第四讲 均值、方差和相关矩阵的计算(续)

(一)功能 估计多元样本的均值、标准差和方差──协方差、相关系数矩阵.其中样本数据可以分组提供。 (二)算法概述 设M个变量的N次观测数据矩阵为(xki)N×M.定义前n次观测数据的均值与差积和为并令可证有如下递推公式*: *证明见本刊1983年第4期杨自强的文章。该文通过大量数据对比计算后认为这是一个较好的一轮算法,特别在数 据服从正态分布。且均值比方差小时。于是对于N次观测数据有均值标准差方差──协方差相关系数递推算法对于数据的调用是一次性的,即在一轮循环计算中同时完成均值与差积和的计算。本程序允许把数据矩阵分割为k个子…     

关于“计算方程重根的一个高阶迭代程序”一文的评注

在《计算数学》1979年第三期上,“计算方程重根的一个高阶迭代程序”一文中,§3的迭代程序(4′)为 (n=0,1,2…,)其中z_n=x_n-mf(x_n)/f′(x_n)。该文作者认为具有四阶敛速,其实此程序只有三阶敛速.证明如下: 由原文的推导,可得第n 1次迭代的误差d_(n 1)和第n次迭代的误差的关系为     

第六讲 扫除算法

1.引言 扫除算子(Sweep operator)是对矩阵的一种变换运算,也称为扫除变换或扫除算法.其实质是高斯──约唐消去法求逆矩阵的一种改进算法. 扫除算法可用于求解线代数方程组,计算矩阵的逆阵(包括广义道),也可以用于计算行列式的值.在统计计算中,扫除算法有很丰富的统计含义,它是回归分析、判别分析及各种逐步算法的基础.本文将从矩阵代数运算和统计含义两个方面对扫除算法作一个简要的介绍.最后还给出FORTRAN程序. 2.从回归计算谈起 设线性回归模型为Y=Xβ+e　　　(2.1)其中 X,Y可为观测数据,β为回归系数,e为随机误差.通常假设有m个自…     

平均值问题的合理性探讨

在日常生活中 ,求平均值的问题随处可见 ,但对某些问题 ,怎样求平均才算合理 ,才算科学 ,是需要仔细斟酌和认真探讨的 .本文通过对几个具体问题的分析和探讨 ,来说明算术平均数、加权平均数和数学期望三者之间的联系与区别 .1　算术平均数定义 :设a1,a2 ,… ,an 是n个正数 ,则称B =a1+a2 +… +ann 为这n个数的算术平均数 .关于算术平均数 ,同学们早在上小学的时候就已经接触到了 .从定义来看 ,它并不难理解 ,但是 ,对于这个定义的合理性 ,大家却不一定清楚 ,我们先对此作一点探讨 .要使B作为平均数 ,虽然不能要求它与每一个数据都相当接近 …     

第八讲 多维数据的星座图表示及其程序

图形有助于直观了解所研究的对象.一、二维数据的图形众所周知,而且也容易得到。三维图形虽然可以书出,但并不方便。三维以上的图形怎么表示?近十年来国际上虽然出现了一些方法[1],但尚未有公认的标准方法.限于篇幅,本讲座只介绍共中的一种─—星座图表示法,并给出使用宽行打印机印出星座图的 FORTRAN程序。 §1.多维数据的星座图表示 为明确,假设我们有n次观测数据,每次观测数据有p个指标,从而构成一个n行p列的数据阵列:共中xh f表示第k次观测的第;个指标值,于是第k行(xhl,xD:,…xo。)对应着第k k观测的p个值,今后简记为。。 星座图的…     

算术平均值—几何平均值不等式的証明

§1.算术平均值-几何平均值不等式对于任意n个数x_1,x_2,…,x_n,我们把叫做这n个数的算术平均值。若x_1,x_2,…,x_n是n个非负的实数,我们把叫做这n个数的几何平均值。所谓算术平均值-几何平均值不等式是指下列定理中的不等式: 定理1.若x_1,x_2,…x_n是任意n个非负的实数,则其算术平均值必大于或等于其几何平均值,即而且上式中的等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立。为了书写简便起见,我们引用和号∑和积号∏将式(1)表示如下:     

统计问题的计算机模拟(三)

