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关于圆锥曲线的切线性质的一组定理 总被引:2,自引:1,他引:1
本文将应用如下两条熟知的引理及相关的平面几何知识 ,推导出关于椭圆、双曲线、抛物线的切线性质的一组定理 .引理 1 椭圆 (或双曲线 )上任一点的切线与该点的两条焦半径成等角 .引理 2 抛物线上任一点的切线与该点的焦半径及其对称轴成等角 .定理 1 过椭圆 (或双曲线 )上任一点作切线 ,则两焦点到此切线的距离之积为定值 .证明 (仅以双曲线为例 ,椭圆类似 ,从略 )如图 ,设双曲线的方程为x2a2 -y2b2 =1 ,a、b ∈R+,P为双曲线上任一点 ,l为过点P的切线 ,F1、F2 为两焦点 ,F1A⊥l于A ,F2 B⊥l于B ,由引理 1可知 ,∠… 相似文献
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圆锥曲线的一个几何特征 总被引:2,自引:1,他引:1
圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线,不仅有各具特色的定义方法和内涵,而且也有和谐统一的定义规则和性质,而对于作为一个有机整体的圆锥曲线,探求其所具有的共同特征应该是一件非常有意义的事情.本文将给出圆锥曲线的切线、对称轴以及顶点在曲线上的三角形之间的一种特有的联系,其中主要的结论如下.定理 设△ABC的三个顶点在圆锥曲线Γ上,则其两边AB和AC与Γ的一条对称轴夹角相等的充要条件是:边BC和切Γ于点A的直线l与Γ的一条对称轴的夹角相等.显然当A点在Γ的对称轴时,定理成立.而当A点不在Γ的对称轴时,且不妨设Γ在直角坐标系下… 相似文献
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范围,是圆锥曲线的一个简单而重要的几何性质:椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的范围是|x|≤a,|y|≤b;双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的范围是|x|≥a;抛物线y2=2px(p>0)的范围是x≥0.教学中我们发现,许多学生... 相似文献
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笔者近期研究圆锥曲线切线时 ,发现了一个有趣性质 .定理 1 过圆x2 +y2 =r2 上一点引圆的切线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是 1x2 + 1y2 =1r2 .定理 2 过椭圆 x2a2 + y2b2 =1上一点引椭圆的切线和法线 ,切线与x轴 ,y轴分别相交于点A ,B ,法线与x轴 ,y轴分别相交于点M ,N . ( 1 )以原点O和A ,B为顶点构成的矩形的另一顶点Q的轨迹方程是a2x2 + b2y2 =1 ;( 2 )以原点O和M ,N为顶点构成的矩形的另一顶点D的轨迹方程是x2c4a2+ y2c4b2=1 ,其中C2 =a2 -b2 .定理 3 过双曲线… 相似文献
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笔者近日在对圆锥曲线内点性质研究时 ,发现了圆锥曲线内点的一个新颖有趣的性质 .图 1性质 1 设P(x0 ,y0 )是椭圆E内部一定点 (异于E的中心O) ,过点P引直线l交椭圆E于A、B两点 ,以OA、OB为邻边作平行四边形 (当A、O、B三点共线时 ,可视为退化情形 ,下同)OAQB ,则点Q的轨迹是以P为中心且与椭圆E有相同离心率的椭圆E′(当原曲线为圆时 ,点Q轨迹是圆 ) ,同时椭圆E′过E的中心 .图 2性质 2 设P(x0 ,y0 )是双曲线E内部 (含焦点的区域 )一定点 ,E的中心为O .过P引直线l交双曲线E于A、B两点 ,以OA、… 相似文献
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由圆的切线到椭圆、双曲线、抛物线的切线都有诸多性质,这些性质都有着广泛的应用.本文就圆锥曲线切线的性质做进一步的探讨.性质1:过抛物线外一点向抛物线引两条切线,给出三个条件:①互相垂直;②交点在准线上;③切点连线 相似文献
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圆锥曲线之间的一个变换 总被引:1,自引:1,他引:0
文给出了圆锥曲线间的一个有趣变换,但只给出了由一种曲线变换为另一种曲线或它自身(如文中的定理3由椭圆变换为双曲线)。实际上,改变定理中两点A、A'的位置可以变换出各种不同的圆锥曲线(包括它自身)。下面以几个定理的形式具体给出这一变换的结论。 相似文献
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用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口瞄线,分别是椭圆、双曲线、抛物线,通常把它们统称为圆锥曲线.那么,为什么截口曲线是椭圆、双曲线或抛物线呢? 相似文献
