Numerical solution of integro-differential and singular integral equations for plate bending problems

Two integral equation formulations for the determination of the vertical displacement and the bending moment around holes in an elastic plate are presented. Each formulation consists of two equations, the first one an integral equation and an integro-differential equation and the second one two singular integral equations. The equations are solved using B-splines as approximations to the unknowns and the method is applied to the case of one elliptic hole in a twisted plate.

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Zusammenfassung Zwei verschiedene Integralgleichungssysteme für die Bestimmung von die Durchbiegung und die Biegemoment in einer gelochten elastischen Platte werden entwickelt. Die eine Systeme besteht von einer Integralgleichung und einer Integro-Differentialgleichung und die andere von zwei singulären Integralgleichungen von Cauchy'schen Typus. Bei der Auflösung der Systeme werden die unbekannten mit Hilfe B-splines ausgedrückt. Beide Systeme werden benutzt in dem Fall von einer elliptischen Loch in einer uendlichen, tordierten Platte.

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An abbreviated version of this paper was included in a paper Integral equation solutions to mechanical problems. A review and an application to plate theory which will appear in the Proceedings from second national congress of theoretical and applied mechanics, Druzba, Bulgaria, 1973.     

Kritische Drehzahlen und Biegeschwingungen kontinuierlich besetzter Wellen bei verschiedenen Lagerungen

Zusammenfassung Für eine gleichmäßig kontinuierlich besetzte Welle konstanter Biegesteifigkeit werden die kritischen Drehzahlen des synchronen Gleich- und Gegenlaufs und die Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen berechnet, und zwar für vier verschiedene Lagerungsarten (fliegend gelagerte Welle; zweifach kugelig gelagert; ein Wellenende eingespannt, das andere kugelig gelagert: zweifach eingespannt). Die genauen Ergebnisse für die Grundfrequenz bis einschließlich der dritten Oberfrequenz sind graphisch dargestellt und lassen den Einfluß der Trägheitsmomente und der Lagerungsart erkennen. Für die höheren Frequenzen werden Näherungsformeln mitgeteilt, so daß das gesamte Frequenzspektrum erfaßt wird.Vorliegende Arbeit entstand auf Anregung von Prof. Dr. H. Neuber, Lehrstuhl für Technische Mechanik der Technischen Hochschule München.     

Stress analysis of cemented lap joints

Summary The stress distribution of the thick plate containing a thin adhesive layer is investigated under arbitrarily distributed loads applied along the edges. Direct stress _x acting in the plate is assumed to be of the form , and the fundamental equations governing the plate are introduced using the variational principle of complementary energy. Lap joint is analysed by this method and the results are compared with those obtained by Goland and Reissner. From the results of the theoretical analysis, it became evident that a more accurate solution can easily be obtained by the present method, and that the effect of adhesive layer to tearing stress is considerably large.

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Spannungsanalyse für geklebte Laschenverbindungen

Übersicht Untersucht wird die Spannungsverteilung in einer dicken Platte, die eine dünne Klebeschicht enthält und längs der Ränder durch beliebig verteilte Randspannungen beansprucht wird. Für die Normal-Spannung _x in Dickenrichtung wird ein Ansatz der Form eingeführt. Mit Hilfe des Variationsprinzips für die Komplementärenergie werden die grundlegenden Gleichungen für die Platte hergeleitet. Nach dieser Methode werden Laschenverbindungen untersucht und die Ergebnisse mit solchen von Goland und Reissner verglichen. Es zeigt sich, daß mit der hiesigen Methode genauere Ergebnisse gewonnen werden und der Einfluß der Klebeschicht auf die Zugspannung in der Klebfuge bemerkenswert groß ist.

     

Relations between loss angles in isotropic linear viscoelastic materials

Summary Starting from the relations between complex dynamic moduli simple diagrams are deduced connecting the locus of complex Poisson's ratiov ^* v +iv in the complexv ^* plane with differences between various loss angles. From these diagrams the sequence of magnitudes of several loss angles appearing in linear viscoelastic theory is deduced. Although theoretically this sequence depends on the values ofv andv, it is found experimentally that for polymeric materials, due to the fact that the values ofv andv are constrained to limited ranges, general rules can be given. The sequences deduced are compared with experimental data. Finally some relations are used to illustrate the phase relationships between stress and deformations in an uniaxial stress experiment. From these relations a new method for measuring the loss angle in compression is suggested.

