莫莱定理的一个新证

莫莱定理的一个新证广州师范学院数学系张映柬本文给出莫莱定理一个纯几何的构造性证明，它比文［１］［２］所列几何证明，有其独特和简练之处．莫莱（Ｍｏｎｅｙ）定理将△ＡＢＣ各内角三等分，则每两个角相邻的三等分线交成正三角形ＰＱＲ．证明设则作△ＥＢ’Ｃ’在外...     

三角形与其内外莫莱三角形面积比的最小值

20世纪初，著名的数学家富兰克·莫莱发现： 性质1将任意三角形各角三等分，则每两个角的相邻三等分线交点构成正三角形的顶点，此三角形称作内莫莱三角形．     

外莫莱三角形的一个性质

将ABC的各外角三等分，每两个外角的相邻的三等分角线相交得DEF，称之为西ABC的外莫莱三角形．由文[1]知AD、BE、CF相交于一点．对于△ABC的外莫莱三角形△DEF,有如下性质．定理△ABC与其外莫莱三角形△DEF对应顶点连线AD、BE、CF共点于西ABC的内心的充要条件是bABC为正三角形．记bABC的三内角为A、B、C，定理的证明需用到如下事实：，＿。。＾．＿＿。＿，L—B、－1引理1在西ABC中，有sinz（士丁Q）＜十，同理可证其它两丸定理的证明：必要性容易证明，这里从略，下证充分性．本文绘出了文［2］提出的一个猜想的证明…     

三等分角线构成的三角形的性质

笔者在研究中惊奇地发现三角形有关角三等分线的交点构成的三角形有许多美妙的性质，特介绍如下，以飨读者．引理对任意△ABC，如果存在∠β，∠γ，使1二十七个莫莱三角形熟知的五个莫莱三角形及其位置关系见文[6]，而笔者在研究中又惊奇地发现；定理1如图1，与任意△ABC每边相邻的每两个优角（大于平角而小于周角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的优角）相邻的三等分线的反向延长线的交点构成正△D8E8F8．且边长是：图1图2定理2如图2，任意△ABC任意一个优角与另两个劣角（小于平角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的劣角）中，与每边相邻的…     

一个猜想的否定──莫莱三角形的两个性质

将任意△ABC各内角三等分，每两个角的相邻三等分相交得△PQR（内莫莱三角形），AX、BY、CZ分别为角A、B、C的平分线，且它们与QR、RP、PQ的交点分别为X、Y、Z（阅图1）．季平龙猜想「”：A、X、尸；BJ、Q；C、Z、R分别荣线．本文否定这一猜想．H结出寞京三角形两个三线并点在质。性质ig凸ABC为非着腰三角形，则在上述记自下，人、X、P；B、Y、Q；C、Z、R＄ffi三点不某城．任回纽图1，在西BPC中，由正孩定理而在西ABP5凸ACP中，用正弦定理可得由①、②可得面ABC为非等腰三角形，＆ZBAPfZCAP．又AX为Z人的平分线…     

外莫莱三角形的几组对偶性质

将任意三角形的外角三等分 ,以分别接近于三条边的外角的三等分线的交点为顶点的三角形称为外莫莱三角形 .本文将给出外莫莱三角形的三组对偶性质 .图 1性质 1　如图 1 ,设△ PQR为△ ABC的外莫莱三角形 ,AD⊥ QR于点D,BE⊥ RP于点 E,CF⊥ PQ于点 F.则 PD、QE、RF相交于一点 .证明　由文 [1 ]知AQ =8Rsin B3sin( 6 0°- B3) sin( 6 0°- C3) ,AR =8Rsin C3sin( 6 0°- B3) sin( 6 0°- C3) ,∠ AQR =C3,　∠ ARQ =B3.而　 QD =AQcos∠ AQR,DR =ARcos∠ ARQ,∴　 QDDR=tan B3cot C31同理 REEP=tan C3cot A32PF…     

涉及三等分角线的两个重要结论

涉及三等分角线的两个重要结论李平龙（江苏省灌云县中学）莫勒定理［１］是涉及三角形中三等分角线的著名定理，被数学家奥克莱赞为：“数学中最令人吃惊而又全然意外的定理之一，如同明珠一般，鲜有能与之匹敌者．”对此定理的研讨至今仍经久不衰．文［２］、［３］分别...     

