Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Temperaturabhängigkeit der Viskosität von Flüssigkeiten

Zusammenfassung Die Temperaturabhängigkeit der Viskosität von assoziierten und nicht assoziierten Flüssigkeiten wird durch eine Formel mit 3 Parametern beschrieben.Beigefügte Tabellen ermöglichen die Beurteilung der Leistungsfähigkeit dieser Funktion und einen sachlichen Vergleich mit den derzeit bekannten Gleichungen.     

The plane frictionless contact of two elastic bodies — the inclusion problem

Summary The mixed boundary value problem of the contact of two plane elastic bodies of arbitrary shape is solved for zero friction in their contact zone. It is reduced to a system of four singular integral equations referred to the contact zone and the remaining parts of the boundaries of the two bodies. The system is complemented by two more equations derived from the single-valuedness of the displacements along the contact boundaries. The solution of these equations yields the distribution of the contact stresses and the contact length. The method is applied to the symmetric case of an infinite elastic plate containing an oversized elastic inclusion, with and without axial forces applied to the plate at infinity. The evolution of contact relaxation and the progress of the gap between the inclusion and the plate is also given.

---

Der ebene reibungslose Kontakt von zwei elastischen Körpern — Das Problem der Einlagerung

Übersicht Das gemischte Randwertproblem der Berührung zweier ebener elastischer Körper von beliebiger Form wird im Falle verschwindender Reibung in der Kontaktzone gelöst. Das Problem wird reduziert auf ein System von vier singulären Integralgleichungen, welche sich auf die Kontaktzone und die übrigen Ränder der zwei Körper beziehen. Das System wird mit zwei weiteren Gleichungen vervollständigt, welche von der Eindeutigkeit der Verschiebungen längs der berührenden Ränder hergeleitet werden. Die Lösung dieser Gleichungen gibt die Verteilung der Kontaktspannungen und die Kontaktlänge. Die Methode wird auf den symmetrischen Fall einer unendlichen elastischen Platte (mit und ohne axiale Kräfte auf den unendlich fernen Rändern), welche eine elastische Einlagerung mit Übermaß enthält, angewandt. Die Entwicklung der Kontaktauflösung und der Vorschrift der Lücke zwischen Einlagerung und Platte werden mit Hilfe der Lösung obiger Gleichungen angegeben.

     

Grundlagen zur Theorie ringförmiger Tragflügel (frei umströmte Düsen)

Zusammenfassung Behandelt wird die Strömungsanalyse um einen beliebig geformten, drehsymmetrischen Ring (Düse) mit tragflügelartigem Querschnitt, der in einem ganz beliebig gestörten, aber bekannten Strömungsfeld arbeiten soll. Nach Einführung gewisser Vereinfachungen wird der Flügel durch eine Ringwirbelbelegung auf der Skelettlinic des Flügelquerschnitts ersetzt. Für diese ergibt sich eine ziemlich komplizierte, nicht lineare Integralgleichung erster Art mit elliptischen Integralen als Kern. Diese werden nach wachsenden Potenzen des reziproken Abstandes von der Belegung entwickelt, worin sich noch der Logarithmus eingliedert. Die Fintwicklung kann praktisch schon frühzeitig abgebrochen werden. Man erhält so eine Summe von leichter zu behandelnden Kernfunktionen, deren erste die des geraden Stabwirbels ist, während die folgenden nacheinander mit wachsender Krümmung des Rings Bedeutung gewinnen. Führt man sämtliche gegebenen Funktionen und die Belegung auf Fourierreihen zurück, so geht nach Auflösung einiger bestimmter Integrale die Integralgleichung über in ein elementar aufzulösendes System vonm Gleichungen mitm Unbekannten. Diese Gleichungen lassen sich in vielen Fällen sehr einfach behandeln. Das Beispiel einer Düse mit gerader Skelettlinie wird durchgerechnet. Es zeigt sich, da\ die bei einem Tragflügelring entstehende Zirkulation sehr viel grö\er sein kann als bei einem ebenen Tragflügel gleichen Querschnitts bei gleichen Verhältnissen. Die durch das Störungsfeld am Tragflügelring entstehenden Kräfte werden errechnet.     

