中考几何探究中猜想的途径

纵观2005年全国各省市中考数学试题,一类“探究———猜想———证明”的几何探究题成为一大亮点.本文以其中部分题的解答思路为例,总结在几何探究中进行猜想的一些途径.一、借助观察,直观猜想探索数学规律的过程中,观察是一种重要的方法,尤其是在几何探究时,通过仔细观察图形的特征,作出直观猜想,是寻求问题解决思路的最直接和有效的解题途径.图1例1(05山西)如图1所示,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连结BE、DG.(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论;(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,…     

基于旋转证明“猜想”

<正>1原题呈现如图1,矩形ABCD的边AB上有一点E,边AD上有一点F,△CEF是正三角形.猜想S_△AEF,S_△BCE,和S_△CDF的关系,并加以证明.对初中生而言,给出猜想S_△AEF=S_△BCE+S_△CDF容易,但证明猜想有一定难度,且证法的选择非常关键.文[1]、文[2]和文[3]从不同的角度用不同的方法证明了猜想,殊途同归,各有所长.其中文[3]用“图形对称”破解问题,若用“图形旋转”来证明猜想,则会得到不一样的思维体验与感悟.     

邻接树图是哈密尔顿图猜想的一个等价命题

本文给出了简单图的邻接树图是哈密尔顿图”猜想的等价命题,阐明只需证明该猜想对2－连通图成立即可,另外,我们给出了该猜想一种特殊情形的构造性证明。     

准传递定向图上的Seymour点

有向图D是准传递的,如果对D中任意三个不同的顶点x, y和z,只要在D中存在弧xy, yz, x和z之间就至少存在一条弧. Seymour二次邻域猜想为:在任何一个定向图D中都存在一个顶点x,满足d_D⁺(x)d_D⁺⁺(x).这里,定向图是指没有2圈的有向图.称满足Seymour二次邻域猜想的点为Seymour点. Fisher证明了Seymour二次邻域猜想适用于竞赛图,也就是每个竞赛图至少包含一个Seymour点. Havet和Thomassé证明了,无出度为零的点的竞赛图至少包含两个Seymour点.注意到,竞赛图是准传递有向图的子图类.研究Seymour二次邻域猜想在准传递定向图上的正确性,通过研究准传递定向图与扩张竞赛图的Seymour点之间的关系,证明了准传递定向图上Seymour二次邻域猜想的正确性,得到:每个准传递定向图至少包含一个Seymour点;无出度为零的点的准传递定向图至少包含两个Seymour点.     

Hadwiger猜想的一个等价命题

Hadwiger 猜想说:如果简单图 G 的色数为 k,那么它就含有能收缩到 k 点完全图 S_k 的子图.当 k=5时,这个猜想等价于平面地图四色定理.本文用满色集概念来给出Hadwiger 猜想的一个等价命题。当 k=5时,它也是平面地图四色定理的一个新的等价命题.     

关于图的升分解的Alavi猜想

Y.Alavi等人在1987年定义了图的一种新分解,即“升分解”(ascebding subgraph decomposition),并提出猜想:设自然数n≥2,G是由k个分离的星S_1,S_2,…,S_k构成的图,S_i含有a_i条边,n≤a_i≤2n-2,,则G可升分解为星的并。本文证明了当n=2k+i(i=0,1,2)时猜想成立。     

寓“猜想”能力的培养于平时教学之中

数学中的猜想能力,是一种高级的创造性思维形式.正如牛顿所说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”数学中就有很多以“猜想”命名的原理与公式,如著名的“哥德巴赫猜想”、“费尔马猜想”等。培养学生某种能力,形成良好的思维习惯,单靠一两个专题报告,或几节课教学是难以完成的,必须寓于平时教学之中,通过艰苦劳动,逐渐完成.本文,根据自己在教学中抓住教材里的有利时机,谈谈培养学生“猜想”能力的一些做法。     

对“组合拓扑方法在图论和拟阵理论中的一些应用”一文的补充

引言 本文对“组合拓扑方法在图论和拟阵理论中的一些应用”一文作些补充,介绍组合拓扑方法在图的平面性判定准则,图和n维复形的连通剖分和Hadwiger猜想等方面的一些应用.     

关于第二类Zagreb指数猜想的一个证明

设G是一个n阶简单图.G的第二类Zagreb指数定义为M₂(G)=■d_id_j.其中d_i表示顶点i的度.Xu等(2014)提出了一个关于第二类Zagreb指数的猜想:在所有阶数为n、边数为m的图中,M₂(G)最大的图是拟完全的.借助于门槛图的Ferrers表的性质,本文将上述猜想转化为组合矩阵论优化问题,并给出该猜想的一个代数证明.     