关于莫莱三角形两个猜想的修正

文［１］首先证明了莫莱三角形的一条性质：性质１　将△ＡＢＣ各内角三等分,每两个角的相邻三等分线相交得△ＰＱＲ,∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的平分线分别与ＱＲ、ＲＰ、ＰＱ交于点Ｘ、Ｙ、Ｚ,则ＰＸ、ＱＹ、ＲＺ三线共点．最后猜想：性质１中三点Ａ、Ｘ、Ｐ;Ｂ、Ｙ、Ｑ;Ｃ、Ｚ、Ｒ分别共线;进而猜测△ＡＢＣ与其内莫莱△ＰＱＲ对应顶点的连线：ＡＰ、ＢＱ、ＣＲ共点,且该点为△ＡＢＣ的内心．经探究,笔者发现：上述两个猜想并不成立．现修正为如下两个命题．命题１　在性质１的条件下,Ａ、Ｘ、Ｐ;Ｂ、Ｙ、Ｑ;Ｃ、Ｚ、Ｒ分别共线的充要…     

Morley逆定理的一个证明

1900年当代著名的代数几何学家Frank. Morley(1860—1937)在《美国数学学会译丛》上发表了“平面n条直线的度量几何”一文,给出并证明了关于平面上n条直线的性质的一些相当一般的定理,作为这些定理的一个非常特殊的结果,即世人称谓的莫雷三等分定理(Morley Trisector Theorem)引起了过去80年来数学界的广泛注意,这是欧氏几何经过几千年的锤炼以后所能发现的为数极少的新的定理之一。莫雷三等分定理任意三角形OPQ的三个内角的相邻三等分角线的三个交点A、B、C组成一个正三角形。(如图一)     

三等分线段的方法及其推广

初中已经学过用平行线方法三等分线段.现在向大家介绍另一种尺规法来三等分线段.这种方法由“垂线法三等分线段”和“尺规作线段垂线”组合而成.一、垂线法三等分线段如图,AD=DE=EC,FE、HD都垂直AC,又AC⊥AB,PF⊥FE,QH⊥DH.不难得出P、Q是AB的三等分点.(平行线等分线段定理)     

一个新定理的推广

文[1]得到的一个新定理如下：定理如图图ABC各角顶点与对边三等分点的连线中，相邻两条连线分别交于P、Q、R，则面PQRABC，且相似比为1：5．仿文[1]的证明方法，此新定理可以推广为：命题如图ABC各角顶点与对边。等分点的连线中，相邻两条连线分别交于P、Q、R，则面PQRABC，且相似比为时AA；为中线．RQ—QP—PR—0，即P、Q、R重合一，k．，这即为西ABC的重。G定理．当n—3时即为文［fi中的新定理．一个新定理的推广@孙哲$沈阳市于洪区供销联社!1101411于新华.一个新定理.中等数学,1997,1…     

贺芳第一与第二定理在一般长方形中的拓展探究

一、前言 在折纸数理学中,芳贺第一定理是指将一张正方形纸的右下顶点C翻折至上边AB中点C '时,底边CD的翻折线C 'D '与AD的交点G是AD的三等分点(如图1);芳贺第二定理是指将一张正方形纸的右上顶点B以右下顶点C与上边AB中点E的连线段为折痕翻折至B '时,EB'的延长线与AD的交点H是AD的三等分点(如图2).文[1]对芳贺第一定理进行了三个方面的一般化,笔者受其启发,对第二个方面的一般化(正方形→长方形)进行更深入地探究,并将探究扩展到芳贺第二定理上,期望得到关于这两种折法的更一般结论.     