中心极限定理告诉我们:无论随机变量X服从何种分布,当n相当大,且X1,X2,…Xn相互独立并与X具有相同的分布时,随机变量的似服从正态分布,并且,当EX=μ,DX=σ2时,EY=μ,DY=σ2/n 我们可以通过几个实例来验证这一规律: (一)设随机变量X具有概率密度函数(图1): 利用程序14*可以模拟产生X的一个样本数据.利用程序15则可以模拟产生X的M个样本数据。 程序14 10 RANDOMIZE TIMER 20 X=RND:W=RND* 2 30 IF W>2—2*XGOTO 20 40 PRINT“X=”:X 50 END 程序15 10 RANDOMIZE TIMR 20 INPUT“样本大小M:”; M 30 FORI=1T…     

第一讲 FORTRAN语言概貌

前言 随着电子计算机的普及,使用计算机进行统计课题的计算,在我国已变得非常普遍.进行这样的工作离不开计算方法和计算程序.不少读者希望了解这方面的知识,有些读者还希望得到一些常用的计算程序.本讲座正是为此目的而设的. 本讲座使用国际上最流行的程序设计语言FORTRAN作为工具.并且考虑到程序可能在多种计算机上运行,作者将注意使程序与国际标准和美国标准FORTRAN相容,不超出FORTRAN IV的范围. 虽然讲座的前二、三讲不可避免地以较多的篇幅介绍FORTRAN概念,但是目的不是系统地讲解FORTRAN,而是帮助读者看懂本讲座中其后…     

一个三角形个数的计算问题

问题 :将圆周 n等分 ,在 n个等分点中 ,任取三个点都能构成一个三角形 ,那么 ,在这些三角形中 ,直角三角形、钝角三角形、锐角三角形各有多少个 ?目前未见有人对这一问题进行研究 .笔者发现 ,各种三角形个数与方程x1 x2 … xm =n的正整数解的个数有关 ,因而试着利用求相应方程的整数解的方法来计算有关三角形个数 ,非常方便 .为此 ,先给出前述方程的正整数解的个数的一个结论 .方程 x1 x2 … xm =n( m≤ n,m、n∈ N ,n≠ 1 )的正整数解的个数是 Cm - 1n- 1.证明　当 m =1时 ,方程只有一个解 ,结论显然成立 .设 m >1 ,如图 1 ,将 n…     

列表格,算两次——介绍sum from m=1 to n (m~k)的一种算法

高中数学第三册(选修Ⅱ)数学归纳法一节,要求证明下列恒等式:12 22 … n2=16n(n 1)(2n 1);13 23 … n3=14n2(n 1)2.有同学问,这类等式是如何得到的?14 24 … n4=?.一般地当k∈N 时,1k 2k … nk是否可以求得?这是一类很有趣的问题,计算方法也很多.本文介绍一种简便算法,供大家参     

关于线性回归教学的一点建议

在现行高中数学教材(人教社中数室编)第三册中,增加了线性回归的内容,它主要涉及如下两方面学习要求:其一,根据一组观测值(xi,yi)(i=1,2,…,n)拟合一条回归直线方程y∧=bx a,其中b=n∑(xi-x-)(yi--y)i=1∑(xi-x-)2,a=-y-bx-,x-,-y分别是xi,yi的算术平均值.其二,根据样本相关系数r=∑ni=1(xi-x-)(yi--y)∑ni=1(xi-x-)2∑ni=1(yi--y)2的取值,来判断观然发源于柯西不等式!至于它的证明,通常的方法是:(1)当ai=0(i=1,2…,n)时,(*)式显然成立;(2)当ai中至少有一个不为零时,则∑na2i>0,于是测值(xi,yi)(i=1,2,…,n)的线性相关程度,进而判断所得回归…     

平均值不等式和柯西不等式

平均值不等式和柯西不等式是两个极为重要的基本不等式,由于它们变化多,实用性强,可以充分展示受试者的机敏和能力,因此深受竞赛命题者的青睐,有关的问题在数学竞赛中频频出现,经久不衰。一、平均值不等式这里先介绍平均值不等式。设a_1、a_2、…、a_n为n个正数,记 A=a_1 a_2 … a_n/n,G=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 则 A≥C(1) 其中当且仅当a_1=a_2=…=a_n时等号成立。这个不等式通常称之为算术平均-几何平均值不等式,简称平均值不等式。平均值不等式证明方法很多,以下给出两种富有启发又很简捷的证明。     

线性模型误差方差估计的Bootstrap逼近

<正> §1.引言 1979年,Efron为估计基于独立观测值的统计量的分布,提出了一种很一般的重新抽样程序,称为Bootstrap:以一样本情形为例,设从分布F完全未知的总体中抽得大小为n的简单随机样本X_i=x_i,i=1,…,n.记X=(X_1,…,X_n),x=(x_1,…,x_n),它们分别表示随机样本及其特定的观测值.今给定一个随机变量R(X,F),它可能不仅依赖于X而且依赖于未知分布F.问题是要根据观测数据x去估计R的抽样分布。     