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Zusammenfassung Mit Hilfe der Beziehungen zwischen komplexen dynamischen Moduln wurden einfache Diagramme konstruiert, in denen der geometrische Ort des komplexen Poisson-Verhältnissesv ^* v +iv in der komplexenv ^*-Ebene mit Differenzen zwischen verschiedenen Verlustwinkeln verbunden werden. Aus diesen Diagrammen kann auf die Reihenfolge der Größe mehrerer in der linearen viskoelastischen Theorie auftretender Verlustwinkel gefolgert werden. Obwohl diese Reihenfolge theoretisch von den Werten vonv undv abhängig ist, wird experimentell gefunden, daß für polymere Substanzen allgemeine Regeln gegeben werden können. Dies findet seine Ursache in der Tatsache, daß die Werte vonv undv auf begrenzte Gebiete beschränkt sind. Zum Schluß werden für einen einachsigen Spannungsversuch die Phasenbeziehungen zwischen den Spannungen und den Verformungen illustriert. Mit Hilfe dieser Phasenbeziehungen wird eine neue Methode für die Messung des Verlustwinkels in Kompression vorgeschlagen.

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Part of this study was performed while the author was an employee of TNO, Delft.

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With 16 figures and 1 table     

Über gesteuerte Anheizvorgänge bei Zylindern

Zusammenfassung Ziel der Arbeit war die Untersuchung des Einflusses der endlichen Zylinderlänge und der Wärmeübergangszahl auf die Temperaturverteilung in Vollzylindern bei gesteuerten Anheizvorgängen. Fragen dieser Art kommen z. B. in der Meßtechnik (Einfluß der Gestalt eines Thermometerkörpers auf die Temperaturmessung, Untersuchungen von Erden und dgl. mittels Differentialthermoanalyse) und in der Reaktortechnik vor.Von der Temperatur des den Zylinder umgebenden Mediums wird angenommen, daß sie nur von der Zeit t abgängt. Die Zylinderanfangstemperatur habe in allen Punkten den gleichen Wert. Für die Mittelebene des Zylinders wird gezeigt, daß die Lösung des dreidimensionalen Problems bei wachsender Zylinderlänge gleichmäßig in t gegen die Lösung des ebenen Problems konvergiert.In den Fällen konstanter Umgebungstemperatur und zeitlich linearer Außenraumaufheizung werden für verschiedene Kombinationen der Parameter / r ₀ und die Temperaturkurven für den Zylindermittelpunkt erstellt und die relativen Abweichungen dieser Temperaturkurven der Zylinder endlicher Länge von denen des beidseitig unendlich langen Zylinders errechnet.Aus den Temperaturkurven für verschiedene / r ₀ bei festem ist der Einfluß der Wärmeübergangszahl erkennbar, aus den Tabellen der Abweichungen die kleinsten Werte von , für die bei gegebener zulässiger Abweichung und gegebenem / r ₀ die Aufgabe als ebenes Problem behandelt werden darf.Für den Fall =1 bei konstanter Außenraumtemperatur wird gezeigt, daß sich die dem Zylinder einbeschriebene Kugel bezüglich der Erwärmung zunächst viel weniger träge verhält als der Zylinder, daß jedoch alsbald die Abweichungen gering werden.Auszug aus der gleichnamigen, von der Fakultät für Natur- und Geisteswissenschaften der Bergakademie Clausthal genehmigten Dissertation des Verfassers; Referent: Prof. Dr. phil. H. König, Korreferent: Prof. Dr. rer. nat. H. Menzel.     

Numerical study of liquid film cooling along an inclined plate

A numerical method of analyzing liquid film cooling along an inclined plate is presented. A marching procedure is employed for solution of the equations of mass, momentum, energy and concentration in the flow. Results for heat and mass transfer characteristics are presented for air-water system. The effects of the inclined angle , free-stream temperatureT , free-stream velocityu , and inlet film thickness on the heat and mass transfer along the gasliquid interface are examined in detail. Results show that an increase in free-stream temperature and velocity causes an increase in interfacial temperature while an increase in inclined angle and inlet film thickness causes a reduction in interfacial temperature. Additionally, the predicted results with the transport in the liquid film treated are contrasted with those with the transport in the liquid film untreated, showing that the assumption of an extremely thin film is inappropriate for a larger .