Eine Scheibentheorie unter Berücksichtigung der Dickenänderung und der Querschnittsverwölbung

Übersicht Die Erweiterung der klassischen Scheibentheorie durch die Berücksichtigung der Dickenänderung und der Querschnittsverwölbung sowie der dazugehörigen Kraftgrößen führt auf ein Randwertproblem 10. Ordnung. Der Aufbau der zusätzlichen Gleichungen zeigt eine formale Übereinstimmung mit den Gleichungen der Reissnerschen Plattentheorie: Die Dickenänderung entspricht der Plattendurchbiegung, die Querschnittsverwölbung der Verdrehung des Plattenquerschnitts. Für die gelochte unendliche Scheibe unter einachsigem Zug existiert eine analytische Lösung der erweiterten Scheibengleichungen in Form abbrechender Fourierreihen. Die Abhängigkeit dieser Lösung von Lochradius, Scheibendicke und Querkontraktionszahl wird diskutiert.

---

Summary Taking into account the transverse deformation, the warping of the cross-section and the corresponding stress quantities a two dimensional theory of the plate in extension is established which leads to a tenth order boundary value problem. The equations in the additional quantities are formally the same as those known from Reissner's theory of the plate in bending: The transverse deformation corresponds to the transverse displacement of the plate in bending, the warping corresponds to the rotation of the cross section. For an infinite plate with a circular cut-out under uniaxial tension an analytical solution exists in form of Fourier-sums. The dependance of this solution on the cut-out radius, the plate thickness and Poisson's ratio is discussed.

     

Wärmeleitungsprobleme für Systeme mit beheizten Rohren und Hohlkugeln in einer unendlich ausgedehnten Umgebung

Zusammenfassung Es werden Gleichungen für die Temperaturverteilungen in einem unendlich ausgedehnten Medium mit beheiztem Hohlzylinder sowie mit beheizter Hohlkugel mitgeteilt. Im besonderen wird der Wärmefluü je Flächeneinheit berechnet, wenn eine bestimmte übertemperatur gegenüber dem gleichförmig vorausgesetzten Anfangszustand an der Wand des Hohlzylinders bzw. der Hohlkugel vorgegeben wird. Ferner wird die übertemperatur berechnet, wenn der Wärmefluü je Flächeneinheit an der Wand des Hohlzylinders bzw. der Hohlkugel vorgegeben wird. Für die beim Hohlzylinder auftretenden Integrale von Besselfunktionen werden Interpolationsformeln und graphische Darstellungen gegeben. Die Lösungen für die Hohlkugel werden in geschlossener Form erhalten.     

Biegung elliptischer und kreisförmiger Platten von veränderlicher Dicke bei hydrostatischer Belastung

Zusammenfassung Die Gleichung der elastischen Fläche der eingespannten elliptischen Platte und der eingespannten sowie der gelenkig gelagerten Kreisplatte gleicher Dicke für gleichmäßig verteilte Belastung wird dazu benutzt, die Beanspruchung solcher Platten bei hydrostatischer Belastung und veränderlicher Plattendicke zu ermitteln. Die Differentialgleichung wird für linear veränderliche Plattensteifigkeit in der Richtung des Druckgradienten streng erfüllt. Die Randbedingungen, werden ebenfalls streng befriedigt. Für dreieckförmige Belastung, die gerade bis zur Oberkante der Platte reicht, werden Zahlenbeispiele durchgerechnet. Für die Kreisplatte wird der Vergleich mit der Platte gleichbleibender Dicke gegeben. Dabei ergibt sich für die eingespannte Platte gleichbleibender Dicke ein Mehraufwand an Werkstoff von 8% gegenüber der Platte von veränderlicher Dicke, wenn die größten Spannungen in beiden Fällen dieselben sein sollen.     

Column buckling under general loads with allowances for pre-buckling shortening and shear deformation

Summary The paper investigates the elastic buckling behaviour of columns under a combined trapezoidal distributed axial load and an end concentrated load. The buckling analysis takes into account the effects of pre-buckling shortening and shear deformation. For shear deformation, Engesser's assumption of the shear force acting perpendicularly to the centreline of the deflected column is adopted. Based on the derived incremental total potential energy functional, the finite element method is employed for solution. The effects of pre-buckling shortening and shear deformation are investigated and approximate formulas are proposed to incorporate them into the assessment of buckling loads for columns.

