等差数列中一定包含等比子数列吗

最近在一本《高考数学模拟题》中见到这样一道题：题1当a、d∈N时，等差数列｛a＋（n－1）d｝（n∈N）中，是否含有无穷的等比数列？试加以证明．原书的解答是这样的：设｛bm｝为等比数列，今b1＝a1＝a，b2＝a＋ad＝a（1＋d），…，bn＝a（1＋d）(m－1)．令an＝a＋（n－1）d，利用数学归纳法，只需证明bm∈｛an｝．当m＝1时b1＝a∈｛an｝，设m＝k时命题成立，即bk∈E｛an｝，则h一a（1＋d）‘－‘一a十id（tEN），当m—k－I－1时，h＋l一a（1十的‘一。（1十N‘－‘（1十山一（a＋id）（1＋d）一a＋（a－f－－l＋id）d一a＋pd．其中P—a…     

一道分式不等式的新证及改进

一道分式不等式：设文［1」、［Zj曾给出证明．本文将原不等式改进为再给出两种证法．先看三个引理：引理1设α1≥α2≥…≥αn＞0，0＜证明可参见［3」．引理2设αi、bi．证明可见[4]．引理3设αi、简证依引理2，并注意到幂平均不等注由题知，易得n—a＞0，而（此处由n（xf十送十…十米）＞（x；十Q＋…＋1）‘，知nb＞a‘，或nb—a‘＞0．）证法2P同证法1．不妨设x；＞x，＞…＞x－＞0，方知于是依弓l理1及幂平均不等式一道分式不等式的新证及改进@孙建斌$福建省泉州市永春县科委!3626001李长明.的灵活运用.中学数学(湖北),1996,2 2…     

对一道习题的思考

从相关习题出发，借助夹逼定理可证明：lim n→∞（b1a^n1＋b2a^n2＋…＋bma6n m）1/n=max{a1,a2,…,am}；设函数φ（x）,f（x）在[a,b]上都是正连续函数，则有lim n→∞{∫^b aφ（x）[f（x）]^n dx}^1/n=max a≤x≤b{f（x）}     

一个伪素数猜想的证明

文［1］中提出一个猜想：“对于每一个伪素数k而言，至少存在一组正整数（a，b），使得本文证明此猜想是成立的如果允许a＝k—1，则此猜想的正确性显而易见，本文限定a＜k一回引理1（欧拉定理）设k是大于l的奇数，NO2，（。）。1（n。edk）其中中（k）是欧拉函数，表示0，1，Z，··，k－1中与是互质的数的个数［2］这一引理表明，对任何大于1的奇数k都存在正整数l’，使得2”。1（inedk）（1）引理2设k为大于1的奇数，。为正整数，且有（1）式成立占是使（1）式成立的最小正整数（在数论中称之为2对模k的指数【川，则有8卜（巨）、（2）…     

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式:设a,b,c为正数,且a b c=1,则有(b1 c-a)(c 1a-b)(a1 b-c)≥(67)3,(b1 c a)(c 1a b)(a1 b c)≥(161)3.为了推广这两个不等式,文[1]提出下面四个命题,要求证明或否定之.设a1,a2,…,an为正数且其和为1.命题1∏ni=1(ai 1ai 1-ai 2)≥(2n-1n)n.命题2∏ni=1(ai 1ai 1 ai 2)≥(2n 1n)n.命题3∏n-1i=0(∑K1j=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(kn nk-1)n.命题4∏n-1i=0(∑K1j=1ai j ∑nj=k 1ai j)≥(kn-nk 1)n.其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为小于n的正整数.本文先证明命题3为真,然后对其余三个命题给出反例.令f(x)=ln(1-1x-x),0相似文献   

设置增量证明不等式

等与不等是对立与统一的一对矛盾，在某种意义下又常常是可以相互转化的．例如在证明不等式的过程中，我们可用设置增量的方法将不等关系转化为相等关系，以达到证明不等式的目的．例1已知a＞2，b＞2．求证：ab＞a＋b．（根据1993年湖北省初中数学竞赛题改编）证明∵a＞2，b＞2可设a＝2＋m，b＝2＋n，m＞0，n＞0．∵ab－（a＋b）＝（2＋m）（2＋n）－（2＋m＋2＋n）＝mn＋m＋n＞0ab＞a＋b．例2设a＞2，给定数列{Xn}，其中证明（用数学归纳法）当n＝1时，x1=a＞2成立．若n＝k时，有Xk＞2，不妨设Xk＝2＋m，m＞0．即，因此对一切自然数n都有…     

