validity of the finite difference method. In various flow situations, start-up flow, flow decay, decay of a disturbance in the pressure, the effect of superimposed oscillations in the pressure gradient and in the axial velocity of the boundaries on the mean state of flow, are illustrated.

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Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen der stationären und instationären laminaren, isothermen Strömung einer Oldroyd-Flüssigkeit mit sechs Konstanten in konzentrischen Ringspalten mit axial bewegten Wänden angegeben. Das stationäre Strömungsproblem erfordert die Lösung einer nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung. Beim instationären Problem wird in Anlehnung anTownsend eine modifizierte Finite-Differenzen-Methode angewandt. Es wird gezeigt, daß die direkt erhaltenen Lösungen des stationären Problems mit den numerisch erhaltenen Lösungen des instationären Problems übereinstimmen, wodurch die Anwendbarkeit dieser Methode nachgewiesen ist. Für verschiedene Strömungssituationen wie Anlauf- und Abklingströmung, Abklingen nach einer Druckströmung sowie der Einwirkung von überlagerten Schwingungen im Druckgradienten und in der Axialbewegung der Wände auf den mittleren Strömungszustand werden die resultierenden Ergebnisse veranschaulicht.

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With 15 figures     

A potential theory for the steady separated flow about an aerofoil section

Summary An incompressible potential flow theory is used to determine the steady separated flow about an aerofoil. The theory permits a continuous variation from fully-attached (Joukowski) flow to fully-separated (Helmholtz) flow, with the Kutta condition always satisfied at the trailing edge, and with the position of the separation point as an assignable parameter to determine the flow configuration. The method is also applicable to other flows such as that about a flat plate with a rear free-stream flap.

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Eine Potentialtheorie für stationäre abgelöste Strömung um ein Tragflügelprofil

Übersicht Zur Bestimmung der stationären abgelösten Strömung um einen Tragflügel wird eine Potentialtheorie für inkompressible Strömung benutzt. Die Theorie erlaubt eine stetige Variation von vollständig anliegender Strömung (Joukowski) bis zu vollständig abgelöster Strömung (Helmholtz), wobei stets die Kutta-Bedingung an der Flügelhinterkante erfüllt ist und die Lage des Ablösepunktes ein Parameter ist, der das Strömungsbild festlegt. Die Theorie läßt sich auch auf andere Strömungen, etwa um eine ebene Platte mit rückseitiger Freistrahlklappe, anwenden.

     

Three-dimensional periodic boundary layers

Summary Three-dimensional periodic boundary layers on an arbitrary surface are considered assuming that the outer flow is a known periodic potential flow. It is shown that, if the Strouhal number and the Reynolds number are of the same order and if both are large, the interaction between the curvature of the surface and viscosity induces a harmonic part in the secondary motion inside the boundary layer in addition to steady and subharmonic parts.

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Übersicht Es werden dreidimensionale periodische Grenzschichten an einer beliebigen Oberfläche betrachtet unter der Annahme, daß die Außenströmung eine bekannte periodische Potentialströmung ist. Es wird gezeigt, daß unter der Vorsausetzung, daß Strouhalzahl und Reynoldszahl groß und von gleicher Größenordnung sind, durch das Zusammenwirken von Oberflächenkrümmung und Zähigkeit innerhalb der Grenzschicht ein harmonischer Anteil für die sekundäre Strömung innerhalb der Grenzschicht entsteht, der sich den stationären und den subharmonischen Anteilen überlagert.

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The author thanks Prof. S. D. Nigam for his comments on the first draft of the paper.     

Unsteady elastico-viscous flow in a rotating pipe

Summary An analysis is presented of incompressible flow in a straight pipe of circular cross-section, rotating about an axis perpendicular to its length, under the influence of a periodic pressure gradient. It is shown that the secondary axial velocity along the pipe is comprised of a steady part and an unsteady part oscillating at twice the frequency of the applied pressure gradient. Of particular interest is the steady component of velocity for which it is shown that, at high frequencies, a reversal of drift in certain regions can be induced.