---

Knickung von Stäben mit Vorstauchung und Schubverformung bei allgemeiner Belastung

Übersicht In diesem Beitrag wird die elastische Stabknickung unter axialer, trapezförmiger Streckenlast und Einzellast am Ende untersucht. Der Einfluß einer Stabverkürzung vor dem Knicken und von Schubverformung wird berücksichtigt. Hinsichtlich der Schubverformung wird Engessers Annahme verwendet, d. h., die Querkraft wirkt senkrecht zur Achse des verformten Balkens. Ausgehend vom Funktional der inkrementellen, totalen potentiellen Energie wird zur Lösung die Finite-Element-Methode benutzt. Die Effekte von Vorstauchung und Schubverformung werden untersucht. Es werden Näherungsformeln für die Abschätzung der Knicklasten vorgeschlagen.

     

A simplified perturbation solution to the large deflection Karman equations of orthotropic composite plates in axial compression and lateral pressure

Summary The buckling and postbuckling behavior of simply supported orthotropic composite rectangular plates in uniaxial compression and lateral pressure is studied by a deflection-type perturbation technique applied to the generalized Karman equations. Comparisons of the predictions by the approach with experiments and other analytical results are made and show that agreement between the present theory and experiments is reasonably better.

---

Eine Lösung der v.-Karman-Gleichungen für große Durchbiegungen von orthotropen Verbundplatten unter Axialdruck und Flächenlast durch Störungsrechnung

Übersicht Das Beul-und Nachbeulverhalten orthotroper Verbund-Rechteckplatten unter Querbelastung und Axialdruck wird mit der Methode der Störungsrechnung die auf die generalisierten von Karmanschen Gleichungen angewandt wird, untersucht. Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit werden mit Versuchsergebnissen und anderen analytischen Lösungen verglichen, wodurch gezeigt wird, daß unter Verwendung der genannten Methode eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen erzielt wird.

     

Nonlinear flexural vibration of moderately thick orthotropic circular plates

Summary In this paper a nonlinear vibration theory which includes the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia is formulated for rectilinearly orthotropic circular plates using Berger's method. A solution to the governing equations for rigidly clamped plates is obtained on the basis of a single-mode approach by use of Galerkin's method and numerical Runge-Kutta procedure. A good agreement is found between present results and those obtained by a more accurate theory for nonlinear static and dynamic cases. Numerical results indicate significant influence of these effects on the vibration behaviour of moderately thick plates, especially high-modulus composite plates. These effects, however, are not so significant for the radius-to-thickness ratio greater than 10.

---

Nichtlineare Schwingungen orthotroper Kreisplatten

Übersicht Eine Theorie nichtlinearer Schwingungen orthotroper Kreisplatten wird mit der Methode von Berger formuliert, wobei Schubverformung und Drehträgheit berücksichtigt werden. Für eingespannte Platten wird mit dem Verfahren von Galerkin eine numerische Lösung bestimmt und mit bekannten Lösungen verglichen. Die numerischen Ergebnisse zeigen, daß der Einfluß von Schubverformung und Drehträgheit bei mäßig dicken Platten beträchtlich sein kann.

     

Instability of the vibrations of a rotating thin disk due to an additional support

Summary Vibrations of a rotating thin disk, such as a floppy disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed with due consideration of the centrifugal force. A solution of the equation of motion is described in the form of a series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions, and a characteristic equation is introduced by the existence condition of the coefficients. The relation between natural frequencies and angular velocity, and regions of instability of free vibrations are shown.

---

Schwingungsinstabilität rotierender dünner Scheiben mit zusätzlicher Stützung

Übersicht Die Schwingungen von rotierenden dünnen Schieben, die am Innenrand fest eingespannt sind, aber an einer Stelle des freien Außenrandes elastisch gestützt sind, werden unter Berücksichtigung der Flickraft analysiert. Hier wird eine Lösung der Bewegungsgleichung durch eine Reihe mit den orthogonalen Eigenformen einer gleichgelagerten nicht rotierenden Scheibe beschrieben, und es wird aus der Existenzbedingung der Koeffizienten eine charakteristische Gleichung eingeführt. Die Beziehung zwischen den Eigenfrequenzen und der Drehzahl sowie die Instabilitätsbereiche der freien Schwingungen werden dargestellt.

