六、数列、极限、数学归纳法

A组一、选择题(有卜t仅有个答案正确)1.已知数列{凡}中,N=1,人,! 人,二I+止,则数列讯}一定是((A)丫又为等差数列,(B)f又为等比数列; ((、既j卜等差、又非等比数列;(D)既是等差、又是等比数列。2.卜列四个定义在自然数集上的函数: (l)f(。)=2,厂l, (2)g(,:)=一r,‘+6,,了一9,,+5 (3)h(r,)=,,‘一6,z兰+11,,一7, (4)k(,I)=,:‘已们可以是数列l, 6一q尹I十1仁J一公 r已 (B)在区l’ed(l一￡,l+〔)内,存在{a。}的无穷多项; ‘〔今在区I’ti](l一,l+￡)内,存在{a.}的有穷多项; (D)在(l一,1+￡)内和外,均存在{。}的无限多项. 8.在△ABC中,若…     

圆内解析函数的一些性质

矍位圆!之{”’具lJ撰属姗族H,.本文是考究疽些函数族有朋平均模和篷界值的一些性臂.昆S二(z)是f(“)之第n+,部分和,即S。(“)一习a、“气而祝‘,(“)是f(“)之k=O第n+1项的Fej白和〔S0(“)十…+S,仁)〕/(n+l),是待我们有定理1.若f‘:)〔凡,尹)l,亚且1}f(:)!!‘,J《B(0成,相似文献   

一道容易解错的题

题:求k值,使方程九二,一(九+1)‘+2”o有实根,且二根的绝对值均小于1. 以下两种解法都有不易觉察的错误: 解一:设所给方程之二根为,:、‘2,依题意有:‘(寿+‘)‘一sk》0,且k‘“曾{l“,}<‘’学火}劣:}0. .’.(为+l)“一4几0,.’.吞<一l一了2或为>一l+了百.(A). 又…     

三、数列、数列极限、数学归纳法

一、选择肠1.在等比数列中,若. :二尹十q(,。,:,尹,q任万),公式是((B(D则下列等式成立的是()(A)a。,。一~a,,a.(C)‘一a.=a,一a’(B)“. a.=a, a-(D)。八二‘a-(^);一去一(一,)或;(e)刁 音(一,)或月; 合(一1)‘一音(一,,7.若。.二‘,一合)(l一专)一(1一工),则lim、等于( )(A)。(B)l(e)冬(D)不能确定 乙 8.用数学归纳法证明:(、十l)(,十2卜二(、 ,‘’、2二]·3·5·一(2,一1).(,任N)时,从’“,应增添的因式是()(Zk l)(Zk 2)k十l2无十2k十1、户,BD了、了、、户r、,矛AC了、了百、 2.某工厂在1986年底制定计划,要使2000年的总产值在原…     

一类不等式的证明、推广及应用

考察下面一组不等式:若u、b〔R,且“+b“L_.11、l_!、_25则(“+言)(b+言))分二(2+告)’=l,《l)、..r夕才苦万,、‘若a、权“〔R+,且a+则(a+告)(。+寺)(‘+b+f“生))‘Il《只其)I‘.1、,_、一六下布一二1.币十二犷l,气乙) ‘口、。》I(告一:)+2)(卜,)(斗一:)+:一,+干·不应用这·结论.(2)式是很难i正币冬手的, (_几) 沿川(2)的证法或用数学归纳法去证明推万”了的《3)式,都将会遇到十分未杂的运竹.难以奏效,必须另辟新径.分析:(.r,+止如若上不等式皆正确,有理由猜侧:若￡〔R舟(;二l,艺,…,,)It、.+:,+…+x.二l件乙,11调协这,,个因式,能否…     

