减少解析几何中的计算量的策略

学生求解解析几何问题时,往往思路正确,但常因运算过程的繁杂半途而废．因此,如何采用合理的手段尽量减少运算量成为能否顺利解题的关键．事实上,如果我们能够充分利用图形的几何性质、韦达定理、曲线系方程,合理转化,以及运用“设而不求”等策略,往往能够减少计算量．     

例说高考解析几何试题常用的求解途径

众所周知 ,解答解析几何问题过程的繁简程度 ,往往受制于解题途径的选择 ,笔者在近几年高考阅卷中发现 ,有不少考生因选择解题方法不当 ,而导致解答过程繁杂、计算量大 ,甚至半途而废 .本文笔者根据自己体会 ,结合近年来高考试题 ,就解答解析几何试题常用的求解途径例释如下 ,供参考 .1　运用定义或焦半径公式　处理解析几何中与圆锥曲线的焦点或准线有关的问题时 ,逆用圆锥曲线定义或运用焦半径公式 ,往往会出奇制胜 ,得到独特的解法 .例 1　 (1998年全国高考题 )如图 ,直线ｌ1和ｌ2 相交于Ｍ ,ｌ1⊥ｌ2 ,点Ｎ∈ｌ1,以Ａ ,Ｂ为端点的曲线段…     

别样的解析几何,别样的精彩

解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点,由于其本质是利用代数的方法研究几何问题,所以解析几何在利用代数方法求解的过程中,学生经常会遇到思路正确,但因运算过程繁杂,而半途而废的现象.因此,在解答解析几何问题的过程中如何减少计算则成为能否迅速、正确解题的关键.下面笔者从2011年各省市解析几何的押轴题中精选数例,供读者参考和指正.     

解析几何中长度问题的几种处理办法

<正>线段长度的计算,是解决解析几何问题时常遇到的,也是考试热点.在平时学习过程中,线段长度的计算方法多种多样,如果处理不当,往往会使问题复杂化.那么如何选择适当的方法简化运算,提高解题效率呢?笔者经过探索,归纳出如下几种策略.1长度问题等价转化在判断点与圆的位置关系时,我们的常规思路是计算出点与圆心的距离再与圆半径比较大小而得,但有时关于距离的代数式十分复     

减少解析几何中的计算量的策略

学生求解解析几何问题时,往往思路正确,但常因运算过程的繁杂半途而废.因此,如何采用合理的手段尽量减少运算量成为能否顺利解题的关键.事实上,如果我们能够充分利用图形的几何性质、韦达定理、曲线系方程,合理转化,以及运用     

巧用平面几何知识减少解析几何问题的计算量

解析几何是中学阶段数学知识的一个难点,对运算能力要求很高.在解一些解析几何问题时,由于学生偏重于相关量的数量关系研究,习惯于代数的推理过程,而忽视了有关形的知识的应用,摒弃了最基本最直接的解题思路,导致计算量很大,不易得到正确的运算结果.所以如何选择正确简单的方法减少计算量,有什么规律?这是值得探讨的问题.事实上,若能充分把握解析几何中形的特征,注意挖掘隐蔽条件,灵活运用平面几何知识,对于拓宽解题思路,减少运算量,将会起到非常重要的作用.     

“隐圆”巧发现 壁垒妙破除

数学解题的关键是善于挖掘已知条件的内涵,并由此突破解题壁垒.在一些解析几何问题中,虽然从表面来看似乎与圆无关,但从定义、方程与性质的角度深挖下去,圆便会“浮出水面”.发现“隐圆”往往能帮助我们打开解题思路,成功到达彼岸.     

优化策略，简化运算

<正>中学解析几何是在初中平面几何的基础上,利用方程的观点、代数的视角等“数”的思维来解决平面直角坐标系中几何图形“形”的特征问题,以“数”解“形”,避免几何问题中的逻辑推理,以代数的方法进行优化处理.只是处理过程中运算繁杂,运算量大,导致解答时间冗长,或算不出结果,或导致错误,或中止解题过程,“望题兴叹”.在高考中,解决问题时若花费更多的时间与精力,往往会牺牲解答其他问题的时间,有时得不偿失.因而,有效减少解析几何解题的运算量,规避复杂的运算,提高解题效益,优化解题策略,简化运算与过程就尤为重要.     

巧借平几结论 妙解解几问题

平面解析几何与平面几何有着紧密的联系 ,因此 ,平面几何的某些结论在解析几何中仍起着不可估量的作用 .适时而且恰当借助平面几何的有关结论来进行转换 ,可以创造出非常简洁的解题方法 .下面就举例简析之 :例 1.过点A(- 2 ,0 )作圆x2 +y2 =1的割线ABC ,则弦BC的中点P的轨迹方程是 .简析 :如图 1,由于BC中点P与圆心O的连线与AC垂直 ,即∠OPA =90° ,∴由平几结论得 :P在以OA为直径的圆上 ,且落在已知圆内的部分 ,所以易得P点的轨迹方程为 :(x + 1) 2 +y2 =1(- 12 相似文献   

例说用整体思想优化解析几何的运算

研究如何优化解析几何的运算,提高运算的速度和准确度很有必要,也非常迫切.本文就如何在整体思想指导下优化解析几何运算谈几点意见. 设而不求、整体代换是优化解题过程的重要思想.设而不求就是要明确计算的整体目标,善于排除中间过程的干扰.“设”是为了“架桥”,“不求”就是为了“求整体”,抓矛盾的主要方面. 例1 求点P(x0,y0)关于已知直线 Ax By C=0的对称点. 设P点关于直     

代换法解题

我们发现在许多数学问题的求解中,若从正面入手直接解题,有时会给解题带来繁琐的计算,甚至会使解题思路受阻.但若从宏观上分析问题的结构特征和内在联系,有意识地放宽考察问题的视角,巧妙设元,利用代换的思想方法,则往往思路简捷且解法独到富有新意.下面给出几种代换方法供参考. 1.三角代换 根据题设条件或题目结构特征,将题中字母利用三角函数形式进行代换的方法叫三角代换.     

