单调性分析的可变多面体法

本文基于充分利用问题本身提供的与迭代过程积累的信息,仿照复形法的框架,提出了一种算法,它由如下部份组成:(1)进行全局单调性分析,对优化模型预处理,使之最大程度地等价简化,(2)利用随机生成或数论中佳格点布置,在可行域上生成初始多面体,(3)根据多面体顶点的座标与目标值,计算加权形心构造下降方向,(4)进行单调性分析,确定搜索步长,获得新的下降可行点,重组多面体,逐步逼近最优点,(5)后期结合采用由最优性准则建立的递推式,进行搜索迭代,以加速向最优点逼近。现着重介绍(3)～(5)。一、加权形心确定搜索方向复形法中形心的确定只使用了多面体顶点的座标信息,如能将顶点的目标值作为“权”引入,将会有利些。     

角度-距离复合变换法消除边界积分方程近奇异性

针对薄型结构边界单元分析过程中出现的近奇异积分问题,研究了采用一种角度变换和距离变换相结合的方法,节省了计算量,提高了计算精度.研究发现,当积分单元上与配置点距离最近的点落在积分单元的边沿或者顶点附近时,经过基础变换后的积分在两个方向都表现出奇异性,因此,对两个方向同时使用一维非线性变换能够切实消除近奇异性.数值算例验证了复合变换对近奇异积分计算精度的提升效果.     

解非线性多解边值问题的异步并行打靶法

在多处理机(MIMD)上用异步并行打靶法来数值求解两点边值问题是最为有效的。这是因为求解过程中可以采用分区搜索的方法,而这种搜索过程几乎是完全独立地进行的.另一方面,非线性的具有多个解的数学物理问题的求解是一个比较困难的问题.因为采用通常的迭代法计算,有时很难求出全部解来(参看[1]、[2]),尤其是遇到所谓“排斥性不动点”(repulsive fixed point)时,一般迭代算法往往失败,而采用打靶法则可能将全部解求出来,如果打靶过程是数值稳定的话.用打靶法计算两点边值问题的文献很多(例如参看[3]、[4]).H.B.Keller 和 A.W.Wolfe[5]1965年就成功地应用打靶法来计算非线性分歧问题,后来有了迅速的发展(可参看文献[6]、[7]、[8]).     

不等式约束优化全局收敛的滤子线性方程组算法

设计了求解不等式约束非线性规划问题的一种新的滤子序列线性方程组算法,该算法每步迭代由减小约束违反度和目标函数值两部分构成.利用约束函数在某个中介点线性化的方法产生搜索方向.每步迭代仅需求解两个线性方程组,计算量较小.在一般条件下,证明了算法产生的无穷迭代点列所有聚点都是可行点并且所有聚点都是所求解问题的KKT点.     

面向全局优化基于分形的混合混沌优化算法

Julia集具有分形结构,一旦确定吸引域边界上任一点,就可通向任一个吸引周期点的吸引域.Newton-Raphson法利用此性质可计算方程所有根,并可精确计算BFGS法和共轭梯度法中下降方向步长,将两种算法分别与混沌优化算法结合,因而从新的视角建立一种融合分形理论的混合混沌优化算法.研究表明,所提出算法的计算效率高于利用Wolf一维不精确搜索求得步长的混合算法,而且混合混沌BFGS算法的优化能力优于混合混沌共轭梯度算法,也说明BFGS的局部搜索能力比共轭梯度法强.     

两个谱共轭梯度法的全局收敛性及数值效果

谱共轭梯度法是求解无约束优化的一种有效算法.该文首先对JJSL共轭参数[Jiang et al.Computational and Applied Mathematics,2021,40（174）]进行投影修正,再通过选取合适谱参数以保证其搜索方向有下降性,从而得到两个有效的谱共轭梯度法.一般假设下,分别使用常规非精确线搜索计算步长,获得这两个新算法的全局收敛性.数值试验结果以及相应性能图进一步说明其数值有效性.     

