三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

一条似是而非的“定理”

在一本学生用书《几何》(第二册)课堂练习册(上海教育出版社)上有这样两道题 1.如图,要使DE∥BC,那么必须是( )。 (A)AD/DB=DE/BC (B)AD/DB=AE/AC (C)AD/AB=AE/EC (D)AE/AC=DE/BC 2.一条直线交△ABC的边AB于D,交边AC于E,根据下列条件能否判断DE和BC平行。     

三角形中位线定理应用例谈(上)

<正>(一)基础知识连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.已知:如图1,△ABC中,D、E分别是边AB和AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=1/2BC.证明连接CD,     

一个有趣平几公式的对偶式

文 [1 ]给出定理 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ ANC的内切圆半径分别为 r1、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足r =r1 r2 - 2 r1r2h .本文给出它的一个对偶形式 :定理　已知△ ABC中 BC边上的高为h,N为 BC边内一点 ,△ ABN与△ ANC的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径分别为 r1、r2 ,则△ ABC的旁切圆 (在∠ BAC内的 )半径 r满足　　　 r =r1 r2 2 r1r2h 1显然 ,1式等价于　　 2 rh =2 ( r1 r2 )h 4r1r2h 2为证明 2式 ,我们先给出如下一个引理 :引理　在△ ABC中 ,BC边上的高为 h,对应于 A点…     

问题征解

一、本期问题征解 1.在⊿ABC中,AD是BC边上的高(长为h),BC边长为a.将BC边n等分,得分点B_1,B_2,…,B_(n-1),在高AD上依次截取AD的中点A_1,A_1D的中点A_2,A_2D的中点A_3,…     

从一道习题所想到的——兼谈联想、猜想和思维能力的培养

题目:设点D在△ABC的边BC上,且分BC为m∶n.求证:nAB+mAC>(m+n)AD. 证明:如图(1),引BE∥AC交直线AD于     

从一般性角度优化解法

题目如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心     

一道几何试题的多解与变式

<正>1试题呈现题目如图1,已知平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,F是AE上一点,满足FC⊥CD且FC=CD,连接BF并延长,交AD于点G.求证:DG=(?)BF.2试题解答(1)以BF为直角边构造等腰直角三角形解法1如图2,过点F作FH⊥BF交BC于点H.由平行四边形ABCD易得∠BAD=∠BCD,而∠DAE=∠AEC=∠FCD=90°,从而∠1=∠2,     

关于三角形旁切圆半径一个公式的简证

文 [1]的定理 1为 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ AN C的内切圆半径分别为 r1 、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足　　 r =r1 +r2 - 2 r1 r2h . (1)文 [2 ]给出它的一个对偶形式 :定理　△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABC与△ ACN的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径 r′1 、r′2 ,则△ ABC旁切圆半径 r′满足　　 r′=r′1 +r′2 +2 r′1 r′2h . (2 )现给出 (2 )的一个简证 .证明　设△ ABC的面积、半周长分别为△、s,则　　　　　 r′=△s- a,∴　 1r′=s△ - a△ =ssr- 2 aah=1r- 2h…     

一道联赛题的多种证法

2014年广西高中数学联赛第10题为：如图1,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,△ABC的内切圆分别与边BC、CA切于G、F,求证：DE、GF的交点在∠ABC的角平分线上.标准答案给出的证明较为复杂,下面提供几个简单的证法.证法一如图2,设DE、GF的交点为H,K为边AB与圆的切点,连接AH并延长交BC于W.∵DE∥BC,BD=DA,∴AH=HW.     

1980年芬兰等四国国际数学竞赛(于芬兰)

1.在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于(如果存在交点的话)X,Y,证明使BC=XY的一个充分条件是tgB tgC=3,再证明这个条件不是必要的,并且找出使BC=XY成立的充分必要条件。     

对一道中考试题的命制猜想与感悟

1题目呈现 (2010年辽宁本溪市24题)如图1,∠EBF,=90°,请按下列要求准确画图: (1)在射线BE,BF上分别取点A,C,使BC相似文献   

圆与三角形相交或相切的性质

<正>圆与三角形的三边或其延长线相交或相切可分为多种情形,下面介绍有特点的几种情形的性质,与读者分享.情形一如图1,⊙O与△ABC的三边BC、AC、AB分别交于点D_1、D_2,E_1、E_2、F_1、F_2,则(BD_1-CD_2)BC+(CE_1-AE_2)AC+(AF_1-BF_2)AB=0.证明由割线定理得BD_1·BD_2=BF_2·BF_1,即BD_1(BC-CD_2)=BF_2(AB-AF_1),     

帕普斯定理的一般形式

容如下: 如图1,在△ABC中。D是BC边上的中点,则有:AB2 AC2=2(AD2 BD2), 这里所要证明的并不是这个定理,而是其一般形式. 在△ABC中,D是BC边或其延长线上一点,且BD:DC=m=1, 求证:AB2 mAC2=(m 1)AD2 m(m 1)DC2.     

多边形与三次抛物线间的一种美妙关系

定理1.若△ABC的三条边AB、BC、CA(或其延长线)各与曲线(Ⅰ)相交于三个不同     

一道中考折叠问题的三种解法

<正>原题呈现(2017·潍坊)如图1,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD上,记为B′,折痕为CE;再将CD边斜向下对折,使点D落在B′C边上,记为D′,折痕为CG,B′D′=2,BE=1/3BC.则矩形纸片ABCD的面积为____.分析折叠问题是轴对称变换(或轴反     

一道中考题的“进化”——“相似三角形的复习”

中考题(2010山东东营-24)如图1,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG. (1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长; (2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于.x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.     

由余弦定理所想起的

余弦定理除了能“由三角形的两边长及其夹角求第三边长”及“由三角形的三边长求三内角”以外,还能解“已知三角形的两条边长及其中一边的对角求第三边”. [例1]如图1,作△ABC,使BC=4,CA=3,∠B=π/6,并求AB边的长. 作法(1)作线段BC=4; (2)以C为圆心,作半径为3的圆;     

利用三角形三边关系定理证明线段不等

三角形任意两边的和大于第三边是三角形三边关系定理,也是三角形的一条重要性质,在证明线段不等中起着关键作用.例1如图1,已知AC,BD分别是四边形ABCD的对角线,求证:AB+BC+CD+DA>AC+BD.分析:要证结论,可以根据三角形三边关系定理,证出几个适当的线段不等的式子,然后将它们相加,整理得出所要的不等式.证明:由三角形三边关系定理,得AB+BC>AC,①AD+DC>AC,②AB+AD>BD,③BC+CD>BD,④①+②+③+④得2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+DA>AC+BD.例2已知:如图2,D,E是△ABC内的两点,求证:AB+AC>BD+DE+EC.分析:因为…     

数学问题解答

2006年12月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1646 如图,设D是正△ABC边BC上一点,设I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心,△I1I2E是正三角形,E,D位于直线I1I2两侧,求证:DE⊥BC.