对有趣的“方中排圆”问题的补注

《中学生数学》2012年第2(下)期刊载了郑泉水老师的文章:"有趣的‘方中排圆’问题",文中提出的问题是:在一个边长为10cm×10cm的正方形中,排列直径为1cm的小圆,使所有的小圆都相切,问最多能排列多少个?郑老师给出的结论是:最多能排106个,共排11排,其中第1-3排每排排10个,第4排9个,第5排10个,第6排9个,第7排10个,第8排9个,第9排10个,第10排9个,第11排10个.笔者读了此文深受启发,同时也产生了对     

对一道高考试题的变式与探究

2011年江西省高考数学试卷第10题:如图1,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一     

对一道高考试题的变式与探究

2011年江西省高考数学试卷第10题：如图1,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）     

探究一道高考试题

试题(2011年高考江西卷理科第10题)如图1,一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.     

全错位排列

定义编号为1、2、3、…、n的n个元素a1,a2,a3,…,an分别排编号为1、2、3、…、n的n个位置,要求元素ai(i=1,2,…,n)不能排在与其对应的第i个位置,这样的排列称为n个元素的全错位排列;所有排列的个数称全错位排列数.     

全错位排列

定义 编号为1、2、3、…、n的n个元素a1,a2,a3,…,an分别排编号为1、2、3、…、n的n个位置,要求元素ai（i=1,2,…,n）不能排在与其对应的第i个位置,这样的排列称为n个元素的全错位排列;所有排列的个数称全错位排列数.     

圆环的变身“魔术”

<正>某天,我突发奇想:求圆环的面积除了用大圆面积减小圆面积之外,还有没有其它方法?想着想着,我突然灵机一动:求面积时,是不是可以把圆环看成是一个等腰梯形,梯形上底是小圆的周长,下底为大圆的周长,高是小圆和大圆的半径差.实践是检验真理的唯一标准,我准备来验证下自己的想法.我先在草稿纸上画了一个圆环,大圆半径为2cm,小圆半径为1cm.一般情     

扰排问题的再拓广

问题 1　将 7个元素“0 ,1 ,甲 ,乙 ,A,B,C”全排列 ,若首位不排数字 ,未位不排字母 ,且正中间 (第四位 )不排汉字 ,问有多少种排法 ?问题 2　大于 1 999且没有重复数字的四位数 ,若其百位数字不是奇质数 ,十位数字不是 2的正整数指数幂 ,则这样的四位数有多少个 ?为了统一解决此类排列问题 ,作如下定义　在 n元集合 I={1 ,2 ,,… ,n}内 ,给定 m( m≤ n)个互不相交的子集 H1,H2 ,… ,Hm,若从 I中取出的 m元排列 i1i2 … im 满足i1 H1,i2 H2 ,… ,im Hm,( 1 )则称其为 ( H1,H2 ,… Hm)型扰排 ,简称 H -扰排 .注意当 Hk= 时 ,( 1 )式…     

智慧窗

<正>1巧妙的七巧星把1到10的10个数,填到图中的圆圈中,使半圆中的两个弓形上的7个小圆里的数值之和都等于40,你能填上吗?(福建省漳州市角美龙池开发区鸿华五金店(363107)洪振铎)2面积之积的最值如图2.在正方形ABCD内,有五个边长     

错排问题的递推求解

一、错排问题现有五件球衣分属五个运动员,现问五个运动员都不穿自己的球衣,而穿其它球员的球衣,这样的穿法有几种?这就是5个元素的错排问题.就一般而言,有几个不同的元素,它们一一对应于几个位置,如果这n个元素都不排在自身对应的位置上,这种排列的方法称为几个元素的一个错排.现要计算这种错排的个数.大数学家欧拉曾用容斥原理求出了n个元素的错排个数为:Dn=n!1-11!+21!-31!+……+(-n1!)n这是运用容斥原理解决问题的一个典范.现从另一个角度出发,运用错排问题自身的递推规律,求错排问题的解.二、错排问题的递推规律设有n个不同的元素a1,a…     

填数趣题两则

<正>题1请将2²6中13个偶数分别填入图1中的13个小圆圈内,使2、0、1、6各个数字上四个小圆圈内四个数的和都相等,那么这个和最大是__,最小是__,请分别填出一个图来.分析与解现用整体求和法来求解:在图1中,数字2、0、1、6上各有四个小圆圈,故共有(4×4=)16个数,但题中只有226中13个偶数分别填入图1中的13个小圆圈内,使2、0、1、6各个数字上四个小圆圈内四个数的和都相等,那么这个和最大是__,最小是__,请分别填出一个图来.分析与解现用整体求和法来求解:在图1中,数字2、0、1、6上各有四个小圆圈,故共有(4×4=)16个数,但题中只有2²6中的     