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Zusammenfassung Es wird eine Analyse der inkompressiblen Strömung in einem geraden Rohr mit rundem Querschnitt, das um eine senkrecht zu seiner Länge verlaufende Achse rotiert, unter dem Einfluß eines periodischen Druckgradienten gegeben. Dabei wird gezeigt, daß die sekundäre axiale Anströmungsgeschwindigkeit in der Röhre aus einem stationären Anteil und aus einem nichtstationären Anteil besteht. Der letztere oszilliert mit einer Frequenz, die doppelt so groß ist wie die des wirkenden Druckgradienten. Von besonderem Interesse ist der stationäre Anteil der Angströmgeschwindigkeit, für den gezeigt wird, daß bei hohen Frequenzen in gewissen Bereichen eine Umkehr der Strömungsrichtung herbeigeführt werden kann.

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With 3 figures     

Einfluß der Kanalgeometrie auf die pulsierende Druckströmung viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Hiermit wird die in der Arbeit [1] dargestellte theoretische Erfassung der pulsierenden Strömung viskoelastischer Flüssigkeiten im kreisförmigen Kanal auf Breitschlitz- und Ringspaltkanäle verallgemeinert. Unabhängig von der Kanalgeometrie lassen sich sowohl die relative Amplitude der Ausstoßschwankungen als auch die relative Veränderung des mittleren Ausstoßes in einer einheitlichen Form ausdrücken, indem die Schergeschwindigkeit an der Kanalwand in der stationären Strömung passend definiert wird.

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A theoretical approach to the pulsating flow of viscoelastic liquids through a circular channel presented earlier has been generalized to include the case of slit and annular ducts. Irrespective of the geometry of the channel, both the relative amplitude of pulsation of the output and the relative change in the average output can be presented in a uniform manner by an appropriate definition of the shear rate at the wall of the channel under steady flow conditions.

     

Eine numerische Methode zur Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale,inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte

Übersicht Es wird eine Differenzenmethode zur numerischen Integration der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale, inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte beschrieben. Zur Verringerung des Rechenaufwandes wird angenommen, daß die Platte Symmetrieebene der Strömung ist. Die Ergebnisse einiger Testrechnungen für die Strömung längs einer endlich langen sowie einer unendlich langen Platte werden mit den Näherungslösungen von Blasius für die Plattengrenzschicht und von Goldstein für die Nachlaufströmung verglichen. Dabei zeigt sich deutlich die Stromaufwärtswirkung der Plattenvorderkante auf die ankommende Strömung und der Plattenhinterkante auf die Grenzschicht kurz vor dem Plattenende.

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Summary A difference method will be described for the numerical integration of the Navier-Stokes equations for the two-dimensional, incompressible, steady flow along a flat thin plate. To reduce the computation time the plate is assumed to be the symmetry plane of the flow. The results of some computation tests for the flow along a plate of finite and infinite length, are compared with the approximate solutions of Blasius for the boundary-layer flow and of Goldstein for the wake behind the plate. The upstream effect of the leading edge on the incoming flow and of the trailing edge on the boundary layer shortly before the end of the plate becomes visible.

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Auszug aus dem Bericht UW 62/70-ö der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Ottobrunn. Die Arbeit ist Teil des Forschungsauftrages T 01-830-I-205 des Bundesministeriums der Verteidigung.     

Heat transfer in flow past a continuously moving porous flat plate with heat flux

The analysis of the heat transfer in flow past a continuously moving semi-infinite plate in the presence of suction/ injection with heat flux has been presented. Similarity solutions have been derived and the resulting equations are integrated numerically. It has been observed that an increase in suction value leads to an increase in temperature whereas it is opposite in the case of injection.

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Wärmeübergang in einer Strömung hinter einer wärmeabgebenden, kontinuierlich bewegten, porösen Platte

Zusammenfassung Es wird eine Analyse des Wärmeübergangs in einer Strömung hinter einer bewegten, halbunendlichen Platte bei gleichzeitiger Absaugung bzw. Ausströmung präsentiert. Mit Hilfe von Ähnlichkeitsbetrachtungen wurden Lösungen erarbeitet und die daraus resultierenden Gleichungen wurden numerisch integriert. Als Ergebnis zeigte sich, daß zunehmende Absaugung zu einer Erhöhung der Temperatur führt, während bei der Ausströmung das Gegenteil der Fall ist.

