一类不等式的统一证法

例题　 (1)已知 |ａ| <1,|ｂ| <1,求证 :ａ +ｂ1+ａｂ <1.(2 )设ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,且ｂ <2ａ ,求证 :ａｂ <2 <2ａ +ｂａ +ｂ .分析　将 (1)中的结论改写为 -1<ａ +ｂ1+ａｂ<1,与 (2 )中的结论比较易发现 ,两题的结论都具有Ｐ <Ｎ <Ｍ的形式 ,于是我们对两个问题作统一的一般化处理 (构造二次函数证明不等式 ) .设 ｆ(ｘ) =ｘ2 -(Ｍ +Ｐ)ｘ +Ｍ·Ｐ =(ｘ -Ｍ) (ｘ -Ｐ) ,则有Ｐ <Ｎ <Ｍ ｆ(Ｎ)<0 ,故要证Ｐ <Ｎ <Ｍ ,只须证 ｆ(Ｎ) <0即可 .证明 (1)　令Ｐ =-1,Ｍ =1,Ｎ =ａ +ｂ1+ａｂ,构造函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 -1.∵　ｆ(ａ +ｂ1+ａｂ) =(ａ +ｂ…     

一类分式不等式的统一证法

在△ABC中,a、b、c分别为其边长,其内切圆与三边BC、CA、AB分别切于D、E、F.于是,由切线长定理知AE=AF,BD=BF,CD=CE,可令AE=AF=z,BD=BF=y,CD=CE=x,那么,a=x+y,b=y+z,c=z+x,面积△2=xyz(x+y+z). (*)     

一类分式不等式的统一证法

在国内外数学竞赛以及一些数学杂志上出现了一类分式不等式,许多专家都曾对这类不等式作过研究,指出了较多好的证法。本文旨在说明这类分式不等式有一种统一初等证法,就是都利用一个常见的不等式(柯西不等式的特例)(a1+a2+…+an)(1/a1+1/a2+…+     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究,笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０,λ＞０,ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形,然后通过待定系数法求出λ,即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一,操作方便,学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…     

一类三角形几何不等式的统一证法

我们知道 ,任何三角形都有一个内切圆 ,切点把三边分成两段 .根据切线长定理 ,可将三边分拆换元 ,即在△ABC中 ,a ,b ,c分别为其三边长 ,可设a =y +z ,b =x +z ,c =x + y (其中 ,x ,y ,z∈R+ )( 1)如此便可简捷地证明一些三角形不等式 .下面我们举例说明 :1　分拆换元后 ,运用算术—几何平均值不等式一些结构较复杂 ,直接运用均值不等式有困难的三角形几何不等式 ,依据 ( 1)式分拆换元后 ,却能容易利用算术—几何平均值不等式 .例 1　在△ABC中 ,a ,b,c分别为其边长 ,求证 :① (《数学通讯》 2 0 0 1.12 .数学问题 132 4 )a +bb +c -a+ b…     

一类不等式的新证法

对于形如∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≥Ｐ或∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≤Ｐ(Ａｉ ＣＢｉ=Ｑ ,Ｃ为常数 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)的一类不等式 ,利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可简捷地给予证明 .定理　设Ａｉ,Ｂｉ∈Ｒ ,λＡｉ μＢｉ=Ｑ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,λ,μ为常数 ) ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,记Ａ =∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ,则当 μ >0时 ,Ａ≥ωｎ ;　当 μ <0时 ,Ａ≤ωｎ .证　因为λＡｉ μＢｉ=Ｑ ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,所以ｎＱ =λ∑ｎｉ=1Ａｉ μ∑ｎｉ=1Ｂｉ=λ∑ｎｉ=1Ａｉ μω∑ｎｉ=1Ａｉ=(λ μω)∑ｎｉ=1Ａｉ,所以　Ｑ =λ …     

妙用不等式求解一类最值问题

各类资料都有如下一类二元极值：     

不等式中参数的最值问题

在一定条件下,给出了一个含参数的不等式,要求使不等式恒成立的参数的最值(或取值范围),这是近几年来数学竞赛中出现的新题型．由于这类问题本身并没有提供答案,而是要求参赛选手自己去寻找、探索和论证,因此大都难度较大,其解法灵活多样,技巧性强．     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法陕西永寿县中学安振平证明不等式的途径较多，本文意在介绍一类分式不等式的新颖证法，证明过程中要道用到无穷递缩等比数列求和公式和平均不等式：①对等比数列ｋｌｑ“‘）（ｌｑ【＜ｌ），有ａｌ十＊；０＋ａｌ矿十…＋ａｌｄ‘十…一一二．且一...     