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Numerische Untersuchung der Flüssigfilm-Kühlung entalang einer geeigneten Platte

Zusammenfassung Es wird eine numerische Methode zur Untersuchung der Flüssigfilm-Kühlung entlang einer geneigten Platte vorgestellt. Die Lösung der Bilanzgleichung für Masse, Impuls, Energie und Konzentration in der Strömung erfolgt mit Hilfe eines expliziten Verfahrens. Ergebnisse für das Wärme- und Stoffaustauschverhalten werden bezüglich des Systems Luft — Wasser mitgeteilt. Im einzelnen befaßt sich die Untersuchung mit der Ermittlung des Einflusses von Neigungswinkel , FreistrometemperaturT , Freistromgeschwindigkeitu und Eintrittsfilmdicke auf den Wärme- und Stoffübergang entlang der Gas-Flüssigkeitsgrenzfläche. Die Ergebnisse zeigen eine Abnahme der Grenzflächentemperatur bei ansteigender Freistromtemperatur und -geschwindigkeit und eine Erhöhung, wenn Neigungswinkel und Eintrittsfilmdicke zunehmen. Zusätzlich folgt aus den Berechnungen, daß bei größeren Filmdicken die Annahme eines extrem dünnen Films unter Vernachlässigun g der vollständigen Transportmechanismen im Flüssigkeitsfilm zu falschen Ergebnissen führt.

     

Lösungen und Schmelzen von Hochpolymeren

Zusammenfassung Die Modelle der ideal verdünnten Lösung und des unendlichen Netzes (Bueche) werden besprochen; für praktische Fälle werden die Modelle verdünnte Lösung mit Gelteilchen und unendliches Netz mit Verhängungsbereichen vorgeschlagen und diskutiert. Es wird eine Methode angegeben, aus dem Übergangspunkt verdünnte Lösung unendliches Netz den Verknäuelungsparameter Am auszurechnen.Einleitungsvortrag anläßlich der Arbeitstagung der Sektion Rheologie des Vereins Österreichischer Chemiker am 28. September 1965 in Graz.     

Abkühlungscharakteristik einer gut wärmeleitenden Platte,die bei der Bewegung durch ein Fluid gestreckt wird

Zusammenfassung Das Abkühlungsverhalten einer gut wärmeleitenden Platte, die durch ein Fluid bewegt und dabei nach einem beliebigen Potenzgesetz gestreckt wird, wurde untersucht. Der Impulstransport wird dabei durch eine Gleichung beschrieben, die der Falkner-Skan-Gleichung mit einem Parameter für die Dehnung ähnelt. Für das thermische Problem wurden bezüglich des Ortes ähnliche Lösungen gefunden, die sowohl für kleine als auch große Werte des Fließabstandes gültig sind. Die Konvergenz der Reihen für kleine-Werte konnte durch die Euler-Transformation verbessert werden, so daß die Ergebnisse für alle-Werte Gültigkeit haben.

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The cooling of a low heat resistance stretching sheet moving through a fluid

The cooling characteristics of a low-heat-resistance sheet moving through a fluid have been studied for arbitrary power law stretching. The momentum transfer is governed by an equation that resembles the Falkner-Skan equation with stretching as a parameter. For the thermal problem, locally similar solutions have been obtained for small and large values of the streamwise distance. The convergence of low series has been improved by Euler transformation to yield results valid for all values of.

     