     

Modell der Strömung,die sich am Rakelmesser einer Beschichtungsanlage einstellt

Zusammenfassung Es wird die ebene, stationäre, langsame Strömung einer inkompressiblenMaxwell-Oldroyd-Flüssigkeit B im Raum zwischen zwei Ebenen, die einen Winkel miteinander bilden und sich längs einer Geraden berühren, untersucht. Die eine Ebene ruhe und die andere bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit, wobei der Geschwindigkeitsvektor in der Ebene selbst liege und senkrecht zur Schnittgeraden der beiden Ebenen sei. Dies scheint ein brauchbares Modell zur Untersuchung der Strömung zu sein, die sich am sogenannten Rakelmesser von Beschichtungsanlagen einstellt.Die Bewegungs- und Stoffgleichungen werden mit Hilfe von Reihenentwicklungen in einer bestimmten Näherung gelöst; die Ergebnisse werden in Diagrammen dargestellt und diskutiert. Im Gegensatz zur Strömung einernewtonschen Flüssigkeit bilden sich hier Sekundärströmungen aus, welche die besonders interessierenden Druckverhältnisse beeinflussen.

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Summary In this paper we consider the two-dimensional steady and slow flow of an incompressibleMaxwell-Oldroyd liquid B in a corner formed by two planes, one of which is sliding past the other at a certain angle. The fluid between the two planes is set in motion as might happen when a scraper moves over a flat sheet pushing fluid in front of it or in coating operations.The stream function and the stress tensor are expanded in aLaurent series. Results for the streamline field and the normal stresses on the walls are shown and discussed. There is, unlike the case of aNewtonian liquid, a secondary flow near the intersection line of the two walls.

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Mit 8 Abbildungen     

An experimental investigation of thermally induced flow instabilities in a convective boiling upflow system

The two-phase flow instabilities in a single channel, forced convection, open loop, up-flow system have been investigated experimentally using R-11 as the working fluid. The effects of mass flow rate, heat input, inlet liquid temperature and upstream compressible volume on two-phase flow instabilities have been investigated. Two heater surfaces were tested at five different heat inputs with constant inlet temperature, and four different inlet temperatures with constant heat input. For each case, the mass flow rate was varied over a wide range covering the entire scope for boiling two-phase flows. Experiments were also conducted at different compressible volumes, with constant heat input, inlet fluid temperature, and average mass flow rate. The oscillations of inlet mass flow rate, heater inlet pressure, and heater wall temperature were recorded. The effects of mass flow rate, inlet liquid temperature and heat input on the amplitudes and periods of inlet pressure and thermal oscillations are presented in tabular and graphical forms.

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Experimentelle Untersuchung der thermisch bedingten Strömungsinstabilitäten bei konvektiven Sieden in einer Aufwärtsströmung

Zusammenfassung Mit R-11 als Arbeitsfluid werden Zweiphasen-Strömungsinstabilitäten im Einzelkanal bei erzwungener Aufwärtsströmung ohne Rückführung experimentell untersucht, und zwar besonders im Hinblick auf den Einfluß der Massenstromdichte, der Wärmezufuhr, der Eintrittstemperatur und des in Strömungsrichtung zunehmenden kompressiblen Volumenanteils. Zwei Heizflächen wurden einmal mit fünf verschiedenen Heizflächenbelastungen und konstanter Eintrittstemperatur getestet und dann bei vier verschiedenen Wärmeeinträgen und konstanter Eintrittstemperatur. In jedem der Fälle erfolgte die Variation der Massenstromdichte in einem so weiten Bereich, daß das gesamte Feld der Zweiphasen-Siedeströmungen durchfahren werden konnte. Es wurden auch Experimente mit verschiedenen kompressiblen Volumenanteilen bei konstanter Wärmezufuhr, Fluideintrittstemperatur und mittlerer Massenstromdichte durchgeführt. Die Oszillationen der Massenstromdichte und des Druckes am Eintritt in die Heizstrecke sowie deren Wandtemperatur wurden aufgezeichnet. Die Enflüsse der Massenstromdichte, der Fluideintrittstemperatur und der Wärmezufuhr auf Amplituden und Perioden der Druck- und Temperaturoszillationen sind tabellarisch und in Diagrammform dargestellt.

