高考研题“四重奏”,提升解题新境界——2023年高考数学全国甲卷理科第12题探究

本文探究了2023年高考数学一道椭圆题的多种解法,通过正确阅读理解题目,对问题进行多思维角度的切入与求解,并进行合理的变式改编与拓展,进行针对性教学思考,指明研题具有会读、会解、会变、会学这“四重奏”,提升新的解题境界,引领并指导数学教学与学习.     

例谈运用引申技术改编初中数学试题

编制数学试题是初中数学教师的基本技能之一,独立编制原创数学试题确实费心费力,难度较高,但是我们可以借助于一些成题将其适当改编成有新意的题目. 罗增儒教授早在2005年《中等数学》上谈到用引申技术将成题改编为竞赛试题.他说:“引申通常解释为从旧义得出新义.竞赛命题的引申技术就是从已知题目出发,沿纵横两个方向演绎深化得出新题目.”本文借助一些例题浅谈如何用引申技术来改编初中数学试题.     

圆锥曲线焦点三角形顶角平分线的性质探究

2010年高考数学安徽卷理科第19题考察椭圆焦点三角形顶角平分线的性质,视角独特,设计新颖.本文通过对第(2)(3)题的推广,探究出圆锥曲线的焦点三角形顶角平分线的一般方程及其对称性质.1试题回放     

三角形助你解高考题

在高考试题中,除立体几何题与三角形联系最直接、最密切外,还有解析几何中的一些题目也与三角形有“不解之缘”,这些题目中涉及到的图形,是教材中的基本图形,若能巧妙使用三角形的基本性质,则解题起来便能“绝处逢生”,事半功倍,下面举例予以说明．     

椭圆中一类三角形面积的定值问题

<正>直线与椭圆的综合性试题是近几年高考的热点,以三角形为载体考查直线与椭圆的定值、定点问题在高考试题、省市模拟试题中屡见不鲜,一些二级结论成为了试题命制的背景．在平时训练与考试中,我们要学会大胆猜想、归纳和验证,锻炼发现问题的能力,是学好高中数学的关键,下面我们一起来探究椭圆中一类三角形面积的定值,尝试如何发现试题中的结论,通过两道试题不断深入,探究结论的发现历程,希望对同学们数学学习有所帮助．     

在伸缩变换下,让圆与椭圆相伴互生——2012年高考数学湖北卷解析几何解答题探究

2012年高考数学湖北卷文理共用第21题,是一道由圆经过伸缩变换生成椭圆后,再以直线与椭圆的动态变化位置关系为载体的解析几何综合题.试题以解法灵活为考生提供了多样的选择,以贴近教材为教学提供了良好的导向,以背景丰富为研究提供了广阔的空间,是一道平中见奇、卓尔不群的好题.下面通过对这道题目进行解法     

一道试题的巧思妙解

在解决数学问题时,可以用静的方法来处理动的数量和形态,即以静制动;转换视角,实行动静互换,笔者用此方法来处理一道自主招生试题.题目(上海交大自主招生试题)对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.     

以“动态三角形”为载体的2008年中考客观题

三角形是最基本的几何图形之一,2008年各地的中考试题中出现了很多立意新颖、构思巧妙的以“动态三角形”为载体的客观性试题．题目虽小,却既考查了几何基础知识,也注重了对学生数学能力的考查,同时也体现了数学变化中的美丽,小中见大．认真赏析这些试题,对中考复习会有许多有益的启示．     

竞赛题的解法探究与变式拓展

<正>1.试题2016年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛填空第8题是这样一道题目:例1如图1,D为△ABC内一点,并且满足AB=CD=4,∠A+∠BDC=1800,试确定S△ABC-S△BDC的最大值.试题考查了四点共圆、等腰梯形、平行四边形的判定与性质以及两边已知的三角形面积最值问题.试题综合性强,解法灵活,考查了数形结合、转化等数学思想及割补的解题方法,检测了推理及分析问题与解决问题的能力.如何添加辅助线是本题的难点,要充分利用已知条件从构造圆、全等三角形入手解决.     

