三角函数有理式积分技巧

结合实际例子给出四种处理三角有理式积分的技巧与方法,即利用对称性积分法、递推公式法、组合积分法、利用留数法.     

用凑微分法解微分方程25例

<正> 有些微分方程题目用凑微分的方法来解比较简单,本文举出25个例,前二个例是93年研究生入学试题。例1 求微分方程x~2y~1+xy=y~2满足初始条件y|_(x=1)=1的特解。(答案:y=2x/(1+x~2))     

用凑全微分法计算第二型曲线积分

对第二型曲线积分，若积分与路径无关，则有与定积分的公式相类似的计算公式，下边以定理的形式写出。定理设P（x，y），Q（x，y）在单连通闭区域D内有一阶连续偏导数，点A（x；，y；），B（yz，yz）ED，且，若存在一个可微函数y（y，y），使dy＝P（y，y）dy＋Q（y，y）dy而用此公式的关键在于求P（X，y）dX＋Q（X，y）dX的原函数，即凑全微分dX一＊dX＋Qdy。本文只强调用观察的方法来凑全微分。这就必须对下边几个简单而常用的全微分表达式要非常熟悉：例2计算I—l（e”siny＋y＋l）dx＋（e”cosy＋x）dy，其中C是下半圆周AB，A…     

一类三角函数有理式积分的简便求法

一类三角函数有理式积分的简便求法段玉珍（安徽电力职工大学）三角函数有理式的积分，从理论上说，它总可以通过万能代换化为有理函数的积分，但是有些类型的三角函数有理式的积分，用万能代换化为有理函数的积分往往比较繁，有的因形式过于复杂而行不通。由于这个缘故，...     

对一道三角函数有理式积分的深入挖掘

本文针对一道三角函数有理式的积分,从不同角度考虑,采用多种技巧和方法展示该题积分的计算.     

用拆分法证明一些三角有理式积分公式

本文以最基本的积分方法为基础 ,从被积函数的结构特征出发 ,讨论了一些常见的三角有理式积分公式的简单证明方法——拆分法 .根据此种方法可求一些三角有理式的积分 .对于形如∫a1sinx +b1cosxasinx +bcosxdx积分 ,Б.П吉米多维奇在《数学分析习题集》中给出了积分公式 :例 1　∫a1sinx +b1cosxasinx +bcosxdx =Ax +Bln|asinx +bcosx|+C,其中A =aa1+bb1a2 +b2 　　 B =ab1-ba1a2 +b2 　　 a2 +b2 ≠ 0　　证　令 I1=∫ sinxasinx +bcosxdx　　 I2 =∫ cosxasinx +bcosxdx则 a I1+b I2 =∫dx =x (常数之差不计 ) ( 1 )a I2 -b I1=∫ac…     

三角函数有理式不定积分注记

针对求解三角函数有理式不定积分的问题,借助实例说明传统方法存在不足之处,并给出此类不定积分的完整解．     

一类三角函数有理式的积分法

大家知道对于三角函数有理式的积分一般采用万能代换总能解决问题。但就具体问题而论,用万能代换化为有理函数的积分往往计算量较大,因而并不一定是最好的方法。由于三     

求解常微分方程的凑微分法

介绍一些求解常微分方程的凑微分方法.     

怎样凑微分

大家知道,作为微分法的逆运算一积分法较之微分法要难掌握一些.这是因为积分法中某些步骤的进行在很大程度上依赖于解题技巧.第一类换元积分法中的凑微分一步就正是这样.     

平方配凑法求三角函数的最值

本文给出求一类三角正弦或余弦函数的最值问题的方法——"平方配凑法".此法是先将原(非负)函数转化为其平方函数,再利用均值定理及配凑待定系数的手法求出平方函数的最值,从而最终求得原函数的最值.此法操作性较强,可供同学们参考.     

含参数的三角函数有理式的不定积分

本文从简单的三角函数有理式不定积分出发,通过合理添加参数的方法,得出含参数的三角函数有理式的不定积分计算.     

一类简单三角函数有理式极值的探讨

在求一般三角函数有理式y=R(sinx,cosx)的极值时,由于计算其一阶导数求驻点比较困难（实际是求解三角方程）,因而使得求y的极值运算变得繁杂。本文介绍一类简单三角函数有理式求极值简便方法.该法是通过变量万能代换,将原式化为分子(或分母)皆不超过二次的代数有理式,再化为二次方程,进而导出二次方程存在实根时其判别式满足的件D≥0,求解此二次不等式,便推得函数的极大(小)值.     

妙用配凑法解难题

《中学生数学》在2004年11月上期刊登了《抓住问题的关键》。我对作者介绍的例2中的方法十分欣赏,但仔细思考后,认为例2中所用方法不仅来自灵感,还可以通过计算来配凑。题目已知a,b,c均为正数,求y=(ab 2bc)/(a~2 b~2 c~2)的最大值。分析此题很难用均值不等式,则思考应用消元法。可如何消元呢?则又需用配凑法。y=(ab 2bc)/(a~2 b~2 c~2)分子中有“ab、bc”,则拆分母中的b~2。解 y=(ab 2bc)/(a~2 b~2 c~2) =(ab 2bc)/(a~2 kb~2 (1-k)b~2 c~2)(设k满足：0＜k＜1)(为下面使用均值不等式所需“一正、二定、三相等作铺垫”) 上式若要消元,则需满足(?)=1/2,解得k=1/5,符合0＜k＜1。     

一类积分微分包含的周期解

研究了一类积分微分包含的周期解,利用Kakutani不动点定理和Tichonoff不动点定理给出了凸和非凸两种情形下周期解存在的充分条件.     

配项与凑微分法的巧妙应用

针对一些较为复杂的有理函数,采用加减配项或乘除配项及凑微分相结合的方法,可巧妙地简化其求不定积分的问题.     

三角有理式积分的求解探索

通过例题求解过程的分析,归纳总结三角有理函数积分求解的方法.     

构造法解三角函数题

一、构造数列等差 (等比 )中项求三角函数值例 1已知sinα +cosα =15 ,α∈ (0 ,π) ,求tanα =?解　∵　sinα +cosα =2× 110 ,∴　sinα、110 、cosα成等差数列 ,设公差为d ,sinα =110 -d ,cosα =110 +d .∵　sin2 α +cos2 α =1,知d =± 710 ,当d= -710 时sinα =810 ,cosα =-610 ,tanα =-43 ;当d =710 时 ,sinα =-610 <0与α∈ (0 ,π)不符 ,∴　tanα =-43 .例 2已知sinαcosα =122 5 ,α∈ (0 ,π4) ,求tanα =?解　∵　sinαcosα =122 5 =(125 ) 2 ,∴　sinα、 125 、cosα成等比数列 ,设公比为 q ,∴　sinα =125 q ,…     

一类积分——微分参数方程的解

1976年,Y.Ronen等人从实际应用的角度出发,在定态中子迁移方程中引入一类新的参数δ,并阐明了其物理意义,从1985年起我国数学工作者开始了这类方程的定性研究,取得了一系列成果。     

三角函数的定积分

利用围道积分和参数展开,得到了一类含三角函数定积分的值.