关于三角形外角三等分线的一个定理

费兰克·莫来是美籍英国数学家 . 190 0年 ,当他研究平面内 n条直线的质量几何时 ,发现了莫来定理 :三角形各内角的三等分线中 ,靠近每边的两条的交点 (共三个 )构成正三角形 (图 1中的△DEF) .这条美妙定理虽然姗姗来迟 ,近年来却给出了多种证明 ,其中 ,金兆斌曾在 90年代初得到了一个构造性证法 ;而满其伦和孔令恩在 1997年《数学通报》问题解答 10 80题中 ,不但给出了另一种构造性证法 ,而且证明了 DD1 ,EE1 ,F F1 分别垂直平分△ DEF的三边 ,且相交于△ DEF的中心 (图 1) .考虑三角形外角的三等分线 ,得到与莫来定理类似的一个结…     

用三角形内角和定理解竞赛题

三角形内角和定理及其推论,在解与角有关的一些数学竞赛题中,有十分有趣的应用. 例1 如图1,在△ABC中,∠A=42°,∠B和∠C的三等分线分别交于D、E.则     

三等分定理及其应用

将初等几何与其它数学分支联系起来有助于学生对几何的理解力 ,并可促进发现一些新的现代技巧 ,这也是当前世界范围内数学教育革新的一个重要内容 (见文 [1 ]) ,本文试图结合三角学的知识 ,证明一个三等分定理 (用到一个与正弦定理类似的截比公式 ) ,并给出一个有趣的应用 .1　三等分定理如图 1 ,设△ＡＰＢ的顶角为 π3,则此三角形的外心Ｏ ,垂心Ｈ都在一半径等于△ＡＰＢ外接圆⊙Ｏ半径的⊙Ｃ上 ,且⊙Ｃ与⊙Ｏ正好交于Ａ ,Ｂ(两圆相等 ,且其圆心分别在彼此圆上 ) .设ＯＣ与ＡＢ交于Ｍ ,ＰＯ ,ＰＭ ,ＰＨ的延长线分别交⊙Ｃ于Ｘ ,Ｇ ,Ｙ ,…     

任意三角形和等边三角形的联系

三角形是最简单的多边形,等边三角形又是三角形中特殊的一种,至于任意三角形和等边三角形的联系,除了莫利(Morley)已注意到三等分任意三角形的各个内角的射线两两相交于三个顶点成为一个等边三角形的著名定理.这里另外介绍几个新颖的和等边三角形有联系的定理,它们的证明是简单的,而结果是有趣的.     

Morley定理的更简证明

近年 ,我们对 Morley定理的研究日深 ,证明日简 ,本文给出一个仅用几行文字的证明 ,供大家赏析 .Morley定理　如图 1,任意△ ABC每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正△ DEF.图 1　　　　　　　　　图 2证明　如图 1,设 A =3α,B =3β,C =3γ,如图 2 ,又构造凹六边形A′F′B     

莫利定理的一个新证法

莫利定理是三角形中的一个非常美秒的定理,如图、AB_o、AC_o、BA_o、BC_o、CA_o、CB_o、是△ABC的内角三等分线,则△A_oB_oC_o是正三角形。莫利定理的证明一般都用同一法,下面给出一种三角的证明。这里,要用到一个三角等式: sin30=4sinosin(π/3-o)sin(π/3 o) 运用三角函数的积化和差公式、即得 4sinosin(π/3-o)sin(π/3 o)     

三次方程一个性质的简单证明

美国著名数学家R·柯朗在讨论用圆规直尺三等分不可能性的时候,曾经给出三次方程的一个一般性定理:“具有有理系数的三次方程如果没有有理根的话,那么从有理数域F_0出发,它的根没有一个是可构成的。”(《数学是什么》,湖     

中学生怎样写数学小论文

怎样写数学小论文?这是中学生比较有兴趣的问题之一,也是中学数学教师指导中学生学习数学应考虑的一个问题。一从一个问题谈起美妙的莫雷定理: 已知:如图,AE和AF,BDD和BF,CD和CE分别为△ABC的∠A、∠B、∠C的三等分线。