对高考数学浙江卷理17题(文19题)的探析

由传统题改编而成的数学高考试题,在历年的高考试题中屡见不鲜.今年高考浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题就是这一类型的试题,下面我们对此题作一些探讨,以期对大家有所帮助.浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题如下:图1题1图题1如图1,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l1∶x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).1题源探析1986年全国高等学校统一招生考试理工类数学第五题如下:图2题2图题2在y轴…     

共高三角形在2023年云南中考第23题中的妙用

<正>中考几何解答题通常涉及知识面广,灵活性高．2023年云南中考数学第23题是一道三角形与圆相结合的几何试题,它需要同学们将三角形与圆的相关知识融会贯通,选择不同的切入点就会有不同的解法．接下来为同学们提供多种解法,尤其是共高三角形在本题中的巧用,帮助同学们“看透”图形．1共高三角形具有公共高的两个三角形,称为共高三角形．共高三角形具有如下性质．     

椭圆问题的推广及变式

<正>众所周知,数学的学习离不开解题,对于典型的试题,不仅要探究一题多解,更要思考一题多变,多角度的变换试题的条件和结论,力争构造出更加新颖的试题,切实达到一题多用、融会贯通的效果.题目(2012年高中数学联赛贵州省预赛)如图1,已知A、B是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右顶点,P、Q是该椭圆上不同于顶     

错排问题——研究性学习的一个典型案例

1993年的全国高考试题一改以前数学高考“以知识立意”命题思路，开始明确提出“以能力立意”，这是数学高考改革的一项重要举措，高考数学命题更加注重了对能力和素质的考查，试题设计增加了应用性和能力型题目，其中的“贺卡问题”就属于这方面的一道好题。     

例析与椭圆的焦点三角形相关的问题

在椭圆中,所谓“焦点三角形”就是指椭圆的两个焦点与椭圆上的任意一点组成的三角形．椭圆的焦点三角形中蕴涵着很多让人耳目一新的几何性质,它融正、余弦定理、平面几何和向量等知识于一体,让焦半径充分展示其魅力,给人新颖灵活之感,值得我们去探究与总结．在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中,以“焦点三角形”为载体的问题更是层出不穷,精彩纷呈．本文结合具体问题,对椭圆的焦点三角形的性质加以归纳与剖析．     

对一道竞赛试题的再探究

题目:如图1,在平行四边形ABCD中,△ABE和△BCF都是等边三角形.求证:△DEF是等边三角形.(《全国初中数学竞赛辅导》初二第12讲) 本题将特殊三角形和特殊四边形结合起来,将其设计成一道探索性较强、解法较多的竞赛培训题,然而试题预留了继续探究的空间.本文将逐步探索以平行四边形的四条边向外(内)作特殊三角形,所形成的图形之间的面积关系.现由笔者整理如下.     

2013年高考数学新课标Ⅱ卷12题解法分析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）数学（理科）第12题是一道非常难得的创新题．这道试题,在常规题目的基础之上蕴含着不少新意,在题意简明的表象之下隐藏着许多陷阱．解题时,虽然容易“入手”,但是难以“得手”．这样的试题,作为高考数学选择题的“把关”题,确实是当之无愧的．     

小题中蕴含大智慧——一道高考选择题的多解分析

<正>在高三复习过程中,对于高考真题或典型试题,教师要善于挖掘其教学功能及价值,从不同角度切入解题思路,培养学生多角度观察和处理数学问题的能力,力争通过一题多解,将相关的数学思想、方法集聚于其中,进一步提升数学思维能力和解题能力.题目(2014年高考湖北卷第9题)已知F_1、F_2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们     

一道试题解答的完善

一道试题解答的完善郑一平（福建宁德地区民族中学３５５０００）本刊１９９７年第５期登载的咸阳市１９９７年高考数学综合练考题的压轴题是一道不可多得的好题，但笔者认为其解答是不完整的，剖析如下（为说明问题，其题目与解答抄录如下）：题目已知椭圆的一个顶点为Ａ...     

三角形助你解高考题

在高考试题中,除立体几何题与三角形联系最直接、最密切外,还有解析几何中的一些题目也与三角形有"不解之缘",这些题目中涉及到的图形,是教材中的基本图形,若能巧妙使用三角形的基本性质,则解题起来便能"绝     

与"三角形外心"有关问题的求解方法

与三角形的内心、外心、重心、垂心有关的数学问题在前几年经常被选入各级各类竞赛试题中,随着当今高考试题变知识立意为能力立意,这类题目便出现在全国各省市高考模拟试题中,特别是2003年,全国、北京、上海的高考试题都以大题的形武出现,充当"把关题"的重要角色.这类问题涉及知识面广,极富思考性和挑战性,学生求解起来颇感困难,考试时经常弃而不答,令人惋惜!