Über eine Anwendung der Hillschen Minimalbedingung in der Plastizitätstheorie

Zusammenfassung Auf dem gezeigten Weg wurden die Spannungen _r , , _z berechnet, wobei an Stelle der Veränderlichen r und die dimensionlosen Größen x _i = r _i /, x=r/ und x _a = r/ in die Rechnung eingeführt wurden. Die Funktion (r, ) wurde dann für den Bereich 0,45x_i1,0, 1x_a 2 tabuliert. Hierbei zeigte sich, daß der Rechenaufwand bei der Durchrechnung eines Einzelbeispiels nach der Charakteristikenmethode wesentlich geringer ist. Bei der Anlage von Zahlentafeln zur Berechnung von Spannungen für beliebige Durchmesserverhältnisse ergab sich, daß der aufgezeigte Wege zu geringerem Rechenaufwand führt. Für das Beispiel r _i /r _a=1/2 wurden die Rohraufweitungen bestimmt und diese Werte noch durch praktische Versuche nachgeprüft. Hierbei ergab sich, daß die theoretisch bestimmten Rohraufweitungen in dem Streubereich der gemessenen Rohraufweitungen lagen, wobei Messungen an drei Rohren aus demselben Material und demselben Rohrverhältnis durchgeführt wurden. Insbesondere stimmten die theoretischen Rohraufweitungen auch mit den gemessenen Rohraufweitungen überein, wenn das Rohr entlastet wurde und die Restdeformationen bestimmt wurden.Daraus kann geschlossen werden, daß durch die berücksichtigte lineare Verfestigung die tatsächlichen Verhältnisse außerordentlich gut erfaßt werden.Der sogenannte Platzdruek eines Rohres kann auf rein rechnerischem Weg nicht erfaßt werden, da für =r_a die geometrische Gestalt des Rohres instabil wird. Bei den Versuchen zeigt sich, wenn der Innendruck über p _i ( =r **** _a ) gesteigert wird, daß das Rohr schon bei geringen Überschreitungen aufzubauchen beginnt.Meinem Lehrer Herrn Prof. Dr. Dr. R. Grammel zum 65. Geburtstag gewidmet.     

Endliche Durchbiegungen beliebig eingespannter dünner Kreis- und Kreisringplatten im plastischen Materialbereich

Übersicht Endliche Durchbiegungen rotationssymmetrisch und sonst beliebig eingespannter Kreis- und Kreisringplatten werden untersucht. Die rotationssymmetrische Belastung sei so gewählt, daß in der Platte plastizierte Bereiche entstehen. Bei der Lösung dieses geometrisch und physikalisch nichtlinearen Problems wird eine Hypothese über die nichtlineare Spannungsverteilung postuliert und die Gültigkeit der Huber-Mises-Fließbedingung in den plastizierten Bereichen vorausgesetzt. Die Durchbiegung, die Verzerrungen und die Schnittlasten werden als Funktionen der radialen Laufkoordinate r, der radialen Verschiebung u(r) in der Mittelfläche, des radialen Biegewinkels (r), sowie der Ableitungen du/dr und d/dr bestimmt. Das gewonnene nichtlineare Differentialgleichungssystem ermöglicht die numerische Berechnung von u(r) und (r) für Kreis-und Kreisringplatten unter den genannten Voraussetzungen.

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Summary Large deflections of axial-symmetrically but otherwise arbitrarily supported circular and annular plates are investigated. The loding is axially symmetrical and is extended in such a way that plastic ranges arise in the plate. To solve this geometrically and physically nonlinear problem, a nonlinear stress-hypothesis is assumed and Huber-Mises'yield condition is used. Deflection, stress, strain, membrane forces, and bending moments are determined as functions of the radial coordinate r, of the radial displacement u(r) in the middle-plane, of the radial bending angle (r) and of the derivatives du/dr and d/dr. From the resulting nonlinear system of two nonlinear differential equations numerical evaluations of u(r) and (r) for circular or annular plates under the above, mentioned conditions are obtained.

     

Walztheorie eines rheologischen Materials

Übersicht Für das Bandwalzen eines Bingham-Materials wird eine elementare Theorie entwickelt, die aus einer gemeinsamen Verallgemeinerung der Siebel-v. Karmanschen elementaren Walztheorie eines starridealplastischen Werkstoffes und der Sommerfeldschen Schmiermitteltheorie entsteht. Innerhalb des Walzspaltes fallen die Ergebnisse weitgehend mit denen der Bücheschen Theorie des Walzens von Pasten zusammen, jedoch ergeben sich zusätzliche Informationen über die Druckverteilung. Ferner werden die Übergangszonen zwischen dem Walzspalt und dem starren Band vor und hinter ihm berechnet. Für ein Newtonsches Fluid (ohne Fließgrenze) gibt es keinen stationären Zustand. Hier deuten die Ergebnisse vielmehr einen zunehmenden Aufstau des Materials an, der — wie aus Experimenten bekannt — ia den sog. Knet-Wirbel umschlägt. Im übrigen liefert die Theorie einen monotonen Dickenverlauf des Bandes am Ein- bzw. Auslauf zum und vom Walzspalt.

