具有与任意图正交的(g,f)-因子分解的子图

设ｇ和ｆ分别是定义在图Ｇ的顶点集合Ｖ（Ｇ）上的整数位函数且对每个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有０≤ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）．证明了：若Ｇ是一个（ｍｇ＋ｋ,ｍｆ－ｋ）－图,１≤ｋ＜ｍ,Ｈ是Ｇ中一个给定的有ｋ条边的子图,则Ｇ有一个子图Ｌ使得Ｌ有一个（ｇ,ｆ）－因子分解与Ｈ正交．     

图的(g,f)-因子分解

设Ｇ是一个图，ｇ（ｘ）和ｆ（ｘ）是定义在图Ｇ的顶点集上的两个整数值函数且ｇ≤ｆ．图Ｇ的一个（ｇ，ｆ）－因子是Ｇ的一个支撑子图Ｆ使对任意的ｘ∈Ｖ（Ｆ），有ｇ（ｘ）≤ｄＦ（ｘ）≤ｆ（ｘ）．如果图Ｇ的边集能划分为若干个边不相交的（ｇ，ｆ）－因子，则说图Ｇ是（ｇ，ｆ）－可因子化的．本文研究了图的（ｇ，ｆ）－可因子化的问题，给出了一个图Ｇ是（ｇ，ｆ）－可因子化的若干充分条件．     

图中具有某种性质的子图

设ｇ和ｆ是定义在图Ｇ的顶点集合Ｖ（Ｇ）上的整数值函数且对每个ｘ∈Ｖ（Ｇ）都有０≤ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）且ｇ（ｘ）和ｆ（ｘ）为偶数。本文证明了：若Ｇ是一个（ｍｇ＋ｋ－１,ｍｆ－ｋ＋１）－图,１≤ｋ≤ｍ,Ｈ是Ｇ中一个给定的有ｋ条边的子图,则Ｇ存在一个子图Ｒ使得Ｒ有一个（ｇ,ｆ）－因子分解与Ｈ正交。     

图的（g，f）－因子和因子分解

设Ｇ是一个图，ｇ，ｆ是定义在图Ｇ的顶点集上的两个整数值函数且图Ｇ的一个（ｇ，ｆ）－因子是Ｇ的一个支撑子图Ｆ使对任意的ｘ∈Ｖ（Ｆ）有本文给出了一个图（ｇ，ｆ）－可因子化的若干充分条件和一个图是（ｇ，ｆ）－消去图的充分必要条件，并研究了这些条件的应用。     

图的（g，f）－因子和因子分解

设Ｇ是一个图，ｇ，ｆ是定义在图Ｇ的顶点集上的两个整数值函数且图Ｇ的一个（ｇ，ｆ）－因子是Ｇ的一个支撑子图Ｆ使对任意的ｘ∈Ｖ（Ｆ）有本文给出了一个图（ｇ，ｆ）－可因子化的若干充分条件和一个图是（ｇ，ｆ）－消去图的充分必要条件，并研究了这些条件的应用。     

新题征展(3)

题组新编１．（１）设Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝０｝、Ｎ＝｛ｘ｜ｇ（ｘ）＝０｝,则｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝为（　　）;（Ａ）Ｍ　（Ｂ）Ｎ　（Ｃ）Ｍ∪Ｎ　（Ｄ）以上都不对（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ＋３,ｇ（ｘ）＝ｘ＋３ｘ－１,则集合｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝＝　　;（３）设函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的定义域依次是Ｆ、Ｇ,且Ｍ＝｛ｘ｜ｆ（ｘ）＝０｝、Ｎ＝｛ｘ｜ｇ（ｘ）＝０｝,则｛ｘ｜ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝０｝＝　　．２．（１）设ｍ、ｋ∈Ｎ,则Ｃｎｎ＋Ｃｎｎ＋１＋Ｃｎｎ＋２＋…＋Ｃｎｎ＋ｋ＝　　;（２）求…     

图的分数κ-因子

给定图Ｇ＝（Ｖ,Ｅ）．设ａ和ｂ是两个非负整数．是一个函数．如果对所有的均成立,称 ｆ为 Ｇ的一个分数［ａ,ｂ］－ 因子． ａ＝ ｂ＝ κ时,称ｆ为 Ｇ的一个分数 ｋ＝因子．本文给出了一个图有分数 ｋ－因子的充分必要条件．     