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Dedicated to Prof. Dr.-Ing. F. Mayinger's 60th birthday     

The laminar flow of plastic disperse systems in circular tubes

Summary The present work offers an analysis of the regularities of the flow of plastic disperse systems (PDS) as applied to the Bulkley-Herschel three-constant rheological equation. Theoretical data on the velocity profile distribution have been confirmed by experiments on the device, in which the flow structure was studied by the method of the frozen flow. By introducing expressions for the generalized Bingham and Reynolds numbers for non-linear viscoplastic bodies, formulas have been obtained for the calculation of the resistance coefficient of a hydrodynamically stabilized flow; the formulas for power law liquids and the Schwedoff-Bingham model follow from it as special cases. The results of the calculations are in good accord with experimental data for various PDS. A nomogram is given for the determination of the resistance coefficient in engineering calculations.Finally the present work considers the flow in the initial hydrodynamic zone of the tube. An analysis is given of the existing methods used for the solution of the problems and it is shown that the method used in this work for numerical calculation of simplified equations of continuity and motion provides sufficient accuracy. The results of numerical calculations are compared with the literature data, and these results are used for the analysis of the development of the flow of nonlinearly viscoplastic bodies in the initial zone. Relations are given for the determination of the length of the initial zone and of the increase of the resistance to flow due to the formation of the velocity profile. With account taken of this resistance, formulas have been derived for the calculation of pressure losses during the flow of PDS in tubes, including the initial zone.

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Zusammenfassung Es wird die Rohrströmung plastischer disperser Systeme (PDS), welche mittels einer drei-konstantigen Stoffgleichung nachBulkley undHerschel beschrieben werden können, untersucht. Das theoretisch berechnete Strömungsprofil wird durch Experimente unter Verwendung von Strömungs-Sichtbarmachungs-Methoden bestätigt. Durch Einführung geeignet definierter verallgemeinerter Bingham- und Reynolds-Zahlen für nicht-linear viskoplastische Stoffe werden Formeln zur Berechnung des Widerstandsbeiwerts einer hydrodynamisch stabilisierten Strömung erhalten; die Formeln für Ostwald-de Waele-Flüssigkeiten und Schwedoff-Bingham-Körper sind als Spezialfälle darin enthalten. Die berechneten Ergebnisse stimmen gut mit den bei verschiedenen PDS erhaltenen experimentellen Daten überein. Für ingenieurmäßige Rechnungen wird ein Nomogramm zur Bestimmung des Widerstandsbeiwerts mitgeteilt.Schließlich wird noch die Strömung im Einlaufbereich des Rohrs betrachtet. Die für die Lösung dieses Problems bekannten Methoden werden analysiert, und es wird gezeigt, daß die hier verwendete numerische Methode unter Zugrundelegung von vereinfachten Gleichungen für Kontinuität und Bewegung eine hinreichende Genauigkeit liefert. Die Ergebnisse der numerischen Rechnung werden mit aus der Literatur bekannten Daten verglichen, und diese werden dann zur Analyse der Entwicklung der Strömung von nichtlinear-viskoplastischen Stoffen in der Einlaufzone herangezogen. Es werden Beziehungen zur Bestimmung der Länge der Einlaufzone und der Vergrößerung des Widerstands infolge der Abweichung des Profils von der stationären Form angegeben. Durch Einbeziehung des erhöhten Einlaufwiderstands werden Formeln abgeleitet, mit denen sich der Druckverlust beim Fließen von PDS in Rohren unter Berücksichtigung der Einlaufzone berechnen lassen.

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With 11 figures and 2 tables     

Application of the Galerkin-Kantorovich-Dorodnitsyn method of integral relations to the solution of steady laminar boundary layers

Summary The Galerkin-Kantorovich-Dorodnitsyn N-parameter method of integral relations belongs in the same general category as those of Ritz and Galerkin. The method is employed to solve the steady, incompressible, two-dimensional flow of a laminar boundary layer. General Nth-order solutions are obtained for regions of accelerated flow and, with a modification to account for a possible separation point, for regions of retarded flow. The convergence and accuracy of the method are evaluated by comparing the solutions with a large number of similar and nonsimilar flow problems. The method permits a separation point to be approached as closely as desired without encountering numerical difficulties or requiring special continuation techniques.

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Übersicht Die N-Parameter-Methode der Integralbeziehungen von Galerkin, Kantorovich und Dorodnitsyn gehört zur gleichen Klasse wie die Verfahren von Ritz und Galerkin. Diese Methode wird benützt, um Lösungen für die stationäre, inkompressible, zwei-dimensionale Strömung einer laminaren Grenzschicht zu finden. Allgemeine Lösungen N. Ordnung werden für Gebiete mit beschleunigter Strömung erhalten und, mit gewissen Abänderungen zur Berücksichtigung eines möglichen Ablösepunktes, auch für Gebiete einer verzögerten Strömung. Die Konvergenz und die Genauigkeit der Methode werden durch Vergleich der Lösungen mit zahlreichen ähnlichen und nicht-ähnlichen Strömungsproblemen untersucht. Die Methode erlaubt eine beliebig weitgehende Annäherung an den Ablösepunkt, ohne daß numerische Schwierigkeiten auftreten oder besondere Grenzwertbetrachtungen erforderlich wären.