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Rolling theory of a rheological material

Summary An elementary theory is developed for the strip rolling process of a Bingham material, based on a generalisation of the Siebel-v. Karman elementary rolling theory for rigid-ideally plastic material together with Sommerfeld's lubrication theory. Inside the rolling gap the results coincide fairly well with those obtained from Büche's rolling theory for pastes though even then additional information is found regarding the pressure distribution. Moreover the transition zones are investigated, between the rolling gap and the rigid strip before and behind it. It is shown that for a Newtonian fluid no stationary state exists. Instead the material must be expected to pile up increasingly (and, as it is known from experiments, finally to form the so-called moulding vortex). Otherwise the theory yields monotonically shaped regimes of transition.

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Die Autoren danken der Stiftung Volkswagenwerk für die Förderung der Untersuchung im Rahmen des Vorhabens 112375, der erste Autor auch der Japan Society for Promotion of Science für das Forschungsstipendiuni, während dessen die Arbeit beendet wurde. Herrn Dipl.-Phys. H. Meyer gilt Dank für Rat und Unterstützung     

Schwere symmetrische Kreisel kleiner Nutationen

Zusammenfassung Zur Integration der Eulerschen Bewegungsgleichungen schwerer symmetrischer Kreisel werden der Winkel (t) (Abb. 1) durch (t)=₀+(t) ersetzt und in sämtlichen Reihenentwicklungen von abhängiger Funktionen die Potenzen höheren als zweiten Grades vernachlässigt. Dadurch ist es möglich, die Eulerschen Winkel (t), (t) und (t) durch elementare Formeln zu beschreiben und somit sind die wesentlichsten Erscheinungen im Bewegungsablauf der schweren symmetrischen Kreisel einfach zu übersehen.     

Berechnung der Leitung und Strahlung bei der Filmverdampfung an der ebenen Platte

Zusammenfassung Bromley [1] hat den Einfluß der Strahlung auf den effektiven Beitrag der Leitung durch ein vereinfachtes Modell berücksichtigt, das von einer einheitlichen Filmdicke ausgeht.In dieser Arbeit werden unter Berücksichtigung einer örtlich veränderlichen Filmdicke eine implizite Gleichung und explizite Näherungen für den kombinierten Wärmeübergangskoeffizienten hergeleitet. Die Gleichungen liefern geringfügig höhere Koeffizienten als die Näherung von Bromley.

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Calculation of conduction and radiation with film boiling from a flat plate

Bromley [1] estimated the effect of radiation on the effective contribution of conduction using a simplified model with a uniform film thickness.In this paper an implicit equation and explicit approximations for the combined heat transfer coefficient are derived taking the local variation of film thickness into account. The equations yield slightly higher coefficients than Bromley's approach.

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Bezeichnungen a Ersatzvariable, Gl. (12) - B Breite der Platte - b Ersatzvariable, Gln. (17) u. (20) - C Konstante - g Erdbeschleunigung; bei geneigter Platte Komponente der Erdbeschleunigung parallel zur Platte - h Verdampfungsenthalpie - H Höhe der Platte - I Ersatzvariable; bestimmtes Integral Gl.(7) - m örtlicher Dampfmengenstrom - T Temperatur - x Substitutionsvariable, Gl.(l4) - z Koordinate in Strömungsrichtung des Dampfes - Wärmeübergangskoeffizient - Endliche Differenz - örtliche Filmdicke - Wärmeleitfähigkeit des Dampfes - kinematische Viskosität des Dampfes - Dichte Indices D Dampf - F Flüssigkeit - H nach dem Strömungsweg H, am oberen Ende der Platte - L Leitung - S Strahlung - s Sättigung - w Wand - z abhängig von z     

Deformationsbeständige,elastische und Relaxations-Eigenschaften der flüssigplastischen kolloiden Systeme