试卷分析程序一则

目前,试卷的命题正向科学化、标准化方向发展。为了衡量一份试卷是否达到科学化、标准化,就要计算出试卷的难度、信度、区分度、平均分、标准差、差异系数等各项指标。下面介绍一个程序,此程序可以求出一张试卷中每小题的平均分、难度和区分度;还可以求出全卷平均分、标准差、差异     

关于付立叶系数的计算问题

<正> 在付立叶级数中,求付立叶系数有一个统一公式,即:a_n=1/πintgeral from -πto πf(x)cosnxdx (n=0,1,2…),~nb_n=1/πintegral from -πto πf(x)sinnxdx (n=1,2,3…)叫尤拉——付立叶公式.虽然a_0与a_n(n=1,2…)统一在一个公式中,但在实际计算时,常常要分开来求.因     

从如何快速计算平方根谈起

据说华罗庚教授生前与大学生谈话时 ,就曾问过 ,你能快速地计算 2的近似值到所要求的精度吗 ?一般地 ,对于正数 a,能不能制定一个计算 a的算法 ,使得计算步骤较少 ,然而精确度较高呢 ?在高等数学中 ,人们通过单调递推数列的极限 ,找到了这种方法 .我们取正数 a并讨论序列 { xn} ,x1 >0 ,xn 1 =12 (xn axn) ,n =1,2 ,3… .对该数列分析 ,可发现如下性质 :(1)对 n≥ 2 ,总有 xn≥ a .这个结论不难证明 .事实上由 x1 >0及xn 1 =12 (xn axn) ,可归纳地证明 xn>0 .从而有　 xn 1 =12 (xn axn)≥ xn.axn=a　 (n∈ N) .所以 ,当 n≥ 2时 ,总有 xn…     

一个求和公式

设集合M={1,2,…,n}。对M的任一非空子集X,令a_x表示X中最大数与最小数之和,试计算所有这样的a_x的算术平均值■[注] 我们用两种方法计算■,由此便可得到一个新的求和公式方法一把M的子集X分成两类,对第一类子集X的a_x=n+1,令这样的X共有k个。对第二类子集X的a_x≠n+1。     

一个猜想的简捷证明

文 [1 ]已证明 :在任意△ ABC中 ,有cos3 A cos3 B cos3 C≥ 38,其中“=”当且仅当△ ABC为正三角形时成立 ,并给出如下猜想 :cosn A cosn B cosn C≥ 3( 12 ) n,( n≥ 2 ,n∈ N) .文 [2 ]利用著名的 Jacobsthal不等式证明了这个猜想 ,下面利用平均值不等式给这个猜想一个简捷证明 .猜想证明 :当 n =2时不等式易证 (略 ) .当 n >2时 ,对非钝角△ ABC,由平均值不等式知 :2 ( 2 cos A) n n - 2≥ 4 n .cos2 A,即　 ( 2 cos A) n≥ 2 n( cos2 A - 14 ) 1 ,同理　 ( 2 cos B) n ≥ 2 n( cos2 B - 14 ) 1 ,　 ( 2 cos C)…     

多元统计分析(Ⅱ)

2.3星座图 在多元数据的图表示法中,星座图法可能是最为实用的一个.作者在本刊统计计算讲座(第八讲)中曾作过详细介绍,并结出了FORTRAN程序.为避免重复,这里着重讨论星座法的一个新应用──数据的分类. 1.星座图法的基本思想 这是把多维空间上的点投影到平面上的一个半园内的方     

几类递推数列通项的求法

求由递推关系所确定的数列的通项,通常可通过对递推关系的一系列突破,构造出一个新的数列,转化为等差、等比数列,或与之相类似的问题来求解.下面通过具体的例子来说明由递推关系求通项的方法.一、递推式an-an-1=f(n)(n∈N*,f(n)为等差、等比数列的通项).例1、已知{an}中,a1=1,an=an-1 n(n≥2),求an.解:由已知有a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n.将上面n个等式左、右两边分别相加,得an=1 2 3 … n=n(n2 1).例2、已知{an}中,a1=1,an=an-1 2n-1(n≥2),求an.解:由已知,有a1=1,a2-a1=2,a3-a2=22,…,an-an-1=2n-1.将上面n个式子的等号左右两边…