2011年北京市中考一道综合题的多解与拓展

北京2011年中考一道综合题是这样的:在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.第(2)问要求"直接写出",同学们用测量的方法就可得到结论:∠BDG的度数是45°,     

一道习题的两个结论及其推广

<正>请看这样一道习题.题目如图1,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O,过O作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E.结论 (1)∠BOC=90°+1/2∠A.(2)DE=BD+CE.证明(1)∵OB平分∠ABC,∴∠2=1/2∠ABC.又∵OC平分∠ACB,∴∠4=1/2∠ACB,     

一道中考压轴题的求解途径及其拓展

题目 (2010年上海市中考数学第25题)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的⊙A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;(3)若tan∠BPD=1/3,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.     

一道加拿大奥赛题的证明思路及方法

<正>1998年加拿大数学奥林匹克竞赛的第4题为:如图1,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,D和E分别是边AC和AB上的点,使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是直线BD和CE的交点.证明:直线AF和直线BC垂直.     

一道中考数学模拟试题的多种证法

<正>(2016年北京市通州区初三模拟考试数学试卷第28题)在△ABC中,∠ABC=45°,AB≠BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D.(1)如图1,作∠ADB的角平分线DF交BE于点F,连接AF.求证:∠FAB=∠FBA;(2)如图2,连接DE,点G与点D关于直线AC对称,连接DG、EG.(1)依据题意补全图形;(2)用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系,并加以证明.     

这道题可以推广

一、原题《中学生数学》2011(3)·P9《由角平分线的性质想到的辅助线》中例题:如图1,△ABC中,∠ABC=100°.∠ACB的平分线交AB于E,在AC上取点D,使∠CBD=20°,连接DE,求∠CED的度数.二、推广如图2,△ABC中,∠ACB的平分线交AB     

三角形内心的一个性质及推广

<正>图1性质如图1,点P是△ABC的内心,过点P垂直于AP的直线分别交AB、AC于点D、E,则DE是△PBC外接圆的切线.证明∵点P是△ABC的内心,DE⊥AP,显然易证Rt△APD≌Rt△APE,∴∠ADE=∠AED,在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,即2∠ADE=180°-∠DAE①同理∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC②由①、②得∠ADE=12∠ABC+12∠ACB,而∠ADE=∠DBP+∠DPB=12∠ABC+∠DPB,∴∠DPB=12∠ACB=∠PCB,     

等腰三角形的一个有趣性质

<正>笔者在利用几何画板绘制几何图形时,发现等腰三角形一个有趣的性质:在△ABC中,AB=AC,∠BAC≠60°,AD是△ABC的角平分线,点E在直线AC上,且∠DEC=30°,线段DE的垂直平分线交直线AB于点F,则∠ADF等于30°或150°.显然,点E的位置与△ABC的形状有关.分两种情况:一、当∠BAC<60°时,有两种情况.1.当点E在线段AC上时,如图1所示.     

用边来判断角的类型

<正>在△ABC中,设∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c,(1)若∠C=90°,则a²+b2+b²=c2=c²;(2)若∠C<90°,则a2;(2)若∠C<90°,则a²+b2+b²>c2>c²;(3)若∠C>90°,则a2;(3)若∠C>90°,则a²+b2+b²2.结论 (1)是我们熟知的勾股定理,现在对(2)、(3)我们来给出证明.证明(2)分三种情况:(1)当∠B=90°时,结论显然成立;(2)当∠B>90°时,如图1,过点A作AD⊥BC交CB延长线于D,     

2006中国数学奥林匹克(第2天)

1在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆O分别与边BC,CA,AB相切于点D,E,F,连接AD,与内切圆O相交于点P,连接BP,CP,若∠BPC=90°,求证:AE AP=PD.证设AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n.因为∠ACP ∠PCB=90°=∠PBC ∠PCB,所以∠ACP=∠PBC.图1题1图延长AD至Q,使得∠AQC=∠A     

一道中考几何综合题的多种解法

<正>2014年的北京中考24题,是一道基于正确作图的几何综合题,如果同学们对轴对称的概念掌握不好,那么本题的求解将受阻.下面,我们先一起阅读原题:24.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.     