Zusammenfassung Es wurde gezeigt, daß es zweckmäßig ist, die strukturierten kolloiden Systeme in fest-plastische und flüssig-plastische Systeme einzuteilen, weil beide Systeme einen übereinstimmenden Eigenschaftskomplex aufweisen, sich jedoch quantitativ durch die RelaxationszeitenP >P _k im Schubspannungsbereich unterhalb der unteren FließgrenzeP < P _k unterscheiden. Es wurde darauf hingewiesen, daß für beide Systeme die Spannungsdeformationskurven sehr charakteristisch sind.Die Kurven werden unter der Bedingung der konstanten Deformationsgeschwindigkeit erhalten, wobei ihre Form von der gegenseitigen Beziehung von und abhängt und mit den Strukturelementetypen, die durch und _i charakterisiert sind, im Zusammenhang stehen.Die Methoden,die zur Messung der elastischen Deformation im breiten Bereich längs der KurveP () bei sowohl kleiner als auch größer _r entsprechend der kritischen SchubspannungP _r angewandt werden können, wurden entwickelt. Dabei wurde gezeigt, daß die Kurveine() durch das Maximum bei _m hindurchgeht.Der Einfluß von auf die kritische Deformation _r der Strukturzerstörung und auf die maximale Rückfederung _e max, die ihrerseits wiederum von der Gelkonzentration abhängen, wurde eingehend untersucht.Es wurden die Zahlenwerte der Grenzviskosität der Nachwirkung bestimmt und die Abhängigkeit der Geschwindigkeit (der Zeit) der Relaxation der elastischen Deformation von der gesamten und der elastischen Deformation ermittelt.Weiter wurde gezeigt, daß die größte elastische Deformation _e max des Systems größer als die kritische Deformation _r der Strukturzerstörung, die dem Maximum der kritischen Schubspannung der Struktur entspricht, sein kann.     

Die Elastizität von Flüssigkeiten

Zusammenfassung Ausgehend von einer Suspension elastischer Hanteln bzw. kettenförmiger Teilchenaggregate als dem einfachen Modell einer viskoelastischen Flüssigkeit werden auf induktivem Wege rheologische Stoffgleichungen abgeleitet, in denen das Konzept des elastischen Dehnungsanteils (recoverable strain) eingearbeitet ist und die als nicht-lineare Erweiterung des sog. verallgemeinertenMaxwell-Modells aufgefaßt werden können. In ihnen wird die Flüssigkeit durch eine Folge ineinander verschachtelter Kontinuas gekennzeichnet, denen je ein Elastizitätsgesetz zugeordnet ist. Die Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Beweglichkeit der Strukturelemente bedingt, daß das Verhalten der so dargestellten Flüssigkeiten im allgemeinen von dem einerWeissenberg-Flüssigkeit abweicht.Habilitationsvortrag, gehalten am 5. Februar 1965 vor der Fakultät für Mathematik und Physik der Technischen Hochschule Darmstadt.     

Der Spannungs- und Verschiebungszustand drehsymmetrischer Membrane mit beliebig gekrümmter Meridiankurve

Zusammenfassung Die Einführung von Zylinderkoordinaten (x, r, ) in die Gleichgewichtsbedingungen der Schnittkräfte bzw. in die Beziehungen zwischen Verzerrung und Verschiebungen am differentialen Schalenabschnitt ermöglicht die Berechnung des Spannungs- und Verschiebungszustandes von drehsymmetrischen Membranen mit beliebig gekrümmter Meridiankurve auf die Integration einer einfachen, linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine charakteristische FunktionF bzw. zurückzuführen. Eine geschlossene Lösung und damit eine Darstellung der Schnittkräfte und Verschiebungen durch explizite Formeln ist bei harmonischer Belastung cosn für zwei Funktionsgruppen=x ² und=x ^–3 möglich. Im Sonderfall der drehsymmetrischen und der antimetrischen Belastung mitn=0 undn=1 gelten die Gleichungen der Schnitt- und Verschiebungsgrößen für eine beliebige Meridianfunktion=(). Die Betrachtungen der Randbedingungen offener Schalen bei harmonischer Belastung geben über die infinitesimalen Deformationen einer drehsymmetrischen Membran mit überall negativer Krümmung Aufschluß.     