解排列组合题的十二个策略

由于排列、组合应用题条件千变万化,应用形式广泛,具有条件隐晦、思维抽象且数值较大、不易验证等特点.因而在解题时要做到排、组分清,加乘辨明,避免重漏,多解验证. 一、特殊要求优先考虑 例1用1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有() A.24个 B.30人 C.40个 D.60个 解析:因为是三位偶数,则个位必须是特殊元素2或4,要优先考虑,有两类情况;其他两位从剩下的四个数中选排,故有2·A24 =24个,即应选A. 例2从10人中选4人排成一排,其中甲不站排头,乙不站排尾,有多少种站法?     

游戏中的概率问题——高尔顿板

<正>在老北京的胡同里曾流行一种街头赌博游戏,如图1所示:在一个透明的玻璃器皿内有一个钉板,钉板上钉上一排排互相平行、间隔相等的铁钉,最上面一排是三个,最下方用一些隔板隔开,形成很多小格子.两角钱一次投球机会,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的小圆玻璃球,经过多次碰撞后最终落入底     

填数趣题

<正>图中的五角星共有15个小圆在各圆内分别4¹8这15个小圆圈,请在各圆内分别填入418这15个小圆圈,请在各圆内分别填入4¹8这15个正整数,使得图中每条直线上5个小圆圈内的数的和都等于51,请设法填出一种来。     

圆和椭圆的一个相似性质

联想是我们学习的重要方法,它也是我们探索未知的重要途径.本文从圆的一个性质探索到椭圆的一个相似性质,供大家参考. 1.若两个圆同心,则小圆的切线被大圆所截得的线段被小圆的切点平分(如图1).     

智蕙窗

<正>1趣换数字今年是本刊创立32周年,请将图中"祝本刊创立三十二周年"10个数字换成0⁹这10个数字,使这四层数字都能各自成为一个自然数的平方.(北京市海淀区世纪城三期时雨园11-2-8B(100097)胡怀志)2圆环填数你能把数字1至9分别填入三小一中一大五个圆环中的小圆圈内,使每个大小圆环上的三个数字之和都等于15.     

重复组合定理再一证明

在数学通报1955年7号陈重穆君证明了重复组合定理,即:n 个相异文字取 r 个的允许重复的文字的组合数为 C_r~(n+r-1).读后很感愉快,但这定理尚可另外简单地证明如下:把这 n 个不同的文字进行编号,可得 x_1,x_2,…x。对每一可能得到的组合,按编号顺序作成排列,即若是在排列中 x_i 在 x_j 前,即必需先有 i≤j.由是任一重复组合必有且仅有一按序的排列和它对应.任一按序的排列必有且仅有一重复组合和它对应.故不同的重复组合数即等于不同的按序的排列数.     

浅谈相同元素的排列问题的解题技巧

<正>在排列组合的有关问题中,有一种是相同元素的排列问题,学生对不同元素的排列问题很熟,而对相同元素的排列问题较陌生,下面简单地谈谈常见的几种题型及解题技巧.题型一:指标分配问题【例1】把10个保送生预选指标分配给高三年级六个班,每班至少1个,共有多少种分配方案?     

初三几何第二学期自测题

注 :本组题可作为复习几何第三册内容后的综合测练用 ,测练时间建议用 1 0 0分钟 .　　一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .已知sinα=25 (∠α是锐角 ) ,则cosα =,tanα = ,cotα =.2 .两个以点O为圆心的同心圆中 ,大圆的弦AB与小圆相切 ,如果AB的长为 1 2 ,大圆的半径为 1 0 ,那么小圆的半径为 .3 .在离旗杆 1 5米的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α ,如果测角仪高为 1 .4米 ,那么 ,旗杆的高为米 (用含α的三角比表示 ) .4.在⊙O中 ,弦AB所对的圆心角为 60°,⊙O的半径为 3cm ,则AB的长为 ,AB的弦心距为.5 .一个正六边形的边长…     

全错位排列的一种新解

回自同空四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，地四张贺年卡不同的分配方式有（A）6秆（B）9科（C）11种（D）23种（1993年全国高考题）以上题目属全价位排列问题，其解法甚多，本文利用“分类”的方法给出一种新颖的解法．解四个元素全排列可分成以下四类：4个元素全措位排列；恰有3个元素全错位排fo；恰有2个元素全错位排列；没有元素错位排列．于是有：引一at十q·a3十q·3：＋1（。）其中a；（2＜i＜4）表示i个元素全错位排列数，易有a：一1，as—2，故由（。）式有：a．＝41－q·a。－－q·a。－1…