2004年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及参考答案

一、填空题 (本大题满分 48分 ,每小题 4分 )1 .若复数 z满足 z(1 i) =2 ,则 z的实部是.2 .方程 lgx lg(x 3) =1的解 x =.3.在△ ABC中 ,a、b、c分别是∠ A、∠ B、∠ C所对的边 ,若∠ A =1 0 5°,∠ B=45°,b=2 2 ,则 c=.4.过抛物线 y2 =4x的焦点 F作垂直于 x轴的直线 ,交抛物线于 A、B两点 ,则以 F为圆心、AB为直径的圆的方程是 .5.已知函数 f(x) =log3 (4x 2 ) ,则方程f-1 (x) =4的解 x =.第 6题图6.如图 ,在底面边长为 2的正三棱锥 V - ABC中 ,E是BC的中点 ,若△ VAE的面积是 14 ,则侧棱 VA与底面所成角的大小为 (结果用…     

数学问题解答

2006年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)1591如图,△ABC中,CD⊥AB于D,△ACD、△BCD的内切圆分别切AC,BC于E,F.求证:(1)若∠ACB=90°,则∠EDF=90°.(2)若∠EDF=90°,则∠ACB=90°.证明(1)因为∠ACB=90°,CD⊥AB,所以△ACD∽△CDB,所以ACBC=BCDD=CADD=BACC CADD--BCDD.因为A     

探究与三角形有关的直线上点的性质

<正>探究一如图1,在△ABC中,D是BC的中点,M在CD上,AD、AM为∠BAC的等角线,P是直线AM上一点(P不与A、M重合),BP、CP分别交直线AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点N,则AN是△ABC的外接圆切线.先证明一个引理.引理1如图2,在△ABC中,P是BC延长线上一点,若满足AB2/AC2=BP/CP,则AP是△ABC的外接圆切线.     

一道习题的有效改进

<正>在一次中考模拟练习中我遇到这样一道有趣的试题:如图1,△ABC的内心在y轴上,点C的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),直线AC的表达式为y=1/2x-1,则sin∠ACB的值为.2解析由于△ABC的内心在y轴上,OB平分∠ABC,点C的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),可知∠ABC=90°,则直线AB表     

一道竞赛题的多种解法

<正>例(2014年北京市中学生数学竞赛初二级试题)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12AD=10,∠A=∠B=60°,AB=.图1解法1如图1,延长AD、BC相交于点E,则∠E=60°.设AB=x,则DE=x-10,CE=x-8.过点C作CF⊥AE于点F.在Rt△CFE中,∠E=60°,所以∠ECF=30°.于是FE=CE2=x-82.在Rt△CFE中,CF2=CE2-FE2,     

析解一道中考几何填空题

<正>中考填空题涉及知识点多,解法灵活,既能考查基础知识掌握情况,又能考查学生思维水平.现举一例,供参考.题目(绵阳市2017年中考题)如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=1/3AF,连接CM并延长交直线DE于点H,若AC=2,△AMH     

由一道中考题想到的翻折问题

我们先看一道中考题例1如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;(1)延长MP交CN于点E(如图2).①求证:△BPM≌△CPE;②求证:PM=PN;)若直线绕点     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

数学问题解答

2007年8月号问题解答1686△AB(C解中答,由∠A问题>提90供°,人给出)AB>AC,高线BE、CF交于H,O为△ABC的外心,且AO=AH,∠BAC的平分线AD所在直线交BE,CF的延长线于M、N.求证:HM=HN.(福建厦门九中陈四川361证00明4)因为AB>AC,∠ABC<∠ACB,∠ACB 12∠BAC>∠ABC 12∠BAC,即∠ACB ∠CAD>∠ABC ∠BAD,所以,∠ADC<∠ADB,∠CDA<90°,所以N点在HF上,M点在BH的延长线上.延长AD交⊙O于G,BG=CG,连结BG、CG、GO,并延长GO交BC于T,交BAC于O′,O′G⊥BC,垂足T,OT=21AH(三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对…