Beitrag zur Auswertung von Anlauf-Vorgängen in viskoelastischen Flüssigkeiten

Zusammenfassung In diesem Bericht wird die Kraftübertragung zwischen zwei unbegrenzt ausgedehnten und durch eineMaxwell-Flüssigkeit gekoppelten Platten bei beliebigem Zeitgesetz der Bewegung der oberen auf die elastisch aufgehängte untere Platte unter Einbeziehung der Trägheit von unterer Platte undMaxwell-Flüssigkeit berechnet.Diese Fragestellung führt mathematisch auf ein Randwertproblem, dessen eine Randbedingung die Form ³ u/x ² y + ₁ u + ₁ u/y – ₂ ² u/xy = 0 fürx = 0 annimmt, also gemischte Ableitungen nach 2 unabhängigen Veränderlichen enthält.Es wird gezeigt, daß sich die Lösung als unendliche Reihe darstellen läßt, deren 1. Glied aus abklingenden Exponentialfunktionen, alle weiteren hingegen aus gedämpften Schwingungen bestehen.Als spezielle Zeitgesetze für die obere Platte werden die impulsförmige Erregung, die zeitproportionale und die periodische Bewegung untersucht.Es wird abgeleitet, wie sich die Kenngrößen undG (Viskosität und Schubmodul) aus Eigenfrequenz und Dämpfung bzw. aus den beiden Exponenten dere-Funktionen in den beiden ersten Fällen berechnen lassen. Bei periodischer Beanspruchung werden undG aus der Resonanzfrequenz und der Halbwertbreite bzw. dem Phasenwinkel ermittelt.Abschließend wird gezeigt, daß und wie ein Rotationsviskosimeter auf den behandelten Fall ebener Platten zurückgeführt werden kann.

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Summary In this report the force transmission between two infinitely extended plates coupled by aMaxwell-Fluid is calculated. In this calculation the inertia of the fluid and the influence of the elastically suspended lower plate is included, while the upper plate can perform any time-dependent movement.Mathematically this question leads to a boundery value problem; one boundery condition has the form ³ u/ ² y + ₁ u + ₁ u/y – ₂ ² u/xy = 0 (x = 0) ( ₁, ₂, = constant), that means it contains mixed differential-quotients of two independent variables.The solution is demonstrated as an infinite series, the form of the first term is of two negative exponential functions, all the other terms are damped oscillations.The excitation from a single pulse, the uniform timeproportional and the periodic movement as timedependent laws for the upper plate are analysed.The values of andG (viscosity and shear modulus) are derived from eigenfrequency and damping-constant respectively from the values of the two exponentials. In the periodic case andG are calculated from the resonance frequency and halfwidth or phase-angle respectively.Finally the conditions of the rotation-viscometer are reduced to the case of parallel-plate-viscometer.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen vom 7.–9. Mai 1973 in Berlin.

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Mit 6 Abbildungen und 1 Tabelle     

Die Beschleunigungsänderung

Zusammenfassung Es wurden für die Beschleunigungsänderung oder den Ruck =db/dt unter Beschränkung auf die ebene Bewegung bei der Zweikurvenführung (Satz von Euler) und bei der Relativbewegung Formeln und Sätze aufgestellt, ferner wurde der Zustand der bewegten Ebene hinsichtlich des Ruckes in Erweiterung des Beschleunigungszustandes untersucht und auf weitere geometrische Örter hingewiesen. Die Beispiele dienten zur Erläuterung, vor allem aber zur Ermittlung der Extrema der Beschleunigungen in Getrieben. Da die Zeichenarbeit zur Ermittlung der Beschleunigungen selbst schon größer ist als die zur Geschwindigkeitsbestimmung, nimmt es nicht wunder, daß diese Arbeit bei dem Ruck als der zweiten Ableitung der Geschwindigkeit noch wächst — Differentiieren rauht auf; aber die erforderlichen Konstruktionen benötigt man nur in wenigen Stellungen, und sie führen schnell zum Ziel.     

Die Analogie zwischen den Verschiebungen und den Spannungsfunktionen in der Biegetheorie der Kreiszylinderschale

