由三角形投影问题再探椭圆面积

椭圆面积公式S=πab，其中π为圆周率，α、b分别是椭圆半短轴、半长轴的长．关于椭圆面积公式的证法有多种，文献[1]利用仿射变换与仿射不变量推导出椭圆面积公式，文献[2]通过对单位正方形的拉伸（压缩）变换前后面积关系的讨论，给出了椭圆面积公式的又一证法．文献[3]利用初等数学的方法，推导出椭圆面积的计算公式．本文利用投...     

三角形中线长度计算面积公式的简证

文[1]利用余弦定理及三角形面积公式推导出三角形中线长度计算面积公式：如果m，n，P分别是△ABC三边上的中线，那么     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

三角形的一个面积计算公式

文[1]给出了一个利用三角形三条中线长度计算三角形面积的公式：     

焦点三角形面积的计算方法再探

在圆锥曲线中，焦点三角形引人注目，对于椭圆焦点三角形的面积公式S=b^2tan a/2和双曲线焦点三角形的面积公式S=b^2 cot a/2是大家都十分熟悉的，文[1]、[2]在其基础上推出了另四类公式，在它们的启示下，笔者再作进一步的研究，又得到了三种不同的表达形式，现论述如下，供同行教学参考．     

直角三角形直角边卷成半圆时斜边所成的曲线

文[1]提出了一种椭圆周长的推导“方法”，认为圆柱面上的半椭圆的展开图为直线段而得到椭圆周长公式为C椭=2√4a^2＋（π^2-4）b^2（a，b分别为椭圆的长、短半轴长），文[2]指出该公式不成立，并得出半椭圆的展开图为三角曲线．事实上，我们知道椭圆周长涉及到第二类椭圆积分，故椭圆周长是不能用初等函数来表示的，然而，文[2]提出了一个没有解决却又耐人寻味的问题如下．     

直角三角形直角边卷成半圆时斜边所成的曲线

文[1]提出了一种椭圆周长的推导“方法”,认为圆柱面上的半椭圆的展开图为直线段而得到椭圆周长公式为C_椭=2(4a~2 (π~2-4)b~2～(1/2)(a,b分别为椭圆的长、短半轴长),文[2]指出该公式不成立,并得出半椭圆的展开图为三角曲线.事实上,我们知道椭圆周长涉及到第二类椭圆积分,故椭圆周长是不能用初等函数来表示的,然而,文[2]提出了一个没有解决却又耐人寻味的问题如下.问题1既然半椭圆的展开图不是直线,那么将直角三角形(ABC)的一直角边(AC)卷成半圆(如图1,图2),它的斜边(AB)将会是怎样的曲线呢?也就是,如果一只蚂蚁从点A绕圆柱侧面爬行到…     

用祖暅原理求平面图形面积的探索

我们知道：能用初等方法求出面积的平面图形有圆与多边形（可分割成三角形来求）,除此以外就屈指可数了．本文与同学们一起探索用祖暅 原理求平面图形的面积,直到推导出椭圆的面积公式,一起来吧,其乐无穷。     

椭圆中焦点三角形面积公式的应用

本文给出椭圆的焦点三角形与夹角有关的面积公式,并用分割法给出椭圆中与焦点有关的三角形的另一面积公式,然后通过类比不难得到圆锥曲线中其它相关结论,最后给出这些公式及变式的应用．     

三角形中线长度计算面积的公式的简证

文[1]给出了利用三角形中线长计算其面积的公式：如果m，n，p分别是△ABC三边上的中线。则S△ABC=√（m＋n＋p）（m＋n-p）（m＋p-n）（n＋p-m）/3（1）文[1]给出的证明较为复杂，本文给出一种简便的证法．     

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想：与椭圆x^2/a^2 ＋ y^2/b^2 =1内接，且与圆x^2 ＋ y^2 = （ab/a＋b）^2外切的多边形是三角形．随后证明了猜想．美中不足的是运算量过大，现给出另一证法，以供参考．     

椭圆中一类三角形面积的最大值

给定一椭圆和它的一条定长的动弦,探求以动弦为一边,另一个顶点为椭圆中心的三角形面积的最大值是一个有意义的问题,本文给出这类问题的一种浅显的解法.首先给出下面的引理.引理AB是椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)的一条弦,c为半焦距,d为椭圆中心到弦AB所在直线的距离,若弦AB的倾斜角为θ,记,f(θ)=a~2-c~2cos~2θ,则     

关于椭圆内接n边形面积最大值问题的解答

文[1]数学疑难专栏提出:圆x~2+y~2=r~2的内接n边形中,具最大面积的是圆内接正n边形.那么,设a>b>0,椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的内接三角形的最大面积是多少?内接四边形呢?内接n边形呢?,对于前两问,文[2]通过下面两个定理已给出解答.     

凸四边形面积公式的另证

贵刊文[1]用分的方法把四边形面积分成两个三角形的面积,使用正余弦定理结合三角形的面积公式证明了凸四边形的一个面积公式：     

三分拆的应用——整边三角形

本文利用生成函数给出了整边三角形的个数 T( n)公式的一个直接证法 .然后给出了 T( n)的性质 ,并就两种特殊情形给出了 T( n)的记数公式     

新常数μ,θ和新公式π=(1/2)e~θ的含义与应用

作者在文献[1]和[2]中提出了新常数μ,θ和新公式π=1/2 e~θ.在此说明它的深层含义:新常数μ是隐藏在欧拉常数γ后面的常数;新常数θ是μ和γ的完美组合.新公式给出了π和e之间的实数关系,它不同于欧拉公式e~(πi)=-1的虚数关系.新公式的典型应用是π和e之间的转换,以及μ和γ之间的转换.本文利用μ的计算公式,进行计算机求解,通过新公式,能很快求出欧拉常数γ.本文对概率统计中很多常用公式,用e~(θ/2)号代替(2π)~(1/2),极大简化了这些公式.     

椭圆内接n边形面积最大值的简证

文[1]探求了椭圆内接n边形面积最大值.本文给出一个构造性的简证,供参考.引理圆柱形物体的斜截口为椭圆.简析如图1,OA     

斜截圆锥体积的推导

利用圆锥和平面截出的椭圆的焦点的几何性质,我们给出推导斜截圆锥体积公式的一个简单方法.方法只涉及三角和几何方面的初等运算.     

类比梯形推导棱台体积公式

类比,在数学学习中起到至关重要的作用,不仅一些结论可以通过类比得到,而且在方法上也可以通过类比．在推导棱台体积公式时,通过降维变成平面图形——梯形,先给出梯形面积公式的两种证法,而后将这两种方法类比应用到棱台上求体积,实现问题的圆满解决．     

有心圆锥曲线涉及三角形面积的一个关系式

笔者在研读文[1]后偶尔发现了有心圆锥曲线（椭圆、圆、双曲线）中涉及三角形面积的一个关系式．