Hamilton-Jacobi-Bellman方程的罚有限元估计

本文的研究对象为Hamilton-Jacobi-Bellman方程,在对该方程作出有限元估计的基础上利用罚有限元方法对其结果进行改进,并得出相应的收敛性和误差估计。     

有限元方法

有限元方法是在生产实践基础上发展起来的,用于解椭圆型方程问题的一类数值方法,特别适合于几何上、物理上比较复杂的问题.在弹性力学领域内已经广泛应用,成效显著.由于方法是高度通用的,对于其它领域的应用发展前景亦是很宽广的.本文将对这个方法的要点作一初步介绍.     

奇异摄动问题最优阶一致收敛的间断有限元分析

采用非对称内罚间断有限元方法(以下简称NIPG方法)求解一维对流扩散型奇异摄动问题.理论上证明了采用拉格朗日线性元的NIPG方法在Bakhvalov-Shishkin网格上具有最优阶的一致收敛性,即在能量范数度量下其误差估计为O(N~(-1)),其中N为网格剖分中单元个数.数值算例验证了理论分析的正确性.     

平面弹性问题自适应有限元方法的收敛性分析

针对平面弹性问题,首先采用基于最新顶点二分法的网格加密方法,给出一种不需要标记振荡项和加密单元、不需要满足"内节点"性质的自适应有限元方法.其次,通过对各层网格上解函数和误差指示子的分析,利用相邻网格层上解函数的正交性、解函数和真解函数的能量误差的上界估计、相邻网格层上误差指示子的近似压缩性等结果,从理论上严格证明了该自适应有限元方法是收敛的.最后数值实验验证了该自适应有限元方法是收敛的和鲁棒的.     

抛物型方程基于POD方法的有限元格式

将特征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, 简记为POD)方法应用于抛物型方程通常的有限元格式, 简化其为一个计算量很少但 具有足够高精度的POD有限元格式, 并给出简化的POD有限元解的误差分析. 数值例子表明在简化的POD有限元解和通常的有限元解之间的误差足够小的情形下, POD有限元格式比通常的有限元格式大大地节省计算量, 从而验证POD方法的有效性.     

非线性sine-Gordon方程的连续时空混合有限元方法

该文将混合有限元方法和连续时空有限元方法相结合,构造了sine-Gordon方程的连续时空混合有限元离散格式,引入独立变量p=u_t来求解,并将时间变量和空间变量都用有限元方法处理.此格式可以将方程降阶,降低有限元空间的光滑性要求,同时在时间和空间两个方向都能发挥有限元方法的优势,获得时空高精度的数值解.理论分析中严格证明了数值解的稳定性,给出了u和p的误差估计.最后通过数值算例的结果展示了格式的有效性和可行性.     

高波数Helmholtz 方程的内罚有限元方法

本文考虑二维和三维区域上高波数Helmholtz 散射问题的线性内罚有限元方法. 该散射问题的边界条件取为一阶吸收边界条件. 本文证明了, 如果加罚参数γ-γ_r+iγ_i 的虚部 γ_i 大于零, 那么内罚有限元方法是绝对稳定的, 即对任意k,h,R > 0 都存在唯一解. 这里k 是波数, h 为网格尺寸, R是区域的直径. 进一步地, 如果|γ_r|≤γ_i≤1, 那么存在与k,h,γ,R 无关的常数C₀;C₁;C₂, 使得当k³h²R ≤ C₀ 时, 该方法的H¹ 误差界为(C₁kh + C₂k³h²R)RM(f, g), 当k³h²R > C₀ 且kh 有界时,H¹ 误差界为(C₁kh + C₂/γ_i)RM(f, g), 其中M(f, g) := (‖f‖_L²(Ω) + R^-1/2‖g‖_L²(Γ)) + R^-1|g|_H^1/2(Γ). 另外, 本文还推导了L² 误差估计. 注意到γ = 0 时内罚有限元方法就是经典的有限元方法, 通过取加罚参数为iγ_>i 并令γ_i 趋于0+, 本文还在k³h²R ≤ C₀ 的条件下, 得到了有限元方法的稳定性和误差估计.作者以前的工作只考虑了加罚参数为纯虚数的情形并且没有考虑对R 的依赖关系.     

对流占优的Sobolev方程的投影稳定化有限元方法

对于对流占优的Sobolev方程,提出了一种新的投影稳定化有限元方法,建立了半离散和全离散的投影稳定化格式,给出了解的稳定性和收敛性分析.该方法能够有效克服对流占优,与内罚方法相比,投影格式更简单,计算量更小,且得到的C—N格式是无条件稳定的,时间精度达到了二阶.最后,通过实验证明,数值结果与理论结果完全一致.     

对流扩散方程的间断时空有限元方法的误差估计

研究了一类线性对流扩散方程的间断时空有限元方法,即空间连续,时间允许间断的时空有限元方法.将有限元方法和有限差分方法相结合,在每一时间层上充分利用Lagrange插值多项式在Radau点处的特性,给出了有限元解的最优阶L∞(L2)模误差估计.     

高波数Helmholtz方程的高阶连续多罚有限元方法的稳定性估计（英文）

本文考虑二维和三维区域上高波数Helmholtz散射问题的高阶(多项式次数p≥2)连续多罚有限元方法.本文证明在加罚参数的虚部大于零的条件下,对任意k, h, p,连续多罚有限元方法是绝对稳定的,即都存在唯一解.这里k是波数, h为网格尺寸.     