关于混合算术──几何平均值不等式的一个简洁证明

F．Holland［1］曾提出如下猜想：猜想设xi＞0（i=1,…,n）,则JI,（J;‘r）、,（JIJ。J）、,…,（J］J。…J,厂的算术平均值不大干的几何平均值．文［fi给出了这个猜想的一个组合证明;文［2］给出了一个归纳证明．但这些证明都相当繁琐．本文给出这个猜想的一个简洁证明．这个证明需用到以下的H6lder不等式和加权算术几何平均值不等式．引理互设几＞O,b。＞O（i—l,…,n）;P＞1,q引理2设a＞O,b＞O,O＜p＜l,O＜q＜l百户十q一1,则有a’b’＜pa＋ah·引理1,2的证明可见怪一本有关不等式的参考书．猜想的证明为符号…     

e~(kx)在解题过程中应用几例

在解题过程中如果能用上ekx，会使解法简单巧妙，下面的例2说明必须会用e－x构造辅助函数。例1设f（x）是定义在［0，］上的连续函数，且证二八x）在肝，音］上连续，八X）＞o，设在X。处取最大值，于是由于八x。）是最大值，人n＜八X。），这就有：用上面的方法可证出在同样可证fseo，以此类推，则有人X）三0。上面的例是我们学校的一次统考题，证法一是学生想起的。例2设人x）在「a，b］上存在n＋l阶导数，且满足广‘’（a）一月‘’（b）—0，足一0，1，2，…，n．（这里／”（a）一f（），f”’（b）一f（））．证明：目七（a，b）使…     

再谈广义奇(偶)函数及其周期性

文［1］对奇（偶）函数的概念作了推广，并对其性质和周期性问题进行了探讨．笔者读后，获益匪浅．现试图将原文论及的问题再作推广．一几个概念定义至对于函数f（x），若存在常数a、b、m、n（m＞0，n＞0），对于其定义域内的任意x：（1）当都有f（a＋mx）=f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义偶函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是偶函数．（2）当都有f（a＋mx）=－f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义奇函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是奇函数．定义2对于一个图形的两部分，从第一部分上的各点作定直线l的垂线…     

(a,b,k)-临界图(英)

设G是一个图且设a，b是非负整数，a＜b．如果消去G的任意K个顶点剩下的图有[a，b]-因子，则称图G是（a，b，k）-临界图，本文给出了一个图是（a，b，k）-临界图的一个充分必要条件，讨论了该条件的一些应用，研究了（a，b，k）-临界图的性质。     

Abel定理在不等式证明中的应用

文[1]介绍了数列求和的一种重要方法——Abel求和法,读后颇受启发.其实,Abel定理不仅在数列求和中十分有用,而且在证明一些著名不等式中也特别奏效,今举例说明.为方便起见,仍把Abel定理摘录如下.Abel定理　设{ak},{bk}为任意两个数列,设Sk=a1 a2 … ak　(k=1,2,…,n),则∑nk=1akbk=Snbn ∑n-1k=1Sk(bk-bk 1)例1　设a,b,c表示三角形的边长,证明:a2(b c-a) b2(c a-b) c2(a b-c)≤3abc1(第6届IMO试题)证　欲证不等式1,只须证a(ab ac-a2-bc) b(bc ab-b2-ac) c(ac bc-c2-ab)≤02由对称性知,不妨设a≤b≤c,记a1=ac bc-c2-ab,a2=bc ab-b2-ac,a3…     

关于折线的一个猜想的证明

文[1]中，王方汉老师有如下猜想：当n为形如4m－1（mEN）的素数时，生成数列凡一l＝（1，2，…，牛／，M，…，2，l）所确定的数列B，，具有遍历性．也就是说，设数列凡1＝（r，12，…，r。－l），h为正整数，B。＝（hi，bZ，…，b。），1＝hi＜bZ＜…＜b。且均为整数，设凡；与B。之间有如下映射关系：。。。。，；；＝（1，2，…，宁，宁，…，2，1）且n为形如4m－1的素数时，数列B。各项被n除的余数恰是0，1，2，…，n－1的一个全排列．显然，数列B。＝（hi，bZ，…，b。）各项被n除的余数恰是0，1，2，…，n一且的一个全排列等价于…     

Radon不等式的推广及其应用

Radon不等式[1]设ai≥0,bi>0(i=1,2,…,n),l∈N,则∑ni=1ail 1bil≥(∑ni=1ai)l 1(∑ni=1bi)l(1)本文将(1)式推广如下:设ai≥0,bi>0(i=1,2,…,n),l∈N,k∈N ,则∑ni=1ail kbil≥(∑ni=1ai)l k(∑ni=1bi)lnk-1(2)证记(2)式左端为A,B=∑ni=1bi.由均值不等式,得以下n个不等式:a1l kb1lA bB1 bB1 … bB1l个 1n 1n … 1nk-1个≥(l k)a1l kABlnk-1.同理a2l kb2lA bB2 … bB2 1n … 1n≥l( lk k)a2.……anl kbnlA bBn … bBn 1n … 1n≥l (kl k)anABlnkq-1.将以上n个不等式的两边分别相加,得AA lBB (k-1)≥(l lk AkB)lni∑=nk1-a1i.约去…     

