某些二位数平方的简捷计算

一、十位数字是9的二位数的平方,可以用公式(9。乙)2一(。。乙场).万’来计算.b=其中1,2,3,一9。 ·表示添写符号.如9,8一98;9‘37一937. b表示b关于10的补数:即b一10一b如2一8. ·bZ表示乙的补数的平方所得的二位数字的数,如奈82-.42- 例1 .98=9604·(xo一8)“一·2“=04,扩62=36=(9·8一8·82=(95一2)·22 932=(9·3一3).3多一(93一7),7“=5649 ,二、十位数字是5的二位数的平方,可用公式 (5·b)“=(25+b)·bZ来计算. 例2 .5a2=(5.8)2一(25一卜8)·8“=3364, 53“=(5,3)“=(25+3)·3“=2809. 三、十位数字为4的二位数的平方,可用公式(4,乙…     

x~3+y~3+z~3=0无整数解的证明

<正> 文1证明了x~3+y~3+z~3=0无xyz≠0的整数解。其中重要的根据是;若s~3=a~2+3b~2,(a,b)=1,(a,b)的最大公约数,记为(a,b),则有s=n~2+3v~2,且a=n(n~2-9n~2),b=3v(n~2-v~2).例如91~3=836~2+3·135~2,求得上述的s=4~2+3·5~2,而不是4~2+3·5~2.     

上期课外练习参考解答

初一年级1.∵　a +b =1a+ 1b=a +bab ≠ 0 ,∴　ab =1,　∴　 (ab) 2 0 0 3=1.2 .(1) 1△ 9=1× 9+ 1+ 9=19,(1△ 9)△ 9=19△ 9=199,[(1△ 9)△ 9]△ 9=199△ 9=1999.(2 )猜想 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9n个 9)=199… 9n个 9.3 .观察可知 ,图①中有 5个三角形 ;图②将图①出现了三次 ,又多出 2个三角形 ,故而②中有三角形个数为 5× 3 + 2 =17(个 ) ;图③包含三个图②又多 2个三角形 ,故而图③中三角形个数为 17× 3 + 2 =5 3 (个 ) ;依此类推图④中三角形个数为5 3× 3 + 2 =161(个 ) .初二年级1.由　a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b)　 =-3…     

《“1984”趣题》的习题解答

1 证明∵(1·2·3…1984)~(1/1984)<1/1984 sum from k=1 to 1984 k=1/1984·(1984(1+1984))/2=1985/2, 上式两边1984次方,得 1984!<1985~(1984)·2~(-1984) 2 解∵ 1985能被5整除。又 1984~(1984)=(1985-1)~(1984)=1985~(1984)-C_(1984)~1·1985~(1983)+C_(1984)~2·1985~(198)~2+…-C_(1984)~(1983)·1985+1 ∴ 1984~(1984)除以5所得的余数是1。 3 证明由题设,得 l~2=a~2+b~2+c~2 且l>a l>b,l>c。∴l~(1984)=l~2、l~(1982)=(a~2+b~2+c~2)l~(1982)=a~2l~(1982)+b~2·l~(1982)+c~(2·1982)≥a~2·a~(1982)+b~2b~(1982)+c~2·c~(1982)=a~(1984)+b~(1984)+c~(1984) 4.证(k≥1)     

一道课本习题结论的推广

人教版全日制普通高级中学教科书(必修),《数学》第一册(上)中,复习参考题三,B组第4题是:有两个等差数列{an},{bn},满足ba11 ba22 …… bann=7nn 32,求ab55的值.解答如下:ab55=22ab55=ab11 ab99=92×(a1 a9)92×(b1 b9)=ab11 ab22 …… ba99=7×99 3 2=1625,现将本题的结论作如下推广.结论1若两等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且TSnn=cann db(ac≠0),则bann=ST22nn--11=ca××((22nn--11)) db.证bann=22abnn=ab11 ab22nn--11=2n-12×(a1 a2n-1)2n-12×(b1 b2n-1)=TS22nn--11=ca××((22nn--11)) db,结论2若两等差数…     