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文 [1 ]中给出了圆锥曲线间的几个有趣变换 ,并作了推广 .笔者经过深入研究发现 ,文 [1 ]中的定理还可以进一步推广到更一般的情形 ,而且有趣的是 ,圆锥曲线间可以相互变换 ,由一种圆锥曲线可以生成所有的各种圆锥曲线 .定理 1 设椭圆c:x2a2 +y2b2 =1 (a >b >0 ) ,PP′是c上的垂直于x轴的一条弦 ,M(m ,0 ) ,N(n ,0 )是x轴上的两点 ,设直线PM与P′N的图 1 定理 1图交点Q的轨迹为c′ .则1 )当 (m +n) 2 - 4a2>0时 ,c′为椭圆或圆 ;2 )当 (m +n) 2 - 4a2= 0时 ,c′为抛物线 ;3)当 (m +n) 2 - 4a2<0时 ,c′为双曲线 .证 设P (acost,bsint… 相似文献
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圆锥曲线的三种伴随曲线 总被引:2,自引:0,他引:2
本文探讨了圆锥曲线的三种伴随曲线 ,从而揭示了圆锥曲线的几个有趣的性质 .引理 1 [1 ] 关于x、y的二元一次方程(1 -e2 )x2 y2 - 2px p2 =0(p>0 ,e >0 ) ①当e=1时表示抛物线 ,当 0 <e<1时和e >1时分别表示以 p1 -e2 ,0为中心的椭圆和双曲线 .引理 2 过圆锥曲线①外一定点Q(x0 ,y0 )引曲线①的两切线QM和QN ,则两切点M、N所在的直线方程为1 -e2 x0 -p x y0 y p2 -px0 =0 ②证明 设M(x1 ,y1 ) ,N(x2 ,y2 ) ,则得两切线方程 :QM :(1 -e2 )x1 x y1 y -p(x1 x) p2 =0 ,QN :(1 -… 相似文献
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文[1]分别用3个定理的形式探讨了圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的一组统一性质,笔者以为既然是统一性质,就可用统一定义进行证明,定理也可统一叙述如下: 相似文献
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一道高考题的推广与圆锥曲线切线的几何作法 总被引:1,自引:0,他引:1
2004年高考北京市数学试题17:如图1,过抛物线y^2=2px(p〉0)上一点P(x0,y0)(y0〉0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2) 相似文献
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圆锥曲线的一组统一性质 总被引:2,自引:1,他引:1
由于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)有着统一的内在规律,因而它们一些有趣的性质逐渐被人们所揭示.下面是笔者在教学中发现的一组性质,现用定理的形式叙述并证明如下: 相似文献
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圆锥曲线两个性质的推广 总被引:3,自引:2,他引:1
《数学通报》2 0 0 2年第 6期文 [1 ]给出了圆锥曲线的如下两个性质 :性质 1 若F是圆锥曲线的焦点 ,E是与焦点F相对应的准线L和圆锥曲线对称轴的交点 ,AB是过焦点F的弦 ,BC∥FE ,点C在L上 ,则直线AC平分线段EF .性质 2 若F是圆锥曲线的焦点 ,E是与焦点F相对应的准线L和圆锥曲线对称轴的交点 ,AB是过焦点F的弦 ,点C在L上 ,直线AC平分线段EF ,则BC∥FE .本文旨在将以上两个性质进行推广 ,即若将性质中的焦点F推广为圆锥曲线 (包括圆 )对称轴上的任意一定点 ,是可得如下若干结论 ,1 性质 1的推广定理 1… 相似文献
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圆锥曲线是椭圆双曲线和抛物线的解析证明 总被引:2,自引:0,他引:2
在一次讨论《高中数学课程标准》的会议上有人问如何证明一圆锥被一平面所截 ,得出截线是椭圆、双曲线或抛物线 .在《标准》选修 1系列课程的参考案例 4中画了一张立体图 ,意示可以用立体几何的办法加以证明 .其实这种证法大约最早是由G .Daudeliu在 1 82 2年给出的 .(可参阅[1 ]P .2 47)他给出了一个定理 :“如果两个球面内切于一个圆锥并且都与一个已知平面相切 ,该平面与圆锥交于一条圆锥曲线 ,那么球面与平面的接触点是圆锥曲线的焦点 ,球面与圆锥相切的圆所在的平面同已知平面的交线是圆锥曲线的准线 .”再根据平面与圆锥轴线的夹角… 相似文献
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圆锥曲线是一类美丽、实用的曲线 ,它有许多内涵丰富、引人入胜的性质 ,本文将笔者在研究圆锥曲线中所得的一点成果 (圆锥曲线的一个有趣性质 )奉献出来与读者共赏 .1 几个结论以下分椭圆、双曲线、抛物线三种情形 ,介绍几个结论 .定理 1 给定椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,M(m ,0 ) (m≠ 0 ,m≠±a)是x轴上的一定点 ,直线l:x=a2m,过M任意引一条直线与椭圆交于A ,B两点 ,A ,B在l上的射影分别为A′,B′,在x轴上的射影分别为A″,B″,则|AA′||AA″| =|BB′||BB″|.图 1定理 2 给定双曲线 x2a2 - y2b2 =1 (a >0 ,b>0 ) ,其… 相似文献