由2020年北京高考数学第20题谈解析几何中“先猜后证”的价值

<正>1引言今年高考数学结束后,不少北京考生反映解析几何题目较难,虽思路清楚,但未能完整作答.而实际上,解题策略决定了计算量的大小,此题很大程度上体现了解析几何题目"顶层设计"的重要性,这里的"顶层设计"是指在具体运算之前对整个题目进行宏观的审视,包括思路的探索、方法的选取、以及所选方法计算量的预判等等,这往往决定了解题的进程.因此,笔者以此题为例,重点阐述"先猜后证"策略在解决解析几何问题中的重要作用.     

“设而不求”在高考中的运用策略

<正>"设而不求"是解答高考题的一个重要技巧.顾名思义,"设而不求"就是在解答数学问题时,先设定一些变量,然后把它们当成已知量,根据题设本身各变量间的制约关系,列出方程,通过代换、消去等手段,不求所设变量,达到解题的目的.准确应用"设而不求"技巧往往能避免很多繁杂运算,使得解题简捷明快、赏心悦目.如何准确运用"设而不求"技巧呢?下     

解析几何中的“几何法”

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题 ,当然离不开代数推理、计算 ,但在有些题目中 ,若能根据题中给出的条件 ,充分应用几何性质 ,利用“几何法”求解 ,将使解题过程简单化 .　　一、利用圆的性质1.根据圆的定义【例 1】　如图 ,圆方程是x2 y2 =16,点A(2 ,0 ) ,B是圆上的动点 ,AB的垂直平分线m与OB交于点P ,求点P的轨迹方程 .分析 :因为点P是m与OB的交点 ,易想到用交轨法 ;或点P的轨迹是由点B在圆上运动所致 ,易想到用代入法或参数法求解 .但从另一角度考虑 ,m是AB的垂直平分线 ,所以点P到点A、B的距离相等 ,即｜PO｜与｜…     

圆锥曲线的一个性质

20 0 1年全国初中数学竞赛试题Ｂ卷第 14题 :如图 1,已知点Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＳ ,ＰＴ是⊙Ｏ的两条切线 ,过点Ｐ作⊙Ｏ的割线ＰＡＢ ,交⊙Ｏ于Ａ ,Ｂ两点 ,并交ＳＴ于点Ｃ ,求证 :1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) .分析 :先研究此题结论 ,由 1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) 2ＰＣ=1ＰＡ+ 1ＰＢ,即ＰＡ ,ＰＣ ,ＰＢ的倒数成等差数列 .此题的平面几何证法有多种 ,这里从略 .现运用解析几何知识给出证明 .图 2　 14题图证　如图 2建立坐标系 ,圆外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,圆的方程ｘ2 + ｙ2 =ｒ2 ,可求ＳＴ的直线方程ｘｘ0 + ｙｙ0 =ｒ2 (1)设⊙Ｏ的割线ＰＡＢ…     

例谈曲线系方程的应用

<正>在高中解析几何中常会涉及到两曲线相交的有关问题,对于其中的某些问题若能用曲线系的相关知识,并在相关问题中加以灵活运用,那么解题过程一定会更加流畅,解题效率也必将会大大地提高.下面列举几例,阐述曲线系方程的巧妙应用,供读者参考.例1求经过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点的圆的方程.解设过点A(2,2)的圆系方程为(x-2)²+(y-2)2+(y-2)²+λ(x-2)+μ(y-2)=0,又圆过     

设而不求的若干途径

平面解析几何是在平面坐标系的基础上,借助代数方法来研究几何问题的一门数学学科,因此代数运算便不可避免地出现在解析几何的解题过程之中,若方法不当,就会使解题过程繁琐冗长,直接影响解题速度和结果的准确性．如何避免非必要的运算,简化解题过程呢？在解析几何中用设而不求的方法可简化运算．１　应用曲线和方程的关系例１　求经过两条曲线ｘ２＋ｙ２＋３ｘ－ｙ＝０和３ｘ２＋３ｙ２＋２ｘ＋ｙ＝０交点的直线的方程．分析　一般的解法是求出两曲线的交点坐标,再写出所求的直线方程．显然运算较繁,若应用设而不求的思想有如下解法…     

合理选择方程形式 优化解几运算过程

圆锥曲线综合问题一直是数学高考的重点和难点,成为难点的一个重要原因是许多考生在解答这类试题时常常陷入繁杂的运算而不能自拔,但又觉得自己设计的解题思路自然合理,但试题的最后结果总是"千呼万唤不出来".因此,如何提高运算能力、优化解析几何运算过程是我们必须     

简化解析几何计算的若干途径

在解析几何中，面对同样一个问题往往可有多种解题方法，但是各种解法的计算量常常有很大的差异．因此，恰当地选择解题途径，尽可能简化解题计算过程就显得尤为重要．一般地．欲简化解析几何问题解题的计算过程．我们可以从以下几条途径予以考虑：一是选择合适的坐标系及点的坐标；二是充分注意对称性，尽量使问题简化；三是适当利用几何知识。     

动弦中点轨迹方程求法归类剖析

在圆锥曲线中，求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程是解析几何中比较棘手的问题，解题的方法较多，但运算过程往往比较繁琐复杂，学生往往难以人手，本文采用引进参数的办法对此类问题归类分析，以便学生从中掌握其解题的基本思想和解题规律。