     

Zur Frage der Flugleistungen von Drehflüglern

Zusammenfassung Die Glauertschen Gleichungen für die Luftkräfte auf schräg angeströmte Schrauben mit rechteckigen Blättern und mit Roll- und Längsmomentenausgleich durch periodische Blattverdrehung oder Schlagbewegung werden durch eine für das Ergebnis unwesentliche Näherungsannahme vereinfacht und dienen zur Erörterung der Besonderheiten von Hubschraubern, Flugschraubern und Tragschraubern. Für den Schnellflug- und Steigfluggütegrad werden Formeln aufgestellt an Hand deren sich der Einfluß von Leistungsbelastung, Flächenbelastung, Flächendichte, Drehzahl und schädlicher Restwiderstand auf die Flugleistungen leicht übersehen läßt und es werden mit Hilfe der gegebenen Methoden Beispiele für die Ermittlung der Flugleistungen von Drehflüglern gerechnet.     

Dynamic analysis of non-symmetric problems for frictionless indentation and plane crack extension

Two-dimensional dynamic analyses of contact and stress loading problems associated with non-symmetric frictionless rigid indentation and plane crack extension under normal stress are presented. The extension rates of the contact strip/crack surfaces are assumed to be constant and sub-critical. Homogeneous function techniques are used to derive general mathematical solutions which are then fitted to the physical problem by matching the predicted and prescribed displacement/stress distributions on the contact strip/crack surfaces. By studying several examples, it is seen that coupling between inherently symmetric and antisymmetric components of the mathematical solutions complicates this procedure. Moreover, the relation between loading and solution behavior is not always physically obvious, especially with regard to symmetry/antisymmetry.

---

Zusammenfassung Es werden zweidimensionale dynamische Analysen von Problemen der Berührungs und Spannungsbeanspruchung in Zusammenhang mit nichtsymetrischer, reibungsloser und formfester Vertiefung und Verlängerung eines Rißes in einer Ebene unter normaler Beanspruchung diskutiert. Die Rate der Verlängerung der Oberfläche der Berührungsbahn oder des Rißes wird als konstant und unterhalb der kritischen Schwelle bleibend angenommen. Die Methoden homogener Funktionen werden benutzt, um generelle mathematische Lüsungen abzuleiten, die dann dem physikalischen Problem durch Angleichen der erwarteten mit den gemessenen Verteilungen der Verschiebung/Beanspruchung an den Flächen der Berührungsbahn odes des Rißes angepaßt werden. Die Untersuchung meherer Beispiele zeigt, daß eine Verbindung zwischen inhärenten symetrischen und anti-symetrischen Bestandteilen der mathematischen Lösungen dieses Verfahren komplizieren. Ferner ist die Beziehung zwischen der Belastung und dem Lösungsausfall physikalisch nicht immer naheliegend, insbesondere im Hinblick auf die Symetrie/Antisymetrie.

     

Unsymmetrische Biegung der Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Die Differentialgleichung für die Durchbiegung einer Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit wird integriert. Die Lösung der homogenen Gleichung sind unendliche Reihen, die Produkte von hypergeometrischen und trigonometrischen Funktionen enthalten. Die Methode der Variation der Konstanten läßt sich hier nicht so einfach durchführen wie bei der Platte, deren Dicke im Plattenmittelpunkt gleich Null ist, aber das partikuläre Integral der inhomogenen Gleichung kann im allgemeinen durch Probieren gefunden werden. Als Beispiel wird die gleichmäßig belastete Platte ohne Bohrung bei gelenkiger Auflagerung des Außenrandes gerechnet und mit der Platte von konstanter Dicke verglichen. Bei axialsymmetrischer Durchbiegung wird die vollständige Lösung für die Platte mit Bohrung angegeben.     

Zum Einfluß der Kompressibilität des Fluides bei sphärisch schwingenden Gasblasen in Flüssigkeiten

Übersicht Die von Herring und Trilling hergeleitete Differentialgleichung zur Beschreibung der Radialbewegung einer pulsierenden Gasblase in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung der Kompressibilität des Fluides wird ergänzt und numerisch gelöst. Die Ergebnisse werden mit dem bekannten RPNNP-Blasen-Modell, welches die Flüssigkeit als inkompressibel voraussetzt, verglichen. Die eigenen Rechnungen zeigen sehr gute Übereinstimmung mit den Experimenten von Lauterborn und Ebeling. Es zeigt sich, daß auch bei kleinen Radialgeschwindigkeiten der Blasenwand die Kompressibilität der Flüssigkeit eine wichtige Rolle spielt. Die Kollapszeit wird von beiden Modellen gut wiedergegeben.