不等式约束优化一个新型可行QP-free算法

本文对非线性不等式约束优化问题提出了一个新的可行 QP-free 算法. 新算法保存了现有算法的优点, 并具有以下特性: (1) 算法每次迭代只需求解三个具有相同系数矩阵的线性方程组, 计算量小; (2) 可行下降方向只需通过求解一个线性方程组即可获得, 克服了以往分别求解两个线性方程组获得下降方向和可行方向, 然后再做凸组合的困难;(3) 迭代点均为可行点, 并不要求是严格内点; (4) 算法中采用了试探性线搜索,可以进一步减少计算量; (5) 算法中参数很少,数值试验表明算法具有较好的数值效果和较强的稳定性.     

Wolfe线搜索下的两类修正FR谱共轭梯度法

本文考虑无约束优化问题,基于FR共轭梯度法提出两个修正的谱共轭梯度法(ZFR1方法与ZFR2方法),证明两个新方法在标准Wolfe线搜索下搜索方向下降且是全局收敛的.数值结果验证了这两个方法的有效性.     

带有新的迭代格式的内点算法

研究了求解线性规划问题的二阶Mehrotra型预估-矫正内点算法,使用Newton方法求解预估方向和矫正方向,并利用两个方向的一种新的组合方式得到搜索方向.在每次迭代中,要求新的迭代点在中心路径的一个宽邻域内,从而计算出步长参数.通过分析,证明了该算法经过有限次迭代后收敛到问题的一个最优解,并具目前内点算法最好的多项式复杂度O(槡nL).数值实验表明该算法在实践中是有效的.     

巧思维切入,妙视角拓展——一道向量题的探究

破解平面向量问题的两个主要基本思路是:函数法与基底法,借助自身同时兼备“形”与“数”的双重身份,可以进行多层面、多角度的问题创设,融入其他相关的数学知识,吻合高考在知识交汇点处命题的指导精神.结合一道模拟题,从两个基本思路视角切入,多思维解决,多方向拓展,多规律总结,引领并指导数学教学与解题研究.     

一类非单调曲线搜索方法及其收敛性

本文提出一类求解无约束优化问题的非单调曲线搜索方法, 在较弱条件下证明了其收敛性.该算法有如下特点:(1)采用曲线搜索方法, 在每步迭代时同时确定下降方向和步长;(2)采用非单调搜索技巧, 产生较大的迭代步长, 降低了算法的计算量;(3)利用当前和前面迭代点的信息产生下降方向, 无需计算和存储矩阵, 适于求解大型优化问题.     

一般约束最优化强收敛的拟乘子-强次可行方向法

本文讨论一般等式和不等式约束优化问题 ,利用广义投影技术和强次可行方向法思想 ,结合拟 K-T点和拟乘子法 [1] 两个新概念 ,建立问题一个初始点任意的有显式搜索方向的新算法 .证明算法不仅收敛到原问题的拟 K- T点 ,且具有更好的强收敛性 .对算法进行了一定的数值试验 .     

基于信赖域技术的处理带线性约束优化的内点算法

基于信赖域技术,本文提出了一个求解带线性等式和非负约束优化问题的内点算法,其特点是:为了求得搜索方向,算法在每一步迭代时仅需要求解一线性方程组系统,从而避免了求解带信赖域界的子问题,然后利用非精确的Armijo线搜索法来得到下一个迭代内点. 从数值计算的观点来看,这种技巧可减少计算量.在适当的条件下,文中还证明了该算法所产生的迭代序列的每一个聚点都是原问题的KKT点.     

二次半定规划的原始对偶内点算法的H..K..M搜索方向的存在唯一性

主要是将半定规划(Semidefinite Programming,简称SDP)的内点算法推广到二次半定规划(Quadratic Semidefinite Programming,简称QSDP),重点讨论了其中搜索方向的产生方法.首先利用Wolfe对偶理论推导得到了求解二次半定规划的非线性方程组,利用牛顿法求解该方程组,得到了求解QSDP的内点算法的H..K..M搜索方向,接着证明了该搜索方向的存在唯一性,最后给出了搜索方向的具体计算方法.     