课外练习

初一年级1.已知a +b =1a+ 1b≠ 0 ,试求出 (ab) 2 0 0 3 的值 .( )2 .设A△B =AB +A +B ,如 2△ 3 =2× 3 + 2+ 3 =11.(1)求 [(1△ 9)△ 9]△ 9;(2 )求 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9)3 .观察下列图形 :根据①、②、③图的规律 ,图④中三角形的个数是多少 ?初二年级1.已知a,b ,c为整数 ,且满足a2 +b2 +c2 =1,a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b) =-3 ,求a+b +c的值2 .如图 ,八个点处各写一个数字 ,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数 ,则代数式a +b +c +d -12 (e + f +g +h)a +b +c +d -13 (e + f +g +h)的值…     

若4ab=4a~2 9b~2且a、b为正数

不少的资料上都有这样一道题: 若4ab=4a~2 9b~2,且a、b为正数,求证lg(2a 3b)/r=1/2(lga lgb)。同时还给出了如下的解答。请同学们认真审查一下,看有没有错误,并指出错在哪里?然后再看答案。解法1 ∵4ab=4a~2 9b~2,∴4a~2 12ab 9b~2=16ab,即(2a十3b)~2=16ab。便有2a 3b=4ab~(1/2),从而有(2a 3b)/4=ab~(1/2),故得lg(2a 3b)/4=1/2(lga lgb)。解法2 假定lg(2a 3b)/4=1/2(lga lgb)成立     

上海市1988年数学竞赛试题

o初中一年级(88年l月31日上午8:30一10:30) 本试卷共14题,前12题梅题7分,最后2题每题8分,满分100分.各题只要填最后的结果.不必写心中间的过程. 1.分解质因数:999999= 2.已知白然数u、b、。(其中:)3),a除以c余1,b除以‘·余2,则ab除以。的余数是(23个3)相加,所得的和的未四位数字是 11.从1到10000这·万个自然数中,有个数能被5或能被7整除. 飞2.由偶数数码(零除外)组成的,且能被16整除的最小瓦位数是 13.若记三位数与组成该三位数的各数码之和“二_,、,。.,‘.,_.~~。。。,-- .234的比值为M(如,花位致为234,则二书于;丫),。矛~以。‘,、~,…     

新题征展(29)第5题的推广

贵刊新题征展 ( 2 9)第 5题的推广结论是 :图 1如图 1 ,在△ ABC中 ,CD⊥ AB,∠ C =2θ,CE是∠ C的角平分线 ,CD =h,DE =m,则AB =h( h2 m2 ) sin2θh2 cos2 θ - m2 sin2 θ.下面采用与原题解法相异的等面积法证之 .证明　设 BC =a,AC =b,AB =c,S△ ACE S△ BCE =S△ ABC易知 CE =2 abcosθa b.又因为　 CE2 =h2 m2 ,于是有　 h2 m2 =4 ( ab) 2 cos2 θ( a b) 2 ( 1 )由面积关系及余弦定理得ch =absin2θ ( 2 )c2 =( a b) 2 - 2 ab( 1 cos2θ) ( 3)由 ( 1 ) ( 2 ) ( 3)三式联立消去 a b和 ab后可得　 h2 …     

空间向量解题中的常见错误例析

运用空间向量处理立体几何问题 ,可以减少辅助线的添加 ,避开一些复杂的空间想象 ,降低了解题难度 .但笔者在教学中发现同学们在进行空间向量的运算时常出现错误 .现举例剖析如下 ,供同学们借鉴与参考 .1　混淆向量的和 (差 )与向量的数量积例 1　已知a =( 2 ,- 1 ,5) ,b =( - 3,1 ,4 ) ,求a +b与a·b .错解 :a +b =2 - 3+ ( - 1 ) + 1 + 5+ 4 =8.a·b =( 2× ( - 3) ,( - 1 )× 1 ,5× 4 ) =( - 6 ,- 1 ,2 0 ) .剖析　此题错误原因是将向量加法的坐标运算与向量数量积的坐标运算法则弄混淆 ,也说明对向量加法运算与向量的数量积的实质没有…     