多边形形状的判断

利用向旦判断 例1已知斌+斌十斌=。,〕丽劝+「瓦丙卜几j户井二l,判断△尸,尸2尸。的形状· 解丫武十斌+斌二o, :.斌十斌一斌, ,.(斌十斌)2一(一斌),,即{斌}’+}斌},+2斌·斌=l斌}‘. ,.l斌}一!成}钊斌}一1, .斌·斌一合,:’(斌:斌}Cos二尸:oPZ一合, 匕PI 01〕2=120: 同理,乙尸;〔护3二匕尸ZOp3二120‘. .’.△尸,pZ尸3是正三角形. 例2在△ABc中,设茄二。,成二b,庙-。,若a·b=b·。二。·。,判断△ABc的形状. 解’.‘a十b十c=O, ‘a+b=一e,(a+b)2=eZ,即aZ+bZ+Za·b=eZ(1) 同理,bZ+。2+Zb·。=aZ(2)川一(2),得aZ一eZ+2(a·吞一‘·e…     

复数及其应用

A)助(c)(D)10.(A)(B)(c)(D)1l.一、选择题1.设二、习是虚数,则下列命题正确的是()(^)若二全+即全=0则:=梦=0(B)}x 12二:2(c)若卜!相似文献   

狄里克莱级数的增长性与系数及指数的关系

本文用〔11中方法研究了狄里克莱级数在收嫩半平面或全平面内的增长性。定义le石=In。r=r,e二设已给狄里克莱级数=ee”一’,l。,r=In(In。一:r)、2‘、刀尸了.且百.一了、了.、功(s)=习b,e一几”a ”=0其中{饥}为复常数序列,{瓜}满足 O一几。<几,<只2<设(1)的收做坐标及绝对收赦横坐标是零,(s二x+i刀),<久。个+oo·亦自}l不,,In lb,l]111—,~几。Inn1 im兰竺型。、,入:令M(x)=sup!甲(x+i刀)}(x>0)一.<犷<+.刀,=16小m(x)=max{刀ne一‘,‘In>o}(x>o), 定义2称级数(I)为(p,叮,p)级,如果令In,+,M(x)1一X np(P,q)=1 im x叶+0有。相似文献   

一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为。、b是一元二次方程护一(。十b):十动~0的两个根,设S。一a0十b0,S,一。 b,则 吕2二。2 乙2,月2一(a b)51 ab月。~0 名。=a3十乙3,53一(a 乙)82 汕S,~0 5.~a’十b’,S。一(a b)S.一‘十动价一:二0即有当、)2时,有递推式S一(a b)S一, ab^9一2一0(,) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程同样有较大用途,下举数例说明. 例l若,,‘,=,,‘ l,。’一。 l、且,,‘共、,则1,l” 沪一(江苏省第四届初中数学竞赛试题). 解由,,‘,~,,‘ l,、,=n l,且,,‘护n知:1。,、是一元二次方程二,一二一1一0的…     

二阶椭圆型方程组的一类斜微商问题

文〔1〕研究了形如02研aZo万’/、护研.十q 2 Lz/千万一卞qZ 0多一(z)dZ环022 ,、dZ砰,、dZ评+q“气z)石万可十q‘、之少二瘾百+、了2.研,到暨,夕竺、一。 、‘dZ一dz/ ,、d附.,、O评.,、d附.,、d『几=r,气之)-十r,又Z,—州~r,气之)—十rd又之)一-二=~ d名一”d之一’d之一d之 +S;(z)研+52‘的评十S。(习,Z任‘(1)10第五卷的二阶椭圆型方程组的斜微商问题,郎寻求在域G内满足方程(1)的广义解附(力任平尹(动,使它在‘的边界厂上适合条件O研,八,,、,八,.、,。一石一=r气不),r气艺少=rl气I夕十名r气丁夕,万匕1 O‘并建立了这一边值问题解…     

一道范例的教法所得

例:已知:如图l,O以约半径为,、(’‘唾直一J几直径A丑弄疏是仪撇中点,弦Bl心几么点.求B加勺长. 解:‘.’〔丫)土AB一丁七以点材是(丫冶勺中点,则〔’O=BO=r’ OM二C对二会,BM二了厂十(会)“ 再=万一r. (图l)-ADB与△M〔)刀为,,△, 方法一:(利用比例线 段求值)连结几I>.易有△且△ADBo。△MOB于是有器一儡,…BD一竿,几(图2) 万法二:(利用相交弦定理求值)如图2,延长〔丫玫③口f及 …伽一音,.’.材E二普。由相交弦定理得: I)叼·几fB一〔几I.M乙、导D、一奈I.…BD一BM+MD一零;一十典拿 ‘1气少 4裤I一二.不一’几r.D (图3)=…     