     

Unsteady flows of a third-order viscoelastic fluid

Summary Unsteady third-order viscoelastic flow is examined for the purpose of determining a method by which certain material constants in theRivlin-Ericksen theory can be measured. The concept of an intrinsic pressure hole error is used, and an expression for this error is derived for third-order flow. It is also shown that the velocity field for unsteady creeping motion of a third-order fluid is identical at any time to a corresponding steady third-order flow. The pressure field, however, depends upon the rate of change of the flow with time.

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Zusammenfassung Es wird die instationäre Strömung dritter Ordnung einer viskoelastischen Flüssigkeit untersucht zu dem Zweck, eine Methode anzugeben, mit deren Hilfe gewisse Stoffkonstanten in der Theorie vonRivlin undEricksen gemessen werden können. Dazu wird das Konzept des intrinsic pressure hole error verwendet, und es wird für diesen Fehler im Rahmen der Theorie dritter Ordnung ein Ausdruck abgeleitet. Weiter wird gezeigt, daß das Geschwindigkeitsfeld für die instationäre schleichende Strömung einer Flüssigkeit dritter Ordnung zu jeder Zeit mit der zugeordneten stationären Strömung dritter Ordnung identisch ist. Im Gegensatz dazu hängt das Druckfeld jedoch von der zeitlichen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ab.

     

Dynamisches Verhalten von thixotropen Systemen,II

Zusammenfassung Das rheologische Verhalten eines thixotropen Systems wurde als Funktion der momentanen Struktur untersucht. Das System besteht aus Magnesiumsilikat-Fasern, in ein Newtonsches Alkydharz dispergiert. Die Anwendung niedrigfrequenter Schwingungsmessungen in der Analyse solcher Materialien wird diskutiert. Es wird gefunden, daß die charakteristische Zeit für den thixotropen Strukturaufbau um Größenordnungen über dem mittleren Wert der viskoelastischen Relaxationszeit liegt. Es ist daher möglich, das elastoviskose Verhalten der momentanen Strukturen mit Schwingungsmessungen zu erfassen.Mittels dieses Verfahrens wurden Änderungen in dem Relaxationsspektrum, hervorgerufen durch stationäre Strömung, gemessen. Gleichgewichtsstrukturen in stationärer und schwingender Strömung wurden bestimmt, und die Analogie zwischen beiden wurde in dem Falle thixotroper Systeme nachgeprüft. Die Geschwindigkeit des Strukturaufbaus in Ruhe und unter Schwingungen wird betrachtet.

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Summary The rheological behaviour of a thixotropic system has been investigated in terms of the instantaneous structure. The system consists of magnesium silicate fibres, dispersed in a Newtonian. alkyd resin. The application of low frequency oscillatory measurements in the analysis of such materials is discussed. As the characteristic time for thixotropic recovery proved to be several orders of magnitude larger than the average relaxation time, the viscoelastic response of the instantaneous structures can be measured under vibrations of a suitable frequency.Using this technique changes in the relaxation spectrum due to stationary shearing are measured. Equilibrium structures under stationary and oscillatory flow are compared and the similarity principle between both types of measurements is tested for thixotropic systems. The rate of change of thixotropic recovery under rest and under vibrations is considered.

     

The flow structure in the front of a moving surface layer

Summary Behind the frontal wedge of a moving surface layer there is a zone of entrainment in which the flow is turbulent due to the onset of a Kelvin-Helmholtz instability. The entrainment coefficient is inversely proportional to the Richardson number. In the turbulent region the gradient Richardson number approached a constant value less than 1/4. The layer thickness and the mean velocity depend on the salt concentration of the underlying fluid. Finally the turbulence decayed leaving a stable interface and the layer behaved much like a free homogeneous flow over a solid boundary.

