第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

一、（满分20分）在测量课上,老师交给的任务是测量楼前旗杆的高度．小王灵机一动,想出了如下的测量法：请同学小李当“参照物”站在旗杆下,在离旗杆较近的地方,     

幽你一默

旗杆的高度
　　操场上,两位同学围着一根旗杆。
　　数学老师走过来,问：“同学们,在干什么呢？”
　　“我们想知道这根旗杆的高度,正在讨论用什么方法得到它。”两位同学回答道。这时,只见数学老师抱紧旗杆使劲一拔,将其放倒,拿出卷尺量了量,说：“正好5米。”
　　“我们要的是高度,不是长度。”两位同学小声地嘀咕。     

新编应用题选登

题 75 　有一旗杆高 1 2米 ,从它的顶端挂下 2条长 1 3米的绳子 ,拉紧绳子 ,把它的下端放在地平面两点 ,而这两点和旗杆的脚不在同一条直线上 ,如果这两点和旗杆脚的距离都是 5米 ,请问旗杆和地面垂直吗 ?并证明你的结论 .解　旗杆与地面垂直 .证明如下 :图 1　题 75图如图 1 ,在△ＰＯＡ中 ,ＰＯ =1 2米 ,ＰＡ =1 3米 ,ＯＡ =5米 ,有ＯＡ2 +ＰＯ2 =ＰＡ2 ,所以∠ＰＯＡ=90°,同理∠ＰＯＢ =90° ,得ＰＯ⊥ＯＡ ,ＰＯ⊥ＯＢ .又Ｏ ,Ａ ,Ｂ不在一直线上 ,由线面垂直的判定定理可得 :ＰＯ⊥地面 .背景材料　本题的素材来源于一学生在学习立体…     

买卖中的数学问题

在日常生活中经常碰到一类如何买最合算的问题,对这类问题不少学生感到困难重重,因此,本文通过实例来说明求解的方法.例1　小王和小李既是同学,又是邻居,他们相约到一家商店去买3次米,假若米的价格是变化的,而他们的购买方式又不一样.小王每一次总是买10公斤米,小李每一次只拿10元钱来买米,而不管买多少,试问这两种买米的方法哪一种合算?分析　解此题关键是要弄清什么叫“合算”,单看谁买的米多少或单看谁花的钱多少都是不对的,应当计算各人平均每公斤米花多少钱,谁少谁合算.因此,必须要分别计算小王和小李每公斤米的价格,再对这两种每公斤…     

也谈买卖中的一个数学问题

买卖中的一个数学问题 ,连续几年来被广泛地引用 .本文将对这一问题作一探讨 ,给这一道好题再添一点新的气象。先以本刊文[1]的例 1为切入点 .例 1　小王和小李既是同学 ,又是邻居 ,他们相约到一家商店买 3次米 .假若米的价格是变化的 ,而他们的购买方式又不一样 .小王每次总是买 10公斤米 ,而小李每次只拿10元钱买米 ,而不管买多少 .试问这两种买米的方法哪一种合算 ?简答　假设三次的单价分别是ａ1 ,ａ2 ,ａ3.则小王、小李所买米的平均单价α ,β分别为 :α =ａ1 ａ2 ａ33 ,β =31ａ1 1ａ2 1ａ3,由于α≥β ,故知小李的买米方法比小王…     

初三几何第二学期自测题

注 :本组题可作为复习几何第三册内容后的综合测练用 ,测练时间建议用 1 0 0分钟 .　　一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .已知sinα=25 (∠α是锐角 ) ,则cosα =,tanα = ,cotα =.2 .两个以点O为圆心的同心圆中 ,大圆的弦AB与小圆相切 ,如果AB的长为 1 2 ,大圆的半径为 1 0 ,那么小圆的半径为 .3 .在离旗杆 1 5米的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α ,如果测角仪高为 1 .4米 ,那么 ,旗杆的高为米 (用含α的三角比表示 ) .4.在⊙O中 ,弦AB所对的圆心角为 60°,⊙O的半径为 3cm ,则AB的长为 ,AB的弦心距为.5 .一个正六边形的边长…     

测量月球的半径我有新招

月亮有多大呢?这个问题似乎不大好入手.现在,科学家们通过精密的仪器已经能够比较准确的测量出月球的半径约为1730千米.但是如果不用这些精密的仪器,能否也可以估算出月球的半径呢?今天我就来向大家介绍这种测量月球半径的新方法. 不知道大家以前有没有注意过月蚀.当月蚀时地球在月球上形成影子,用照像机拍成照片,那么分析照片上的平面图形,就可以对月球半径做出粗略估计.     