1993年高考试题解法集锦 理科第(29)题别证

题 :已知关于:的实系一数方程:,十‘I:十b二0的两实数根a、刀,证明: ①若}司<2,}川<2,则2}a}<4+b且!b,<4, ②若2 la}0,即(」+吞)2>4a2, 4+b)O,.’.2!a}(4+吞,即2!。}’<4+‘且}川<4成立. ②’.’2}u】<刁+6且1乙}(4,则(4+6)2一礴‘:,=(a,一4)(声2一d))0且1 al·}刀{(4, aZ(d,刀Z<刁…     

第十三届全俄中学生数学奥林匹克第三轮试题(十年级)

1.求这样的最小自然数,’场它的末位数移ylJ门位时就会扩人5}音. 解:设所求数为‘:l‘,:…‘,,‘之,沪,】:是‘:I列{f} ‘,,,11‘,:…‘乙,l=马·‘11‘I:一‘。、l‘,,ttl此‘,J逐步求币)手: ‘一,,·l()’‘l+‘,l‘I:…‘z,.;=5(l里)·‘,z‘z:…‘,l+‘I,,), ‘I,,(1(),,l一几)=1{,·‘,!‘I:…‘之一, ‘,,·(,{卜二(JS=浦(,·“一“:…‘,:(l) 月一Zj、‘〕f妇于:a,,是个位,不‘,I能被49整除二,I见9‘,…‘,5至少应能被7橄除,不堆知道它至少是99995,说明n二6,所求数就是6位数,(1)式成为 翻·9‘)9冬户5=4{户·‘11〔,::‘一,‘;…     

一个三角形不等式猜想的否定

月尸方程为:肥方程为:‘100云=玉一100101云~一云+101由方程组100示一云一100101云二一云+101解得刃坐标为才(20200 201 1、乏瓦,.所以 1 201}AA,20200 201、。.,1’,’十‘丽十”‘湍八亦平r202同理又易知而于是夕=}BB‘}=了100,+1力‘一1二20一20:二{‘‘尸}=}co}=101.二~b~}泌卜了而不叮,c=1 .1 .1二+二十夯:梦名}朋}二2.谕瑞两几亩篇击一而瑞两+击气亩瓮而+击带揣旨+击.-一<儡+击<儡十击一儡‘另一方面 5 5杯两了不万十而丽耳万+2 一QO尸Oln︸ 安振平同志在亥数学通讯》1991年第8期上《几个三角形不等式的推广》(以下简称文〔1〕)中,…     

圆周角平分线的一个性质及其应用

定理设朋洲D、淞是圆的三条弦,乙召解~2a, (l)若朋平分乙月月‘,则朋+淞二ZA刀℃osa. (2)若AD平分乙刀韶的外角,且月刀>Ac,则 月召一肖少~2川为Ina. 证明(l)连结肥、BD.如图1所示,由△月汀的面积关系有 月刀·水少·SjnZa二(AB+双、)月E·sjlla即2朋·留·cos。二(月刀十月c)刁刃,C又△‘E。△ADB,荔一器,A。·Ac一AD·朋②将②代入①即得2月石七仍a~月D十淞·必丁二{‘图2 (2)设乃D与肥的延长线交于E,连结DD,如图2所示,则乙C月E二900一a,乙川刃=900十。,类似于(l)有万悠 月刀·水)sinZa二沌刀·月召sln(900+a) 一淞·滋肠in(9…     