相等之中求不等的一个关系

1　问题提出一次习题课中 ,我选讲了如下习题 :若正数 a、b满足 ab=a b 3,则 ab的取值范围是 .( 1 999年全国高考试题 )求解的基本思路是 :由　 ab =a b 3≥ 2 ab 3,得　 ( ab - 3) ( ab 1 )≥ 0 ,又　 ab 1 >0 ,易得　 ab≥ 9.我为了强调基本不等式的使用条件 ,指出 a、b必须为正数 .未曾想到 ,一位同学马上指出 :a、b为实数 ,这题也能做 .并给出了如下的方法 :构造方程　 ax2 ( 3- ab) x b =0 ,∵　 1是该方程的根 ,∴　Δ =( 3- ab) 2 - 4ab≥ 0 ,　　 ( ab) 2 - 1 0 ab 9≥ 0 ,∴　 ab≤ 1　或　 ab≥ 9,故所求范围…     

对一道竞赛题解法的思考

本刊 2 0 0 3年第 1期刊载的朱启文老师“巧用辅助圆解竞赛题”一文 ,我认为有一道竞赛题答案虽然正确 ,但解法使用了余弦定理 ,超出了初中知识范畴 .原题及解法摘抄如下 :题　A1 A2 A3 …A9是一个正九边形 ,A1 A2 =a ,A1 A3 =b ,则A1 A5等于 (　　 ) .(A)a2 +b2 　　　 (B)a2 +ab +b2(C) 12 (a +b) (D)a +b(2 0 0 2年全国初中数学竞赛题 )解　作圆内接正九边形A1 A2 A3 …A9(如图 ) .连结A1 A3 ,A1 A4,A1 A5.易知A1 A2 =A2 A3 =A3 A4=A4A5=a ,且知A1 A3 =b .由正九边形的定义可知 ,∠A1 A2 A3 =14 0° .∴∠A2 A3 A1 =2 0…     

含向量的方程

在高三的一本数学复习资料中,有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题.下面在该题求解的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程.　　题目　已知a,b,c为非零向量且a⊥b,x∈R,x1,x2 是方程ax2 + bx + c=0的两实根,求证:x1=x2 .1　解法探讨错解　因为a⊥b则a·b=0 .b·(ax2 + bx+ c) =0 ,(b·a) x2 + b2 x+ b·c=0 ,∴　x=- b·cb2 .故,原方程只有唯一解,所以x1=x2 .错因分析　“将原方程两边同点乘b”,不是同解变形.b·(ax2 + b·x+ c) =0成立时,除了ax2 + bx+ c=0外,还有可能是b⊥(ax2 + bx+ c) .所以- (b·c) / b2不一定是原方程的解.…     

新题征展(37)

A　题组新编1 .a、b是非零向量 .( 1 )若 | a+ b|≥ | a| + | b| ,则 (　 ) ;( 2 )若 | a- b|≥ | a| + | b| ,则 (　 ) ;( 3)若 | a- b|≤ | a| - | b| ,则 (　 ) ;( 4 )若 | a+ b| =| a- b| ,则 (　 ) ;( A) a⊥ b　 ( B) a、b同向 ,且 | a| >| b|( C) a、b反向　 ( D) a、b同向2 .已知两平面α、β成 50°角 ,过空间任意一点 P的直线 l与α、β成等角φ,则( 1 )当φ =90°时 ,l有条 ;( 2 )当φ =6 5°时 ,l有条 ;( 3)当φ =50°时 ,l有条 ;( 4 )当φ =2 5°时 ,l有条 ;( 5)…     

