精益求精——比比两个三角形的面积

很早就读过张景中先生的文章和书,尤其是他以“井中”为笔名写的文字.但第一次认识张先生是在1989年,当时应四川省数学会之邀到峨眉山为数学奥林匹克教练员培训班授课.空余时间听了张先生的一节课,他给小学教师讲“鸡兔同笼”,印象很深,确有“啊哈,灵机一动!”之感,处理方法通俗、绝妙. 张先生的经历很不简单,他曾经做过多年的中学数学教师,也许正是他深厚的数学功底加上这份经历,使他成为最了解、最关心中小学数学教育的国内知名数学家之一.张先生现在是中国科学院院士、中国科普作家协会理事长、中国数学会奥林匹克委员会委员.他在繁忙的科研工作之余写了大量的科普作品,这次我们从他的作品中选录了一些形成这样一个系列讲座.第一,感谢张先生对我们的支持;第二,希望老师们和同学们读后有所收益.     

三角形的一个面积定理

三角形的一个面积定理１１０１４１沈阳市于洪区供销联社孙哲１定理的提出文［１］、文［２］中都载有这样一道习题：如图１，ΔＡＢＣ被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分成六个小三角形．其中四个小三角形的面积已在图中示出．求ΔＡＢＣ的面积．两书中给出的略解...     

分点线三角形面积定理

定义1 三角形顶点及对边分点的连线称之为三角形的分点线． 定义2 由三角形分点线围成的三角形称之为分点线三角形．     

分点线三角形面积定理

定义1三角形顶点及对边分点的连线称之为三角形的分点线.定义2由三角形分点线围成的三角形称之为分点线三角形.图1三角形如图1,△ABC的边AB,BC,CA上的分点分别为D,E,F;AE和CD,BF和AE,CD和BF分别交于点P,Q,R.则CD,BF,AE称之为△ABC的分点线,△PQR称之为△ABC的分点线三角形.我们     

三角形内角和定理的证明

同学们都已经知道三角形的内角和为180° ,但你是否想过除了课本的证明方法外 ,还有没有其它的证明方法呢 ?下面我们就来探讨三角形内角和定理的多种证明方法 .已知△ABC ,求证 :∠A +∠B +∠C=180° .证明一　常见的证法 ,过点C作CE∥AB ,延长BC至D ,则∠A +∠B +∠C =∠ 1+∠ 2 +∠ACB=180° .证明二　过点C作DE∥AB ,易知　∠A =∠ 1,∠B =∠ 2 .∵　∠ 1+∠ 2 +∠ACB =180° ,∴　∠A +∠B +∠C =180° .证明三　过点C作CD∥AB ,易知　∠A =∠ 1,∵　∠ 1+∠ACB+∠B =180°(两直线平行 ,同旁内角互补 ) ,∴　∠A +∠B…     

三角形费尔巴哈定理的解析证明

费尔巴哈定理　△ ABC的九点圆与它的内切圆及三个旁切圆都相切 [1 ] .本文介绍这个定理的一种解析几何证法 .　　　　　证明　在图 1所示的平面直角坐标系中 ,应用△ ABC三顶点坐标及其六心坐标定理 [2 ]有 :图 1A(y - zy zxr,2 xyzy zr) ,内心 I(0 ,r) ,三个旁心　 IA((z-     

三角形面积比的两个性质及应用

三角形面积比的两个性质及应用３２５６００浙江省乐清市育英学校方亚斌４３６５００湖北省黄梅县职业高中方文如图１，设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ分别是ＡＢＣ的三条高线，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为垂足，Ｈ为垂心，因此可得如下两个关于面积比的定理．定理１，证明此处仅证前一式另外二...     

几个初等几何定理的证明

近閱讀叶菲莫夫著高等几何学,發觉其中有几个定理,可作更直接的証明,茲介紹如下(本文所指頁数系俄文原著第三版).     

一类三角形不等式的统一证明

本文通过一个不等式 ,给出一类三角形不等式的统一证明 .定理　△ ABC中 ,BC =a,CA =b,AB= c,记 T1=a b c,T2 =ab bc ca,T3 =abc,则有　　 T3 1- 4 T1T2 9T3 ≥ 0 (1 )　　 T3 1- 4 T1T2 8T3 <0 (2 )证明　在△ ABC中 ,由两边之和大于第三边 ,同时注意到T3 1- 4 T1T2 8T3 =- (a b - c) (b c- a) (c a - b) .则　 T3 1- 4 T1T2 9T3 =- (a b- c) (b c - a) (c a - b) abc.于是　 T3 1- 4 T1T2 8T3 <0 ,此即 (2 )式 .而　 (a b- c) (b c- a) (c a- b)≤ abc,因而　 T3 1- 4 T1T2 9T3 ≥ 0 ,此即 (1 )式 ,于是定…     