---

Summary The differential equation of the radial motion of a pulsating gas bubble in a liquid including the fluid compressibility given by Herring and Trilling is completed and solved numerically. The results are compared with the known incompressible RPNNP-bubble model. The own calculations are in a very good agreement with the experiments by Lauterborn and Ebeling. It shows that the fluid compressibility is very important at small radial velocities of the bubble wall, too. The time of collapse is good represented by both models

     

The flow field of Newtonian fluids in cone and plate viscometers with small gap angles

Summary The flow of a Newtonian fluid in cone-plate viscometers is determined by solving the Navier-Stokes equations. It is shown in an order-of-magnitude analysis that the governing equations can be simplified and that the flow field can be split into two parts, if the angle between cone and plate is small. A closedform solution for the inner flow field is established through an iteration procedure. The zeroth-order solution in which the convective terms are neglected is inserted into the governing equations which then can be integrated again. The outer flow field is also described analytically. The solution satisfies the boundary condition of the vanishing radial velocity component at the free surface. The flow is described throughout the whole gap. Velocity components, pressure distributions, torque and normal force due to inertia are calculated. Pressure distributions and the maximum radial velocity are measured. The free surface boundary condition is experimentally examined.

---

Zusammenfassung Es wird die Strömung einer newtonschen Flüssigkeit in Kegel-Platte-Rheometern beschrieben. In einer Größenordnungsabschätzung wird gezeigt, daß die beschreibenden Gleichungen vereinfacht werden können und daß das Strömungsfeld in zwei Teile aufgeteilt werden kann, wenn der Winkel zwischen Kegel und Platte klein ist. Eine geschlossene Lösung für den inneren Bereich wird durch eine Iteration erhalten. Die Lösung nullter Ordnung, in der die Konvektion vernachlässigt ist, wird in die beschreibenden Gleichungen eingesetzt, die dann nochmals integriert werden. Das äußere Strömungsfeld wird ebenfalls analytisch bestimmt. Die Lösung erfüllt die Randbedingung der verschwindenden Radialkomponente an der freien Flüssigkeitsoberfläche. Die Strömung wird im gesamten Scherspalt beschrieben. Geschwindigkeitskomponenten, Druckverteilung, Drehmoment und Normalkraft aufgrund von Trägheitskräften werden berechnet. Druckverteilungen und maximale Radialgeschwindigkeiten werden gemessen. Die Randbedingung an der freien Flüssigkeitsoberfläche wird experimentell untersucht.

---

---

With 14 figures and 4 tables     

Stability of a rocking block on a cylinder,including the effect of initial imperfections of arbitrary magnitude

Summary The effect of initial imperfections on the critical bifurcation parameter of a rocking block rolling without slipping on a cylinder is investigated. The theory is developed in terms of generalized coordinates. It is shown that the influence of the imperfections is modelled by a Whitney cusp. Experiments on simple model blocks and cylinders made of cardboard with sand paper contact surfaces to assure rolling but not sliding are examined. The theoretical and experimental results are in close qualitative agreement. The proposed model also serves as a simple machine to verify by experiment the existence of complementary equilibrium paths.

---

Stabilitätsverhalten eines Schaukelblocks auf einem Halbzylinder unter Berücksichtigung des Einflusses von Imperfektionen beliebiger Größe

Übersicht Der Einfluß von Anfangsimperfektionen auf den kritischen Verzweigungsparameter eines auf einem Halbzylinder abrollenden Sohaukelblocks wird untersucht. Die Theorie ist in verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt, und es wird gezeigt, daß der Einfluß der Imperfektionen als eine Whitney-Spitze dargestellt werden kann. Versuche mit einfachen, aus Pappe mit Sandpapierkontaktflächen hergestellten Blöcken und Zylindern zeigen Ergebnisse, welche die theoretisch hergeleiteten Gleichgewichtskurven experimentell bestätigen.

     

The BIE analysis of the Berger equation

Summary An iterative solution of the nonlinear integro-differential Berger equation by the boundary integral equation method is proposed. The fundamental solution of the linearized Berger equation is used. Both formulations of the problem through the physical and non-physical quantities are given. The proposed method of solution is applied to numerical computation of the finite deflection of a thin circular plate under a concentrated load. An analytical solution of the linearized Berger equation in the case of rotationally symmetrical problem is found.