Zusammenfassung Für die Kreiszylinderschale wurde eine Biegetheorie aufgestellt, in der die Gleichgewichtsbedingungen (unter Voraussetzung der Symmetrie des Momententensors M _ik ) durch drei Spannungsfunktionen ₁, ₂, ₃ exakt erfüllt sind. Bei der Definition der Deformationsgrößen und der Einführung der Elastizitätsgesetze war die Reißner-Meißnersche Theorie der symmetrisch belasteten Rotationsschale das Vorbild. Die drei Differentialgleichungen für die Verschiebungen _{1 2}, ₃ unterscheiden sich von den drei Differentialgleichungen für die Spannungsfunktionen ₁, ₂, ₃ formal nur im Vorzeichen der Poissonschen Querkontraktionsziffer v. Die beiden Differentialgleichungen achter Ordnung, die man nach Eliminationsprozessen sowohl für ₃ als auch für ₃ erhält, unterscheiden sich nicht mehr voneinander. So trifft man bei der Zylinderschale die Timpe-Wieghardtsche Analogie zwischen Durchbiegung ₃ der Platte und Airyscher Spannungsfunktion ₃ der Scheibe wieder.Es konnte ferner gezeigt werden, daß unsere neue Biegetheorie der bekannten Flüggeschen Theorie an Genauigkeit nicht nachsteht.Es ist wohl nicht zu bezweifeln, daß auch bei Schalen beliebiger Gestalt unsere Analogie vorhanden ist. Sie scheint uns wertvoll als Ordnungsprinzip inmitten der Fülle von Gleichungen, die nun einmal zu einer Schalentheorie gehören.Die Formulierung des Schalenproblems mit Hilfe der drei Spannungsfunktionen ₁, ₂, ₃ wird sich immer dann empfehlen, wenn die Randbelastung vorgegeben ist. Denn dann lassen sich die Randbedingungen in den Spannungsfunktionen übersichtlicher formulieren als in den Verschiebungen. Auch die Gewißheit, daß selbst durch radikales Streichen lästiger Glieder in den Differentialgleichungen der Spannungsfunktionen die Gleichgewichtsbedingungen nicht verletzt werden, mag manchem Rechner angenehm sein.     

Ausgebildete turbulente Rohrströmung für sehr große Reynoldszahlen Das Prinzip von Hamilton

Zusammenfassung Auf ein Newtonsches Fluid wird für die üblichen Annahmen bezüglich der Stoffwerte u. a. m. basierend auf den Schubspannungsansätzen von Boussinesq und Prandtl (mit dem mittleren Mischungsweg) das Hamiltonsche Prinzip angewendet. Dabei wird die Summe aus kinetischer Energie (entsprechend der Axialkomponente der Geschwindigkeit) und Druckverlustenergie (Reibung) zum Minimum. Die Rechnung zeigt, daß der von der radialen Schwankungsgeschwindigkeit herrührende Anteil an kinetischer Energie vernachlässigbar ist. Die Rechnungsergebnisse stimmen gut mit den experimentellen überein. Es ist somit gelungen, mit dem Prinzip von Hamilton sowohl den Widerstandsbeiwert als auch das Geschwindigkeitsprofil bei sehr großen Reynoldszahlen für eine ausgebildete Strömung in einem geraden Rohr-ohne Zuhilfenahme jeglicher Versuchskonstantenrein rechnerisch zu bestimmen.

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Fully developed turbulent flow with very high Reynolds-numbers in tubes Hamilton's principle

Hamilton's principle is applied to a Newtonian fluid under customary assumptions regarding properties etc. based on stress theories by Boussinesq and Prandtl (with an average mixing length). The sum of kinetic energy (corresponding to the axial velocity component) and energy from pressure drop (friction) turns to a minimum in this procedure. It is shown that the component of kinetic energy resulting from the radial fluctuation velocity can be neglected. Theoretical results agree well with experimental. Thus, using Hamilton's principle, it is possible to predict, strictly mathematical, both the friction factor and the velocity profile for very high Reynolds-numbers in fully developed flow in straight tubes without introducing any experimental constants.

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Bezeichnungen D Innendurchmesser des Rohres - h Turbulenzfunktion - L_s, _s=L_s/D Prandtlscher mittlerer Mischungsweg bzw. sein normierter Wert - Ap Druckverlust, entsprechend einer Länge des Rohres L=D - r, x Radius bzw. Rohrwandabstand (laufende Werte) - Re=¯wD/v Reynoldszahl - w, ¯w Geschwindigkeit am Ort x und mittlere Geschwindigkeit über den gesamten Rohrquerschnitt - Widerstandsbeiwert - , v=/, dynamische, kinematische Zähigkeit und Dichte des Fluids - k Korrekturfaktor für die kinetische Energie einer Rohrströmung - =x/D, _g=X_g/D normierter laufender Wandabstand und der auf die Grenzfläche zwischen der laminaren Unterschicht und dem turbulenten Kern bezogene Wert - , ₀, Schubspannungen: an der Stelle x, an der Wand bzw. die dem Newtonschen Ansatz entsprechende - =w/¯w mit der mittleren Geschwindigkeit normierte Geschwindigkeit an der Stelle x Prof. Dr.-Ing. U. Grigull zum 60. Geburtstag.