湖北省黄冈市2005年中考数学试题(课改区)

一、填空题(每空3分,共24分)1.3的相反数是,立方等于-64的数是,将x-xy2分解因式的结果是2.反比例函数y=xk的图象经过点(tan45°,cos60°),3.水则平k=放置的正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方形的平面展开图,若图中的“进”表示正方体的前面,“步”表示右面,“习”表示下面,则“祝”、“你”、“学”分别表示正方体的.4.吕晓同学想利用树影的长测量校园内一棵大树的高度,他在某一时刻测得一棵小树的高为1.5米,其影长1.2米,同时,他测得这棵大树的影长为3米,则这棵大树的实际高度为.5.某同学在电脑…     

1994年台湾高考数学试题

(自然组) 【一】老张从旗杆底O点的正西方A点测得杆顶T点的仰角为30°。他向旗杆前进30公尺至B点,再测得杆顶的仰角为60°,则 1.旗杆高为( ) (A)15(3~(1/2)-1)公 (B)15(3~(1/2))公尺 (c)20/3~(1/2)公尺 (D)15(2~(1/2))公尺     

青蛙和蜗牛

在一个偏僻的地方,有一口5米深的古井,经常有路过的小动物掉进去,爬不出来,饿死在里面. 一天,一只小蜗牛掉进了古井里.它看见里面有一只小青蛙,原来,小青蛙也是一不小心掉下来的.小青蛙看见小蜗牛很高兴:"欢迎你,小蜗牛,这下我有伴了,要不然我一个人会很孤单的,现在好了,有你在井里陪我,我太高兴了!"小蜗牛连忙说:"我可不想呆在井里,我准备白天向上爬3米,到夜里下滑2米,可是我不知道要几天才能爬出去."小青蛙非常聪明,马上回答:"你只要3天就能爬出去了,(5-3)÷(3-2)=2(天),2+1 =3(天)."     

塔高测算情有限,数学发展意无穷

众所周知,在《解直角三角形》这一章里,有这样一类典型的测量问题:为测量广州电视塔的高度,如图1,在A点测得塔顶P的仰角为α,后退m米到B点,测得塔顶P的仰角为β,求塔高PQ.解法1设PQ=h,∵PQ⊥AB,     

中考小杂技--动手操作题

2004年全国各地中考数学题中,涌现出了许多题型活泼、设计新颖、富有创意的动手操作型试题.现对这类数学中考题加以分类评析,供同行们参考.一、图形测量问题几何学是在测量等感性活动中逐步发展形成的.因此,在教学中要让学生多量一量,多做一些数学实验活动,用数据说话.例1(2004年温州市考题)下面给出的四条线段中,最长的是()评析:本题只需借助刻度尺、圆规等工具便可测量、比较得出答案(D)例2(2004年杭州市中考题)如图为羽毛球单打场地按比例缩小的示意图(由图中粗实线表示),它的宽为5.18米,那么它的长约在()A.12米至13米之间B.13米至14米…     

我们测量金茂大厦高度的设计报告

上海教育出版社出版的《高中数学》第5章“三角比”中有一测量建筑物高度的探究性课题，并举例：上海的金茂大厦是改革开放以来，上海超高层标志性建筑．有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的B处测得金茂大厦顶部A的仰角为15．66°．再向金茂大厦前进500米到C处后测得金茂大厦顶部A的仰角为22．81°．他能否算出金茂大厦的高度呢？若能算出，请计算其高度（精确到1米）。     

转变视角 突破瓶颈——论勾股法在几何体表面两点间最短距离问题中的妙用

勾股定理是人教版八年级下册第十七章的内容，勾股法是日后解决诸多实际问题的重要方法.教材中勾股定理的应用主要体现在求几何体表面两点之间最短距离、求旗杆高度、求断裂树枝高度、池塘芦苇问题等方面，每种问题类型都非常经典.本文中主要研究了如何转变视角突破求几何体表面两点之间最短距离的思维瓶颈.     