巧用数形结合思想的解题探究

数形结合思想在新课程背景下,有其广阔的应用空间.数与形是数学中两个最基本的研究对象.每一个形都蕴涵着一定的数量关系.而数又常常可以通过图形做出直观的描述和反映.“数无形少直观,形无数难八微”,数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来.这主要包括两方面的内容:一是“以形助数”.即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化,从而获得解题方法:二是“用数解形”,即将几何图形的问题经过数量化描述.借助代数计算获得解题方法.     

"算两次"--方法与思想的耦合

“算两次”,又称富比尼 ( G.Fubini)原理 .作为一种重要的数学解题方法 ,散见于各层级、各类型数学问题中 .其实质是将同一个量从两个不同的角度计算两次 ,利用“殊途同归”的等量关系达到“出奇制胜”的目的 .比如立体几何中求距离常用的“三棱锥体积法”(即利用三棱锥可换底的特点 ,两次计算的体积相等 )、证明恒等式中的“两边夹”方法(即通过计算左、右两边都等于第三个量 ,综合而得 )以及解析几何中某些动点轨迹的求法 (根据动点满足的两个条件列出等式 )等等 .从这个意义上说 ,“算两次”并不神秘 ,不仅是我们惯常使用的手法 ,而且分…     

解析几何解答题处理方法探究

近几年,解析几何作为高考必考题频繁出现在最后两题,由于没有形成解题套路,因此学生很难把握如何快速解题.笔者认为从代数角度研究解析几何问题有三个步骤:①“生”点;②“定”点;③“译”点.“生”点即明确关键点生成过程;“定”点即利用代数法确定关键点,若关键点为孤立点,则利用代点法确定点,若关键点为直线与圆锥曲线交点,则利用方程组联立确定点;“译”点即将几何条件代数化.笔者以一道抛物线问题为例,讲解如何“生”点,“定”点,“译”点,并进行两种变式,探究不同情况下如何解题.     

非单调多步曲线搜索方法的收敛性

提出一种求解无约束优化问题的非单调多步曲线搜索方法.此方法具有如下特点:(1)算法在产生下一个迭代点时不仅利用了当前迭代点的信息,而且还可能利用前m个迭代点的信息.这就是多步法;(2)下降方向和步长同时确定,而不是先找到方向,再由线性搜索寻找步长.这就是曲线搜索技术;(3)采用非单调搜索技巧.在较弱的条件下,我们证明了此方法的收敛性.     

诗两首

直接法求轨迹方程的五步骤建系适当 ,力求对称 ,计算简单 ,方程简明 ;动点坐标 ,任意特性 ;几何条件 ,动点适用 ;翻译坐标 ,原始方程 ;化成最简 ,同解变形 ;证明不写 ,莫太高兴 ,特殊情况 ,予以说明 .参数方程参数方程是一双 ,参数作用是桥梁 .纵横关系不明朗 ,这个大忙它来帮 .动点若在曲线上 ,点参设法不能忘 .普参只是形异样 ,二者互化勿缩张 .注 :“二者互化勿缩张”指互化前后做到同解变形诗两首$安徽临泉一中@王峰!236400     

非线性伪单调方程组的谱LS型投影算法

基于谱梯度法和著名LS共轭梯度法的结构,该文建立了求解凸约束非线性伪单调方程组问题的谱LS型无导数投影算法.通过构建适当的谱参数,该算法在每一次迭代中都能保证搜索方向的充分下降性,并且独立于线搜索条件.在适当的假设条件和经典无导数线搜索条件下,算法具有全局收敛性.通过数值实验发现,该算法继承了LS共轭梯度法优秀的计算性能,并提高了稳定性.