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Übersicht Hinter der keilförmigen Front einer fließenden Schicht gibt es eine Mischungszone, in der die Strömung turbulent ist. Die Turbulenz entsteht durch eine Kelvin-Helmholtz Instabilität. Der Ansaugbeiwert der turbulenten Strömung verhält sich umgekehrt zur Richardsonschen Zahl. In der turbulenten Strömung nähert sich die Richardsonsche Zahl einer konstanten Zahl kleiner als 1/4. Die Dicke und die mittlere Geschwindigkeit der Schicht hängt sehr von der Dichte der unteren Flüssigkeit ab. Schließlich stirbt die turbulente Strömung ab, und die Schicht fließt wie eine homogene Strömung längs einer ebenen Platte.

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The work described herein was carried out as part of a research programme of the Hydraulics Research Station, and the paper is published by permission of the Director of Hydraulics Research. The author wishes also to express his thanks to Mr. J. A. Weller for his help in measurement, and to a referee for his helpful comments.     

Strömungsverhalten Nicht-Newtonscher Fluide unter dem Einfluß eines Magnetfeldes und eines elektrischen Feldes

Übersicht Es wird der Einfluß eines Magnetfeldes und eines elektrischen Feldes auf die stationäre, laminare Couetteströmung Nicht-Newtonscher Fluide, die dem Prandtlschen Reibungsgesetz oder dem Potenzgesetz von Ostwald—de Waele folgen, untersucht. Für den Verlauf der Schubspannung, der Geschwindigkeit, des Druckes, der magnetischen Feldstärke sowie der elektrischen Stromdichte werden analytische Ergebnisse mitgeteilt und mit denen der Strömung eines Newtonschen Fluids verglichen.

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Summary This paper deals with the steady-state laminar magnetohydrodynamic Couette flow of non-Newtonian fluids obeying the rheological law of Prandtl or the power law of Ostwald—de Waele. The author investigates the influence of a magnetic and of an electric field on the nature of the flow. Analytical results are presented for the shear stress, velocity, pressure, magnetic field strength and density of the electric current. The results are compared with those of the flow of a Newtonian fluid.

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Auszug aus der von der Fakultät für Maschinenwesen und Elektrotechnik der Technischen Universität München genehmigten gleichnamigen Dissertation des Verfassers [8]; 1. Berichterstatter: o. Professor Dr.-Ing. E. Truckenbrodt, 2. Berichterstatter: o. Professor Dr.-Ing. H. Lüder.     

Unsteady elastico-viscous flow in a curved pipe

Summary An analysis is presented of the flow of an elasticoviscous liquid in a pipe of circular cross-section, coiled in a circle oflarge radiusR, under the influence of a pressure gradient oscillating (about a zero mean) with frequencyn. Of particular interest is the secondary flow set up in the cross-section of the pipe due to centrifugal effects. For sufficiently small values ofn, it is found that the flow pattern approaches that which would be produced by a steady pressure gradient having the same instantaneous value (Thomas andWalters 1963), and of the type that one would be led to expect by centrifugal effects. For large values ofn, the flow in the interior of the pipe, away from the wall, is spectacularly reversed, flow now being directed towards the centre of curvature, elasticity having the effect of reducing the critical (high) frequencyn = n _c which onsets flow reversal.

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Zusammenfassung Eine Analyse der Strömung einer elasto-viskosen Flüssigkeit in einer Röhre von rundem Querschnitt, die in einem Kreis mit einemgroßen RadiusR gewunden ist, wird unter dem Einfluß eines Druckgradienten, der mit der Frequenzn oszilliert (um einen Nulldurchschnitt), dargestellt. Von besonderem Interesse ist die Sekundärströmung, die in dem Querschnitt der Röhre unter dem Einfluß der Zentrifugalwirkungen entsteht. Für genügend kleine Werte vonn wird herausgefunden, daß das Strömungsbild sich demjenigen annähert, das von einem stationären Druckgradienten erzeugt werden würde, der denselben augenblicklichen Wert besitzt (Thomas andWalters 1963) und dem Typus angehört, den man aufgrund der Zentrifugalwirkungen erwarten würde. Für große Werte vonn wird die Strömung im Inneren der Röhre, d. h. von den Rändern entfernt, in spektakulärer Weise umgekehrt; jetzt wird die Strömung zum Krümmungsmittelpunkt hin gerichtet, und die Elastizität hat die Wirkung, die kritische (hohe) Frequenzn = n _c zu reduzieren, bei der die Strömungsumkehr beginnt.