图的（g＜f）－因子

设Ｇ是一个图，ｇ和ｆ是定义在图Ｇ的顶点集上的两个整数值函数且ｇ＜ｆ．本文给出了过图的每条边有一个（ｇ，ｆ）－因子的新的简单的判断准则，并研究了它的应用。从而得到了一些关于图有（ｇ，ｆ）－因子的新的充分条件，推广了若干已有的结果．     

（mg＋m—1,mf—m＋1）—图的（g,f）—因子

本文证明了（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）－图具有一些特殊的（ｇ,ｆ）－因子,从而推广到了关于（ｇ,ｆ）－覆盖图和（ｇ,ｆ）－消去图的有关结果,有助于进一步研究（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）－图的正交因子分解问题。     

图中的最大分数(0,f)-因子

本语文给出了图的一个（０,ｆ）因子是最大因子的特征,并得到了一个图有（ｇ,ｆ）－因子的充分条件,从而了关于分数对集和１－因子的有关结果。     

(I,K)-(m,n)-内射环

引入了(I,K)-(m,n)-内射环的概念,给出了(I,K)-(m,n)-内射环的等价刻划.讨论了(I,K)-(m,n)-内射环与(I,K)-(m,1)-内射环之间的关系及左(I,K)-(m,n)-内射环和右(I,K)-(m,n)-内射环的关系.证明了R是右(I,K)-(m,n)-内射环当且仅当如果z=(m1,m2,…,mn)∈Kn且A∈Im×n,rR(A)∈rRn(z),则存在y∈Km,使得z=yA推广了已知的相关结论.     

随机（m，r）-正交的（g，f）-可因子化图

引入(m，r)-正交(g，f)-因子分解的概念，证明了若G是(mg (m-1)r，mf-(m-1)r)-图，则(i)当g≥r时．G是随机(m，r)-正交的(g，f)-可因子化图；(ii)对G的任一有mr条边的星H，G的(g，f)因子分解与H随机(m，r)-正交。     

(n,d)-Injective covers,n-coherent rings,and (n,d)-rings

It is known that a ring R is left Noetherian if and only if every left R-module has an injective (pre)cover. We show that (1) if R is a right n-coherent ring, then every right R-module has an (n, d)-injective (pre)cover; (2) if R is a ring such that every (n, 0)-injective right R-module is n-pure extending, and if every right R-module has an (n, 0)-injective cover, then R is right n-coherent. As applications of these results, we give some characterizations of (n, d)-rings, von Neumann regular rings and semisimple rings.     

（mg,mf）—图中具有特殊性质的（g,f）—因子

本文给出了一类带有边连通度限制的（ｍｇ,ｍｆ）－图有一个（ｇ,ｆ）因子含任一给定的边且不含其它任意给定的ｍ－１条边的一个充分必要条件,并使（１）中结果成为本文定理的推论。     

(H,R)-Lie coalgebras and (H,R)-Lie bialgebras

Given an (H,R)-Lie coalgebra Γ, we construct (H,R _T )-Lie coalgebra Γ^T through a right cocycle T, where (H,R) is a triangular Hopf algebra, and prove that there exists a bijection between the set of (H,R)-Lie coalgebras and the set of ordinary Lie coalgebras. We also show that if (L, [, ], Δ, R) is an (H,R)-Lie bialgebra of an ordinary Lie algebra then (L ^T , [, ], Δ_T, R _T ) is an (H,R _T )-Lie bialgebra of an ordinary Lie algebra.     

(v,k, λ)-Graphs and polarities of (v,k, λ)-designs

In 2.1 it is established that there is a one-to-one correspondence between (v, k, )-graphs and polarities, with no absolute points, of (v, k, )-designs. This is used to show that the parameters of a (v, k, )-graph are of the form ((s/a)((s + a)²–1), s(s+a), sa) where s and a are positive integers with a dividing s(s²–1) (Theorem 3.4) but strictly less than s(s²–1) (Proposition 4.3). Some consequences of this parametrization are discussed and in particular, it is shown that for fixed 2 there are only finitely many non-isomorphic (v, k, )-graphs. In 4. it is shown that (v, k, )-graphs can also be constructed using polarities, with all points absolute, of certain designs. In 5. isomorphisms and automorphisms of graphs and designs are discussed. Many examples of (v, k, )-graphs, including some apparently new ones, are given.Dedicated to Peter Dembowski, 28 January 1971