用火柴棍做开方运算

在一张纸上画一些间隔为20毫米的平行线,利用直角三角形两直角边为1、斜边为2~(1/2)的特性,从火柴棍上剪下一段长度为10(2~(1/2))毫米的小木棍,以同一高度(0.5米为宜)扔到画有平行线的纸上,接连扔上许多次。把扔的总次数和火柴棍与平行线相交的次数记录下来,然后用火柴棍与平行线相交的次数除以扔的总次数,再乘以π,即可得出2~(1/2)的近似值。     

球类运动中的数学问题二例

例1(篮球运动)如图1,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.     

地球纬度的测量

经纬度大家都知道是地理坐标 ,纬度是指地球表面上一点的球半径与赤道平面所成的角 ,并规定赤道的纬度为 0°,然后分南、北纬各90°.历史上因航海的需要而测量与计算当地纬度曾引发了很多争论与测量方法 ,其中有以测量北极星的仰角确定纬度的 ;有通过测量一年中各个日期下的各条纬线上的太阳高度 (仰角 )绘制成表 ,然后根据当地测出的太阳高度 ,按相应的测量日期查表得到相应的纬度 .本文介绍一种适合中学生测量计算当地纬度的方法 .一、测量数据当日影指向正北 (南 )时 ,用测角器测出此时太阳仰角的余角α .(规定 :日影指向正北(南 )时 ,α…     

如何设计水库鼻坝的高度与挑角

1　问题的提出水库排放的水流从溢流坝下泄 ,为了减小对坝基的冲击 ,一般用挑流的方法来消除水流的部分动能 ,并使水流形成的冲击力远离坝基 ,以保护水库坝基的安全 .故水流挑离坝基愈远 ,对坝基的安全愈有利 ,因此在修建水库的鼻坝时 ,如何设计好鼻坝的高度与挑角对水库的安全是至关重要的 ,下面我们就这一问题进行探讨 .2　建模与求解图 1如图 1 ,设水库的水位至鼻坝的落差 (即鼻坝的高度 )为ｈ1米 ,鼻坝至坝基的高度为ｈ2米 ,水库大坝总高度为Ｈ(Ｈ =ｈ1+ｈ2 )米 ,鼻坝以下的大坝坡度为ｉ.在不考虑阻力的情况下 ,我们认为水滴汇成水流从…     

数学应用题新编选登

题 8 7　 在某建筑工地 ,需要将钢管、木条、木板等材料从楼梯运到不同的楼层 ,由于受楼梯空间所限 ,其长度也有所限制 .现有一空间 (如图 1所示 ) :先从宽为 2米的巷道 ,转入一宽为 1.5米的楼梯道 ,其高度为 3.5米 .1)若将钢管从楼梯运到楼上 ,其最大长度为多少 ?2 )若将宽为 1.5米的矩形木板 (厚度不计 ) ,从楼梯运到楼上 ,其长最多为多少 ?解　如图 1,将钢管AB运到楼上 ,要使AB最长 ,则A应触到天花面 ,B触及地面 ,A在地面射影为C .则有 :AC =3.5 (m) ,AB =3.5 2 +BC2 ,AB要最长 ,只要BC最长 .∴问题转化为在水平面上求BC的最大值…     

问题情境创设的几个案例

案例1绍兴是一个水乡,在古运河上建有许多形状相同的抛物线型拱桥An(n=0,1,2,…),经测量知,相邻两座桥之间的距离an近似满足an=800 150n(n=1,2,3,…).这些拱桥当水面距拱顶5米时,桥洞水面宽为8米,每年汛期,船公都要考虑拱桥的通行问题.一只宽4米,装有防汛器材的船,露出水面部分