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With 2 figures     

Shear behaviour of undiluted polyisobutylenes

Summary Some new data in shear flow are presented for two commercial polyisobutylene samples, namely Vistanex LMMH and L 100. In particular beyond a few steady state results, the tangential stress build-up after a sudden imposition of a shear rate and the decay after cessation of steady shear flow have been collected. The data are used to further test a constitutive equation already advanced by some of the authors. The comparison seems to confirm the validity of the proposed model, whose single adjustable parameter is shown to be independent of molecular weight.

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Zusammenfassung Es werden verschiedene neue Meßergebnisse mitgeteilt, die in Scherströmungen an den beiden kommerziellen Polyisobutylen-Typen Vistanex LMMH und L 100 gewonnen worden sind. Außer einigen Messungen unter stationären Bedingungen werden insbesondere Untersuchungen betreffend den Aufbau der Tangentialspannungen nach einer ruckartigen Ingangsetzung der Schergeschwindigkeit sowie deren Abklingen nach Anhalten der stationären Scherströmung durchgeführt. Die Ergebnisse werden zur Prüfung eines rheologischen Stoffgesetzes verwendet, das schon von verschiedenen anderen Autoren untersucht worden ist. Der Vergleich scheint die Eignung des vorgeschlagenen Modells zu bestätigen, wobei dessen einziger Anpassungsparameter sich als unabhängig vom Molekulargewicht erweist.

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With 9 figures and 1 table     

Finite-element analysis of slow incompressible viscous fluid motion

Summary The governing field equations and the constitutive relation are specialized to the boundary value formulation of incompressible viscous fluid motion excluding thermal effects. When choosing the velocities and the hydrostatic pressures as variables, the established non-linear matrix equation in terms of finite-element properties becomes valid for both two- and three-dimensional application. It is shown that a restricted class of problems readily fits within the scope of existing finite-element software designed for conventional structural mechanics analysis provided an effective Lagrange multiplier technique can be incorporated.Two curved triangular finite-element models are proposed for both two-dimensional and axisymmetric flow, based on a and order Lagrangian and 3rd order Hermitian interpolation set for the velocities. Some typical examples are attached including linear stationary and transient problems, as well as non-linear cavity flow at moderate Reynolds numbers.

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Übersicht Die Feldgleichungen und das Stoffgesetz werden für die Formulierung der Randwertaufgabe für inkompressible zähe Strömungen spezialisiert, wobei thermische Effekte unberücksichtigt bleiben. Die entwickelte nichtlineare Matrizenbeziehung in Termen der Finite-Element-Schreibweise gilt sowohl für zweidimensionale als auch für dreidimensionale Anwendungen, sofern die Geschwindigkeitskomponenten und der hydrostatische Druck als Strömungsvariablen gewählt werden. Es wird gezeigt, daß eine eingeschränkte Klasse von Problemen direkt im Rahmen bereits bestehender Finite-Element-Programme gelöst werden kann, die für herkömmliche Aufgaben der Strukturmechanik entwickelt wurden, sofern ein effektiver Einbau der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren möglich ist.Für zweidimensionale und achsensymmetrische Strömungen werden zwei krummseitige dreiecksförmige Finite-Element-Modelle vorgeschlagen, deren Geschwindigkeitsfelder mit Hilfe einer Lagrangeschen Interpolation zweiter Ordnung bzw. eines Hermiteschen Ansatzes dritter Ordnung approximiert werden. Einige typische Beispiele behandeln lineare stationäre und instationäre Probleme, sowie eine nichtlineare Hohlraumströmung bei kleineren Reynolds-Zahlen.

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Professor Dr. Ing. Dr. h. c. Eduard C. Pestel zu seinem 60. Geburtstag herzlichst gewidmet.     

Entry flow in weakly curved ducts

Summary The properties of steady incompressible flow in the entry region of curved ducts are studied theoretically for large Reynolds numbers. Under the assumption that the inviscid core flow may be approximated sufficiently well by a potential vortex the boundary layer equations are solved by means of integral methods. In order to improve the accuracy momentum as well as energy relationships are used.

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Einlaufströmung in schwach gekrümmten Rohren

Übersicht Die Eigenschaften einer stationären, inkompressiblen Strömung im Einlaufbereich gekrümmter Rohre werden für große Reynoldszahlen theoretisch untersucht. Unter der Voraussetzung, daß die reibungsfreie Kernströmung hinreichend genau durch einen Potentialwirbel angenähert werden kann, werden die Grenzschichtgleichungen mit Integralmethoden gelöst. Um die Genauigkeit zu erhöhen, werden sowohl Impuls- als auch Energiebeziehungen verwendet.