利用面积证明三角形全等

<正>我们知道利用三角形的三对边、角相等可证明三角形全等.除此之外,能否把边、角相等条件的其中之一换成面积相等呢?我们一起来探讨一下.首先把三对边、角相等的条件减少为两对,分别可能是两边、两角或者一边一角.1两个三角形两边相等+面积相等如图1所示,△ABC和△DEF中,AB=DE,     

一个几何定理的面积证明

<正>~~     

几个三角恒等式的统一证明

散见于各种刊物上的几个三角恒等式有不同的证法,但其中有的恒等式只见到利用高次方程复数根的知识证明,未曾见过其他证法.本文独辟蹊径,统一利用下面的命题证明,即给出统一证明.……     

三角形线段比中的两个定理及应用

本文首先介绍三角形线段比中的两个有用定理 .定理 1　在△ ABC中 ,E为 BC上一点 ,任作一直线分别交 AB、AE、AC于 P、N、Q,若记 BEEC=λ,则PNNQ=λ.APAB.ACAQ.证明　如图 1所示 ,在△ ABE和△ AEC中 ,由正弦定理可得sinα=BE .sin∠ 1AB ,sinβ =EC .sin∠ 2AC . 图 1∵　∠ 1     

三角形面积比的一个结论

三角形面积比的一个结论刘和安，王文兰（贵州盘县特区教研室５６１６００）（贵州盘县特区一中）定理１在锐角△ＡＢＣ中，ＢＥ、ＣＦ分别是ＡＣ、ＡＢ边上的高，则证明在Ｒｔ△ＡＢＥ中，由（１）、（２）两式相除，得ａｌｌｒｔＡＥＦ９。一四边形＊＊＊Ｆ例１锐角三角...     

三角形中位线定理的多种证明

三角形中位线定理是初中几何重要的结论,为解题提供了线段的位置与长度关系.教材中对该定理的证明耐人寻味——通过辅助线,将三角形转化为平行四边形,再运用平行四边形的性质进行证明.这样的辅助线,与以前的“将四边形转化为三角形”完全不一样,进一步丰富了学生对转化思想更深层次的认识,也完善了对辅助线作法的认知.基于八年级学生的基础,本文中给出了其他几种解法,以培养学生的理性思考能力,提高学生的数学素养.     

统一代数替换法证明三角形不等式

多年来,笔者一直在探求三角形不等式的证明技巧及其规律性。这里的三角形不等式,是指包含三角形的边、角、高(h_a、h_b、h_c)、中线(m_a、m_b、m_c)、角平分线长(t_a、t_b、t_c)、半周长(s)、内切圆半径(r)、外接圆半径(R)、旁切圆半径(r_a、r_b、r_c)、或面积(S_A)的不等式。     

三角形与其内外莫莱三角形面积比的最小值

20世纪初，著名的数学家富兰克&#183;莫莱发现： 性质1将任意三角形各角三等分，则每两个角的相邻三等分线交点构成正三角形的顶点，此三角形称作内莫莱三角形．     

几个著名定理的向量法证明

1　梅涅劳斯定理及其逆定理设直线PR分别交△ABC三边AB ,BC ,CA(或延长线)于R ,P ,Q ,求证:|AR||RB| ·|BP||PC| ·|CQ||QA| =1图1　三角形证　设|BP||PC| =m ,|AR||RB| =q ,|CQ||QA| =n ,则PC→=11 -mBC→,CQ→=nn + 1 CA→,AR→=q1 +qAB→,QA→=1n + 1 CA→,∴PQ→=PC→+CQ→=11 -mBC→+ nn + 1 CA→,　QR→=QA→+AR→=1n + 1 CA→+ q1 +qAB→.因为P ,Q ,R三点共线,所以存在实数λ使得PQ→=λQR→.即11 -mBC→+ nn + 1 CA→=λ( 1n + 1 CA→+q1 +qAB→) =λ[1n + 1 CA→+ q1 +q(AC→+CB→) ]=( λn…     

三角形广义正弦定理的统一形式

文 [1 ]、[2 ]分别类似于三角形的正弦定理 ,给出了一系列等式 ,并分别称之为“类正弦定理”和“广义正弦定理” .本文试就一般情形 ,利用正弦定理给出了三角形广义正弦定理 (或类正弦定理 )的统一形式 ,作为其特殊情况 ,我们得到了文 [1 ]、[2 ]中的主要结果 .定理　在△ＡＢＣ中 ,设Ａ′、Ｂ′、Ｃ′分别为边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的点 ,△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ ,λ1、λ2 、λ3∈ [0 ,1 ],则有ＡＡ′ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｓｃ(λ1Ａ +Ｂ) =ＢＢ′ｓｉｎＣｓｉｎＡｃｓｃ(λ2 Ｂ +Ｃ)= ＣＣ′ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｓｃ(λ3Ｃ +Ａ) =2Ｒ (1 )或…