错在哪里

问题　已知函数 y =ax2 6 x bx2 1 对于一切实数 x都有 {y| 1≤ y≤ 9},求实数 a、b的值 .不少学生 (还有部分老师 )是这样解的 :∵　函数 y =ax2 6 x bx2 1 的定义域为R,于是 ( y - a) x2 - 6 x y - b =0 ,当 y≠a,由Δ≥ 0 ,得 36 - 4( y - a) ( y - b)≥ 0 ,即y2 - ( a b) y ab - 9≤ 0 ( 1 )又 1≤ y≤ 9,即 y2 - 1 0 y 9≤ 0 ( 2 )而不等式 ( 1 ) ( 2 )同解 ,∴　 a b =1 0 ,　 ab - 9=9,∴　 a =5 7,b =5- 7,或　 b =5 7,a =5- 7;当 y =a时 ,结论也成立 .剖析　这道题与《中学数学》(湖北 ) 1 999年增刊 P1 …     

应用(a±b)~2=a~2±2ab+b~2速算整数的平方

熟记11～25各整数的平方,是速算整数平方的基础。因而本文是在能熟记11～25各整数平方的基础上展开讨论的。一 25～100各整数的平方 1° 25～75各整数的平方 25～50的二位数可表示为50-a(a∈Z,且a≤25),a叫做该二位数对于50的补数; 50～75的二位数可表示为50+a(a∈Z,且a≤25),a叫做该二位数对于50的过数。 (50±a)~2,=50~2±2×50·a+a~2=2500±100a+a~2=(25±a)×100+a~2=〔(50±a)-25〕×100+a~2。上式说明:求25～75各整数的平方,可先求该数与25之差的100倍,再加上补数或过数的平方。     

这样降低难度合适吗? --兼谈学习定势

人教社编写的义务教育初中实验课本《代数》(第一册 )有这样的题目例 1　把下列各式化成最简二次根式( 1 ) 45a2 b(P2 0 5 例 4) ;( 2 )x2 yx(P2 0 5 例5 ) .解　 ( 1 ) 45a2 b =32 × 5a2 b =3a 5b .( 2 )x2 yx =x2 yx =x2 yxxx =x xy .笔者起初认为这种解法是错误的 ,后来发现在后面的内容提要中有这样一段话“为了减少学习中的困难 ,我们规定本章中如果没有特别说明 ,根号内所有的字母都表示正数 .” .无独有偶 ,《全日制普通高级中学 (实验修订本·必修·数学》数列部分有这样一个典型例题 (P1 31 例 3)例 2　求和 :(x+ 1y) + (x+ 1y2…     

2002年全国高中数学联赛山东赛区预赛题解

选择题(每小题6分,共60分) 1.设数列{an}是公比为2的等比数列,且a1·a2……a30=230,则a3·a6……a30等于 ( ) (A)210. (B)215. (C)216. (D)220. 解 令S1=a1·a4·a7……a28, S2=a2·a5·a8……a29, S3=a3·a6·a9……a30,     

诡辩一则--对数值是存在还是不存在

题目　已知实数 a、b满足 a + b =- 1 0 0 ,ab=1 ,问 lga2b+ lgb2a与 lg( 1a+ 1b)的值存在吗 ?若存在求出值来 ,若不存在请说明理由 .解　 lga2b+ lgb2a与 lg( 1a+ 1b)的值均存在 .lga2b+ lgb2a =lg( a2b .b2a) =lg( ab)=| lg1 | =0 ,或　 lga2b+ lgb2a =lga2 - lgb + lgb2 - lga=2 lga - lgb + 2 lgb - lga =lga + lgb =lg( ab) =0 .lg( 1a + 1b) =12 lg( 1a + 1b) 2 =12 lg( a + bab ) 2 =12 lg1 0 0 2 =12 × 4 =2 .诡辩揭密由已知条件 a+ b=- 1 0 0 <0 ,ab=1 >0可知 :实数 a、b均为负数 .从而　 a2b<0 ,b2a <0 ,1a + 1b <0 ,所以 lga2b+…     

2002年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里) 1、设a相似文献