不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|取等号的充要条件

高中数学课本证阴了不等式!。}一}川《1。一卜日《卜!理l划,但没有指出何时才能取得‘“”号,本文指出其‘二’号成立的充要条件,并给出应用. 定理1.不等式la+bl《卜l+lb}(。,b〔R)取‘二”号的充要条件是。b>0. 证明:卜一:一6!二扣}+!乙}令今!。十bl忍二·(卜卜!b!)s令冷,十2}。}lb!十b’二。:+:卜b!+bZ令今:b》0. 用数学归纳法可证明推论:不等式l::十。:十…+口。I《!。:卜卜:卜…+}。。】取‘=”号的充要条件是所有a。a;》o(‘,j=l,2,…,。) 定理2.不等式}口{一}b】《】a+‘}(a,b, ‘刃)取“~’号能充妥系件是口二b=。或一l《b/:‘〔. …     

等差数列不等差

若一数列佃。}的前”项和公式是:S,,’+l,则此数列是等差数列. 证明:一「(n一l)’S一5._,一(。’+l)+]1=Zn一l a。一l一s。一l一S。一2一Zn一3, ·‘·a。一a。_,=(2”一l)一(Zn一3)二2 …伸。}是等差数列· 然而,’·’al二51,a,+a:=52,a,+aZ+a3一S, ·’·al一12+l,a一+aZ一22+- al+aZ+a3一32+- 解得:a,一2,aZ一3,a,一5 ·’,aZ一a,笋a,一aZ即数列于a。冬不等差数列. 前而证明了扣,}是等差数列,为什么用一些特殊项去验证却不成立呢?本期‘数学诡辩’揭底 2错因.就是用前n项和公式去求通项公式时,未注惫到数列的首项情况.由a。=sn一s…     

關於單葉函數的偏差定理

毅奇函教叔约=C十艺。。C一2“’在co>}C}>1内是正4lJ且翠案.戈鲁泽「王]、夏道行「21曾覆明镇}氢客式‘’og以匕)一F(C:’) 匕一C了 匕+吠尸(C二)+F(C二,)(艺:二补1oz乙,+1孔,一1艺:了衫(1),一v诊=1,__己己+lIUg一二万屯万厂一二尸, ‘v‘,,一1匕一匕喀客‘厂‘ogF(C二),一r(乙了), 打一C份2《、、,/ 一住,拼,砰t=l_,,/,1、Y二“09、‘一,音万万万少、艺刃衫l,,‘=1乙份乙(2) 下.艺 成1艺一‘·丫”。gI卜.v=1卫义力一F(乙,) 乙,一二 C,+CvF(C,)+F(C,)l。。(;-}、《艺a,,·下二下·109C,万,+1乳乙一l(3)”,v=l艺a,,,丫二丫,l。g…     

利用等差数列的性质解题几例

等差数列有不少性质,现列举如下: 一、设{a,},{b。}是等差数列,则{a。+b。}也是等差数列. 二、设{a,}是等差数列,。为常数,则{ca,}也是等差数列. 三、设{a。}是等差数列,c为常数,则{a。+好也是等差数列. 四、设{a。}是等差数列,如果项数号码P,q,:,:,…成等差数列,则。,,a。,。r,a,,…也成等差数列. 以上性质皆不难证明,仅就性质四为例来证明。 设等差数列通a,}的公差为d,取新数列a,,a。,a,一中的任意相邻两项“‘,a,, az一a、=〔a;+(j一1)d)一〔a:+(‘一l)d〕 =(j一f)d. ,.’p,q,:…i,j,…成等差数列,+abc也成等差数差列,各项都减去abc,则 …     

关于 x~2+y~2=n 的有理解

文〔l]中求出厂二儿二次不定方程 厂+丫二1和丫十犷二2的全部有理解,同时还证明厂不定方程 丫+丫=3没有有理解,本文将这个有趣的问题推广到一般的二元一几次不定方程 丫+犷“n(r,为自然数)(l)求出它的有理解的表达式,并指出对于怎样的自然数,l’方程(l)有有理解。 定理1若不定方程川有整数解,则它有无穷多组有理解。当方程(l)的组整数解为x二a,g=b时,它的全部有理解可表为 m:’tZ一2脚b一ab一Zma一m,bX一一,.一,,U一—、‘) l十”未一~1十”之其中。为有理数。 证明方程(l)在直角坐标系中表示圆心在坐标原点,‘卜径为训丁的圆。山于 y一b…