两个猜想的解决

文[1]给出了如下的两个猜想:1.如图1,设P为四面体ABCD内一点,则PB PC PD相似文献   

叉连图的邻点可区别全染色

邻点可区别全染色猜想得到了国内外许多学者的关注和研究.迄今为止,这个猜想没有得到证明,也没有关于这个猜想的反例.叉连图对邻点可区别全染色猜想成立给予了证明,并给出了精确值.同时,证明了:存在无穷多个图,它们中的每一个图H至少包含一个真子图HH~1,使得x_as~″(H~1)x_as~″(H).     

关于哈密顿路图

本文加强了 Chartrand,Kapoor 和 Nordhaus 等人的关于哈密顿路图的猜想的结果.由此得到一个有趣的推论:对任给 p 阶图 G,总存在一个自然数 m,使得 H~m(G)(m 重哈密顿路图)为 Chartrand 等人的猜想中所列的某类图.     

图的中间图2-pebbling性质和Graham猜想（英文）

本文研究了图的2-pebbling性质和Graham猜想.利用图的pebbling数的一些结果,我们研究了路和圈的中间图具有2-pebbling性质,从而也证明了路的中间图满足Graham猜想.     

图的中间图2-pebbling性质和Graham猜想

本文研究了图的2-pebbling性质和Graham猜想.利用图的pebbling数的一些结果,我们研究了路和圈的中间图具有2-pebbling性质,从而也证明了路的中间图满足Graham猜想.     

二面体群 D_n 上的 H-圈的一个判别条件

设 G 是有限群,S 为 G 的一个非空子集,e 是 G 中的单位元,如果 e(?)S,则称 S 为 G的一个 Gayley-子集.定义 Cayley 有向图 X=X(G,S)如下:V(X)=G,E(X)={(a,b)|a,b∈G,ba~(-1)∈S}.当 S=S~(-1)时 X 是无向图,简称 Cayley 图.若 X 有 Hamiltonian 圈(简记为 H-圈),也称 X 是-H-图.继 Lovasz 提出“仅有有限个顶点传递的连通图是非 H-图”的猜想后,Parsons 等猜测“连通 Cayley 图是 H-图”.但由于要一般性地解决这个问题极其困难,人们开始对一     

关于2-连通“几乎正则”图的Jackson猜想

Bill Jackson在[1]中作为猜想,提出了一个2-连通“几乎正则”(almost regular)图存在Hamilton圈的充分条件:“如果G是一个次序列为(k,k,…,k,k+1,k+1)的2-连通图,其顶点数不大于3k+2时,G是Hamilton图.本文举例说明     

通往图的双圈覆盖猜想的新途径

本文提出了一些新的方法以接近图的用圈二重覆盖边的猜想,通称图的双圈覆盖猜想。因２０余年尚未解决而在图论中著名。从中,也提出了一些新的猜想。并论述了它们之间,以及它们与图的驿圈盖猜想之间的关系。     

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想:与椭圆x2a2 y2b2=1内接,且与圆x2 y2=(aba b)2外切的多边形是三角形.随后证明了猜想.美中不足的是运算量过大,现给出另一证法,以供参考.图1椭圆过椭圆上的点B作已知圆的切线BA,BC.交椭圆于点A,C.设A(acosα1,bsinα1),B(acosα2,bsinα2),C(acos     

K(1,4)-自由的模k泛圈图(英文)

设G是2-连通的K1,4自由图.本文证明了当δ(G)≥k 1时,G是模k泛圈图.这一结果肯定了猜想2,继而也肯定了Thomassen猜想在2-连通图中的正确性.     

图的正(负)特征值平方和界的估计

图G的特征值是指该图邻接矩阵的特征值,图G的正特征值平方和用符号S⁺(G)表示.关于图的正(负)特征值平方和界的估计,[Discrete Math.,2016,339(9):2215-2223]给出一个有趣的猜想:对于连通图G有min{S^-(G),S⁺(G)}≥n-1,其中n表示图G的顶点数,S^-(G)表示图G负特征值的平方和.该猜想至今还远远没有被证明,只是对一些特殊的图类可以证明该猜想成立,如二部图、正则图、完全多部图、超能量图和杠铃图.本文主要证明了对顶点数不超过4的连通图的每个顶点作任意爆破后该猜想成立.