柯西不等式的解题魅力

平凡无奇的柯西不等式,应用广泛,充满着迷人的解题魅力．定理设a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn∈R, 则(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2．当且仅当a1:b1=a2:b2=…=an:bn时等号成立. 证明构造“数字式”:1 1=2简证之．设k1=a12 a22 … an2,k2=b12 b22 … bn2, 则1=1/k1(a12 a22 … an2),1=1/k2(b12 b22     

一道冬令营赛题的加强

第九届数学冬令营（1994年中国数学奥林匹克）第一题为：设ASCD是一个梯形（AB／／CD），E是线段AB上一点，F是线段CD上一点，线段CE与BF相交于点H，线段ED与AF相交于G．求证：S。C4S。。n（1）文「l」指出，不等式（l）中等号不能成立，即结论修正为"S＿＜十S＿"．考虑它的加强，我们得到：在原题条件下，若设AB-a，W一b（a士b），则有牛刀Sin（2）由于a学b，显然有7尸而＜十，所以（2）式加强了（l）式．为证明（2），先引人引理设0＜人、P＜l，对任意的a、bER"，均有F（人，p）＝7华二十7让二月共二公七当且仅当人一月时…     

柯西不等式中取等条件的妙用

设a1,n2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋62^2＋…＋b1^2）≥（a1b1＋a1b2＋…＋anbn）^2,当且仅当bi=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得ai=kbi（i=1,2,…,n）时,等号成立．     

一个不等式的解集

文[1]用反例否定了不等式l）x]，文[2]给出了此不等式成立的一个条件，但该条件过繁且不够透彻．本文求出此不等式的解集结论已知nN，则不等式的解集是＿1＿，十］＿．＋］1＿D＆M】·＜》＋——巨工为十——乏＼7Mb十——．一l·－－—一D、－17＋］——一rt其中kEZ，i—1，2，…，n一川．证明设x一卜卜ZxI，则0qxI＜1，故原不等式即为（n＋1）hlx〕＋，；Ixl」＜n【（n＋1）卜I－（。；＋1）x所以（n＋l）卜卜」卜（n＋1）卜lxl」＜nl（n＋1）［x］」＋n［（n＋1）x］，即（n＋1）【n《xl」＜nl（n＋1）lxl」．（。）当0＜Ix【＜上…     

第42届IMO第2题隔离的推广

第42届IMO(2001年)第二题为:对所有正实数a、b、c,证明aa2 8bc bb2 8ca cc2 8ab≥1(1)文[1]将其推广为:设a,b,c∈R ,λ≥8,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥31 λ(2)文[2]给出了(2)的一个中间隔离:设a,b,c∈R ,λ≥8,∑a3=a3 b3 c3,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥(a b c)32∑a3 3λabc≥31 λ(3)并把(3)推广到n个字母的情形:设ai∈R (i=1,2,…,n),λ≥n2-1,则n∑i=1ani-2 1ani-1 λa1a2…anai≥(∑ni=1ai3n)32∑ni=1ain λna1a2…an≥n1 λ(4)本文给出(4)的推广,得到命题设ai∈R (i=1,2,…,n),n≥2,k∈R,0<α≤n-1,λ≥n1α-1,n则∑i=1k…     

中值命题的证明技巧

所谓“中值命题”是指与微分中值定理相关的一些命题。这些命题证明的技巧性强，是学习高等数学的难点之一。但是，如果按所证结论对这些命题进行分类，则中值命题不外乎三种类型，且同一类型的证明技巧基本相同。一、证明：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0证明这类命题的基本方法是：验证f（x）在[a，b]或其子区间上满足Rolle定理条件，由Rolle定理即可得命题的证明；个别命题用Taylor公式证明。例1至已知f（）在［a，hi区间上连续，在（a，的内卢（x）存在，又连结A（a，f（》，B（b，人的）两点的直线交曲线y一f（）于C（c，…     

关于一道IMO函数方程试题的再推广

第28届IMO的第四题是一道关于函数方程的试题：求证不存在函数f：N→N，使得对于每个n∈N，f（f（n））＝n＋1987[1]．沈华老师[2]将上述试题推广为下面的定理：定理1设m为自然数，存在函数f:N→N，使得每个n∈N，均有f（f（n））＝n＋m的充要条件是m为偶数．但其证明有一处小的疏漏（见［2］中证明的（2）式）．本文我们首先完善定理1的证明，并给出当m为偶数时满足条件的函数f：N→N的构造与个数．定理1的证明对任何m∈N，假设存在这样的函数f，则有f（n＋m）＝f（f（f（n））））＝f（n）＋m．进而由归纳假设易证：对非负整数k，均…