一类三角形不等式的替换证法

设R、r与s是△ABC的外接圆半径、内切圆半径与半周长（称为“三基本量”），则有如下三角形基本不等式[1][2]．（1．1），（1．2）取等号当且仅当面ABC分别为顶角≥60°和≤60°的等腰三角形．据此，笔者曾应用构造法证得下面的命题：命风1”’形如s＞（M）人R，r）（2．1）的不等式对任意AABC成立，只要它对顶角260”的等腰AABC成立；形如sM（M）f（R，r）（2．2）的不等式对任意面ABC成立，只要它对顶角＜6O”的等腰上ABC成立．命gZ［’］形如（2．工）的不等式对锐角凸ABC成立，只要它对顶角＞60”的等腰锐角凸ABC成立（这…     

一类分式不等式的新证法

应用柯西不等式，容易得到如下不等式：设ａｉ，ｂｉ，ｃｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ）则：∑ｎｉ＝１ｂｉｃｉ∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥∑ｎｉ＝１ａｉｃｉ２（＊）利用（＊）证明数学竞赛中型如：∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ≥Ｐ（＊＊）这类难度较大的分式不等式，只要恰当地选取ｃ...     

一类条件不等式的三角证法

在条件不等式的证明中,若已知条件为a>0,b>O且a 6=1或者a>O,b>O,c>O且a b c=1时,可引进三角函数建立相应的三角式后再给以证明。由于三角函数的公式较多,三角变换的规律相对说来容易遵循,故证明过程比较自然。在证明过程中,要根据三角函数的定义进行代数式与三角式的相互代换,还要结合一些基本不等式。因此,运用三角方法证明不等式,有利于开拓学生的证题思路,加强数学各科间的横向联系。下面通过一些例题介绍此种证法。     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法郭慧清（广东深圳市深圳中学５１８０２５）设ａｉ，ｂｉ∈Ｒ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有（ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ）（ｂ２１＋ｂ２２＋…＋ｂ２ｎ）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２这是众所周知的柯西不等式，若令ａｉ＝ｘｉｙｉ...     

一类积分不等式的规范化证法

本文利用定积分的线性变换,给出了一类积分不等式的一种规范化的证明方法．     

一类分式不等式的新证法

定理1 设ai,bi〉0（i=1,2,…，n）,若a1≥a2≥…≥an且b1≥b2≥…bn或a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn,n≥2,r,t〉0,rn-t〉0,s=∑ni=1ai,则     

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…     

一类无理不等式的倾向性证法

一类无理不等式的倾向性证法陈友才（湖南省资兴矿务局一中４２３４０６）无理不等式的证明是高中数学教学中的一个难点．对于一类常见的根式和双向不等式，许多文章中均采用诸如构造图形利用凸性等特殊技巧予以证明，不仅对突破这一难点于事无补，而且反倒更加重了学生的...     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法安振平（陕西省永寿县中学７１３４００）证明不等式的途径较多，本文意在介绍一类分式不等式的新颖证法．证明过程中要用到无穷递缩等比数列求和公式和平均不等式：（１）对等比数列｛ａ１ｑｎ－１｝（｜ｑ｜＜１）有（２）若ａ１，ａ２…，ａ。Ｅ...     

一类数列和不等式证法探究

对于一类数列和不等式,如果其中一边可看作n的函数式,另一边是一个数列的前n项和,且这个和式既不能直接求和,也较难先放缩后求和,很多学生感到难以处理,本文通过实例介绍证明这类数列和不等式的方法.