关于复合函数的一个错误命题

文[1]称：若已知f[g（x）]的定义域为A,则f（x）的定义域就是函数g（x）（x∈A）的值域.错误!例1设函数f（x）=2x,函数g（x）=x2,则复合函数f[g（x）]=2x2.显然,复合函数f[g（x）]的定义域是R,函数g（x）（x∈R）的值域[0,＋∞）,但函数f（x）的定义域是R,而不是函数g（x）（x∈...     

复合函数定义域的求法

1.复合函数的定义设u=g(x)是A到B的函数,y=f(u)是B′到C′上的函数,且BB′,当u取遍B中的元素时,y取遍C(CC′),那么y=f(g(x))就是A到C上的函数.此函数称为由外层函数y=f(x)和内层函数u=g(x)复合而成的复合函数,其中x称为直接变量,u称为中间变量,u的取值范围即为g(x)的值域.     

复合函数定义域的求法

1．复合函数的定义 设u=g（x）是A到B的函数,y=f（u）是B’到C’上的函数,且B B’,当U取遍B中的元素时,Y取遍C（C C’）,那么y=f（g（x））就是A到C上的函数．     

从一道全国高中数学联赛预赛题想起

<正>题目(2014年山东赛区预赛第二题)已知函数f(x)=sinx+(1+cos²x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t2x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t²)(1/2),t∈[-1,1],即原题等价于求g(t)的值域问题,下面从不同角度来研究此函数的值域.一、解法探究解法1平方再开方.     

新题征展(61)

A　题组新编1 已知函数 f(x) =lg(ax2 +ax +2 ) ,其中a为实数 .( 1 )若函数 f(x)的定义域是R ,求a的取值范围 ;( 2 )若函数 f(x)的定义域是 ( -2 ,m) ,求a的取值范围 ;( 3 )若函数 f(x)的值域是R ,求a的取值范围 ;( 4)若函数 f(x)的值域是 ( -∞ ,1 ],求a的取值范围 .2 半球的半径为R(R为定值 ) ,它的内接长方体A1B1C1D1-ABCD的下底面ABCD在半球的底面上 .( 1 )求长方体AC1的体积的最大值 ;( 2 )求长方体AC1的所有棱长之和的最大值 .B　藏题新掘3 已知集合A ={x｜x2 -(t2 +t+1 )x+t(t2 +1 ) >0 } ,B={x｜x =12 m2 -m+52 ,0 ≤m…     

解一道高考题后的反思

题：设a为实数，记函数f（x）=a√1-x^2＋√1＋x＋√1-x的最大值为g（a）． （1）设t=√1＋x＋√1-x,求t的取值范围，并将f（x）表示为t的函数m（t）．     

求函数值域的几种方法

若有非空数集 A到 B的映射 f :A→ B,则函数 :y =f (x) (x∈ A、y∈ B)的值域是自变量 x在 f作用下的函数值 y的集合 C,很明显 ,C B.求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握 ,同时应注重数形结合、等价转换、分类讨论等重要数学思想的理解与运用 .1　定义法要深刻领会映射与函数值域的定义 .例 1　已知函数 f :A→ B(A、B为非空数集 ) ,定义域为 M,值域为 N ,则 A、B、M、N的关系 :(　 ) .(A) M =A,N =B(B) M N,N =B(C) M =A,N B(D) M A,N B说明　函数的定义域是映射 f :A→ B中的原象集合 A,而值域即函数…     

积分第二中值定理中间点函数的连续性及可微性

主要研究按积分第二中值定理∫a^xf（t）g（t）dt=f（a）∫a^ξg（t）dt＋f（x）∫ξxg（t）dt确定的中间点ξ作为x的函数,其连续性及可微性．     

数形结合解复合函数的零点个数的常见解法

本文通过利用函数图像的方法研究复合函数y=g（f（x））的零点问题,即复合函数方程g（f（x））=0的根,令u=f（x）（内层方程）,这样g（f（x））=0就转化成g（u）=0.当外层方程g（u）=0容易求解时,可以先解方程g（u）=0,再解内层方程u=f（x）,这样方程的总个数即为复合函数y=g（f（x））的零点个数.     

反函数教学中应注意的几个问题

我们知道,函数y=f^-1(x)是函数y=f(x)(非空数集A为y=f(x)定义域,非空数集B为y=f(x)值域)的反函数,但学生在学习和应用中极易出现错误,是中学数学教学中的难点之一。     

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值     

从一道开放题的变式再来理解函数的概念

对于函数的概念,苏教版必修数学1是站在集合观点上给出的,一般地,设A,B是两个非空数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f（x）,x∈A,其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域,对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．     

从改变量函数到微分(Ⅰ)

基于无穷小量是极限为零的函数这一事实,视Δy=f（t）-f（x）和Δx=t—x为在点x的任一邻域上有定义的改变量函数,可准确地诠释导数f（x）作为二函数之商的极限的本性,进而自然地揭示微分df（x）=f（x）dx作为一个普通函数的实质．     

EXISTENCE AND UNIQUENESS FOR SECOND-ORDER VECTOR BOUNDARY VALUE PROBLEM OF NONLINEAR SYSTEMS

This paper is concerned with the following second-order vector boundary value problem ：x^R=f（t,Sx,x,x＇）,0〈t〈1,x（0）=A,g（x（1）,x＇（1））=B,where x,f,g,A and B are n-vectors. Under appropriate assumptions,existence and uniqueness of solutions are obtained by using upper and lower solutions method.     

一类值得注意的函数——复合函数

如果y是u的函数,记为y=f(u),u又是x的函数,记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空,则确定了一个y关于x的函数y=f[g(x)],这就是函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,而y=f(u)称为外函数,u=g(x)称为内函数.本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法. 1.求复台函数的定义域 关键是正确分析函数的复合层次,由里向外或由外向里逐层解决. 例1 已知f(x)的定义域为[0,1)若F(x)=f[log1/2(3-x)],则函数的定义域是     

一道联赛题的多种解法

题目（2010年全国高中数学联赛填空） 已知函数f（x）=√x-5-√24-3x,则f（x）的值域为_______． 解法一（复合函数法）通过观察易知数y=√x-5在[5,8]上是增函数,且y=√24-3x在[5,8]上也为增函数,因此f（x）在其定义域[5,8]上为增函数,故f（x）的值域为[-3,√3].     

函数f（x）=ka^x＋（pa^-x） ＋q的对称中心

文[1]给出了函数f（x）=Ca^x＋D/Aa^x＋B对称中心，文[2]又给出了函数g（x）=1g（cx＋d/ax＋b）的对称中心，这两个函数同时具备中心对称的性质，是孤立的还是有某种联系呢？以它们最特殊的两个函数f（x）=a^x＋1/a^x-1,     

一个定理的再推广

定理 若函数f^-1（x），g^-1（x）分别是函数f（x），g（x）的反函数（下同），且g^-1（x）=g（x），则方程f（x）=g（x）有根a←→方程f^-1（x）=g（x）有根g（a）．     

两类创新导数题的思考

创新类型一：隔离直线 已知函数f（x）和g（x）,若存在常数k和b,使得函数f（x）和g（x）对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx＋b和g（x）≤kx＋b,则称直线l：y=kx＋b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．     

多视角求解一道高考模拟函数综合题

题目（2011年山东省高考数学模拟第12题）：设函数f（x）的定义域为D,若f（x）满足下面两个条件,则称f（x）为闭函数：①f（x）在D内为单调函数;②存在区间[a,b]∈D,使得f（x）在[a,b]上的值域为[a,b]．如果f（x）=√2x＋1＋k为闭函数,则实数k的取值范围是