高波数波动问题的多水平方法

本文主要讨论求解高波数Helmholtz方程的多水平方法,主要回顾了一些具有代表性的多重网格方法.如Erlangga等人的shifted Laplacian预处理的多重网格法;Elman等提出的修正的多重网格方法;以及我们的基于连续内罚有限元(CIP-FEM)离散代数系统的多水平算法.最后还介绍了求解高波数时谐Maxwell方程的CIP-FEM离散代数系统的多水平算法.     

Morley-Wang-Xu element methods with penalty for a fourth order elliptic singular perturbation problem

Two Morley-Wang-Xu element methods with penalty for the fourth order elliptic singular perturbation problem are proposed in this paper, including the interior penalty Morley-Wang-Xu element method and the super penalty Morley-Wang-Xu element method. The key idea in designing these two methods is combining the Morley-Wang-Xu element and penalty formulation for the Laplace operator. Robust a priori error estimates are derived under minimal regularity assumptions on the exact solution by means of some established a posteriori error estimates. Finally, we present some numerical results to demonstrate the theoretical estimates.     

Analysis of some mixed elements for the Stokes problem

In this paper we discuss some mixed finite element methods related to the reduced integration penalty method for solving the Stokes problem. We prove optimal order error estimates for bilinear-constant and biquadratic-bilinear velocity-pressure finite element solutions. The result for the biquadratic-bilinear element is new, while that for the bilinear-constant element improves the convergence analysis of Johnson and Pitkäranta (1982). In the degenerate case when the penalty parameter is set to be zero, our results reduce to some related known results proved in by Brezzi and Fortin (1991) for the bilinear-constant element, and Bercovier and Pironneau (1979) for the biquadratic-bilinear element. Our theoretical results are consistent with the numerical results reported by Carey and Krishnan (1982) and Oden et al. (1982).     

Error estimate of the P 1 nonconforming finite element method for the penalized unsteady Navier-Stokes equations

We consider a finite element method for the penalty formulation of the time dependent Navier-Stokes equations. Usually the improper choice of the finite element space will lead that the error estimate (inversely) depends on the penalty parameter e{\epsilon}. We use the classical P ₁ nonconforming finite element space for the spatial discretization. Optimal e{\epsilon}-uniform error estimations for both velocity and pressure are obtained.     

混合杂交罚函数有限元方法及其应用

对一般非协调有限元,目前采用最多的两种方法是罚函数法和混合、杂交法.前一种方法总能保证收敛,但精度差,条件数和稀疏性不好;后一种方法则要满足“秩条件”才能保证收敛,故单元的构造受到很大的限制.本文提出把这两种方法结合一起的有限元方法——混合杂交罚函数法.从理论上严格证明了(在非常一般的条件下)这种新方法总是收敛的,并且其精度、条件数以及稀疏性等皆与协调元相同,也就是说都是最优的. 最后应用这一方法具体构造了一个新的九自由度任意三角形弯板单元(每个顶点给三个自由度——一个位移和两个转角),其单元刚度矩阵计算公式与旧的九自由度三角形弯板单元的计算公式相差不多.但它对任意几何形状的平板都收敛于真解,如果真解u∈H3的话,它的三个弯矩具有一阶精度,位移及两个转角均具有二阶精度.     

Discontinuous Galerkin derivative operators with applications to second‐order elliptic problems and stability

A discontinuous Galerkin (DG) finite‐element interior calculus is used as a common framework to describe various DG approximation methods for second‐order elliptic problems. Using the framework, symmetric interior‐penalty methods, local discontinuous Galerkin methods, and dual‐wind discontinuous Galerkin methods will be compared by expressing all of the methods in primal form. The penalty‐free nature of the dual‐wind discontinuous Galerkin method will be both motivated and used to better understand the analytic properties of the various DG methods. Consideration will be given to Neumann boundary conditions with numerical experiments that support the theoretical results. Many norm equivalencies will be derived laying the foundation for applying dual‐winding techniques to other problems. Copyright © 2015 John Wiley & Sons, Ltd.     

求解椭圆边值问题惩罚形式的间断有限元方法

本文提出了一个新的求解二阶椭圆边值问题的惩罚形式间断有限元方法并给出了稳定性和收敛性分析. 特别地,本文建立了间断有限元解的基于余量的后验误差估计,给出了求解间断有限元方程的自适应算法.       

定常Stokes问题的罚函数有限元方法

§1.引言 本文讨论定常Stokes问题的几种罚函数有限元方法.设Ω是R~n中的有界区域,且具有Lipschita连续的边界?Ω.令非f∈(L~2(Ω))~n,则定常Stokes方程的齐次Dirichlet边值问题可描述如下:求(u,p)∈(H_0~1(Ω))~n×L~2(Ω),满足     

Optimal convergence rates for the combined methods of different finite element methods

Coupling techniques are essential to combining different numerical methods together for the purpose of solving an elliptic boundary value problem. By means of nonconforming constraints, the combinations of various Lagrange finite element methods often cause reduced rates of convergence. In this article, we present a method using penalty plus hybrid technique to match different finite element methods such that the optimal convergence rates in the ‖ · ‖_h and zero norms of errors of the solution can always be achieved. Also, such a coupling technique will lead to an optimal asymptotic condition number for the associated coefficient matrix. Moreover, this study can easily be extended for combining the finite difference method with the finite element method to also yield the optimal rate of convergence.