---

Anwendung der Randintegralgleichungsmethode auf die Gleichung von Berger

Übersicht Bine iterative Lösung der nichtlinearen integrodifferentialen Gleichungen von Berger mittels der Methode der Integralgleichungen wird vorgelegt. Die fundamentale Lösung der linearisierten Gleichungen von Berger wird angewendet. Zwei alternative Formulierungen des Problems mit physikalischen und nichtphysikalischen Größen sind angeführt. Die vorgelegte Lösungsmethode wird zur numerischen Berechnung der Durchbiegung einer mittels Einzellast belasteten, dünnen Kreisplatte angewendet. Fur den Fall eines rotationssymmetrischen Problems wurde eine analytische Lösung der linearisierten Bergerschen Gleichungen gefunden.

     

Zur Festigkeit von umlaufenden und quer zur Drehebene belasteten Stäben,die gelenkig an die Drehachse angeschlossen sind

Zusammenfassung Der gelenkige Anschluß von Drehflügelholmen an der Flügelwurzel erlaubt die Verwendung von so dünnen Holmen, daß die Flügel im Fluge mehr Seilen als biegesteifen Stäben gleichen. Trotzdem ist in den Holmen die restliche Biegespannung für die Festigkeit maßgebend. Es wird ein Verfahren entwickelt, welches gestattet, eine gegebene Biegemomentenverteilung durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor bestmöglich der tatsächlichen Biegemomentenverteilung anzupassen. Die Anwendung des Verfahrens auf die Biegemomentenverteilung eines starren Holmes als Ausgangsverteilung liefert eine gute Näherung und gestattet bei gegebener Massen- und Biegesteifigkeitsverteilung die Angabe der Näherungslösung in geschlossener Form [Gleichung (25) bei konstanter Massenverteilung und Steifigkeit]. Die Durchrechnung eines Beispiels zeigt deutlich die eigenartigen hier auftretenden Verhältnisse insofern, als es sich innerhalb weiter Grenzen als unmöglich herausstellt, die im Fluge auftretende Biegespannung im Holm einerseits durch Verstärken der Wanddicken oder durch Vergrößerung des Holmdurchmessers herabzusetzen, während andererseits einer im Fluge sich günstig auswirkenden Verringerung des Holmdurchmessers infolge der Biegespannungen durch das Eigengewicht im Stand Grenzen gesetzt sind. Die Betrachtung der dynamischen Verhältnisse am gleichen Beispiel zeigt, daß erhebliche dynamische Beanspruchungen infolge der Erregung der ersten Eigenschwingung des Holmes durch periodisch veränderliche Luftkräfte auftreten. Eine Ähnlichkeitsbetrachtung an Hand der entwickelten Theorie lehrt, daß die Grenzen für die Vergrößerung von Drehflügelflugzeugen, wenn nur die Beanspruchungen im Fluge in Rechnung gestellt werden, die gleichen sind wie für Starrflügler, daß jedoch die Berücksichtigung der Biegespannungen aus dem Eigengewicht der Flügel im Stand engere Grenzen für die Vergrößerung der Flugzeuge bedingt als bei dem Starrflügler.     

Analysis of the behavior of a bubble in a viscous incompressible liquid by finite element method

Summary The finite element method is used for the analysis of the behavior of a nonspherical bubble in a viscous incompressible liquid under axial conditions. The finite element approximations of the Navier Stokes equations are formulated by taking velocity and pressure as unknown variables. The flow field is discretized by triangular elements, and the bubble surface is represented by isoparametric elements with curved sides. This numerical technique is applied to the simulation of an initially spherical vapor bubble collapsing near a plane solid wall. It is made clear that a jet formed on the bubble is decelerated by the effect of liquid viscosity.

---

Übersicht Mit dem Verfahren der Finiten Elemente wird das Verhalten einer nichtkugelförmigen Blase in einer zähen inkompressiblen Flüssigkeit bei rotationssymmetrischen Bedingungen untersucht. Die Navier-Stokesschen Gleichungen werden mit der Methode der Finiten Elemente näherungsweise gelöst. Das Strömungsfeld um die Blase wird in kleine dreieckige Elemente zerlegt, wobei die Oberfläche der Blase durch isoparametrische Elemente mit gekrümmten Seiten ersetzt wird. Die numerischen Rechnungen werden für den Zusammenbruch einer Blase, die anfangs kugelförmig war, in der Nähe einer ebenen festen Wand durchgeführt. Das Ergebnis zeigt, daß sich die Geschwindigkeit des in der Blase entstehenden Flüssigkeitsstrahls wegen des Einflusses der Zähigkeit vermindert.