关于贝努利不等式的探究拓展与应用

不等关系是最基本的数学关系,在数学研究和数学应用中起着重要的作用.《湖北省普通高中新课程数学教学实施指导意见》将《标准》中选修系列4第5专题不等式选讲作为指定学生修习ΧΟ的专题,而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式.《标准》对于贝努利不等式的教学提出了明确要求:     

Schur不等式及其应用

世界万物变化是永恒的,各种事物间不等关系是绝对的,而不等式作为数学的一个重要组成部分,在数学的所有领域和其他学科都起着重要的作用,也出现了各色各样形式优美的不等式,对称美、和谐美、简洁美在不等式中无处不在.     

建立模型找关系 抽丝剥茧现本质——“生活中的不等式”教学实录及其思考

“生活中的不等式”是以“课标(2011年版)”为依据修订的苏科版《义务教育教科书·数学》七年级(下册)11.1的内容. 一、基于课程标准的教学理解 现实世界的数量关系中,不等是普遍的、绝对的,而量的相等是局部的、相对的.等式反映了现实世界中量的相等关系,而不等式则是表示现实世界中量的不等关系的重要数学工具.在解决实际问题时,对于等量关系,可以利用等式(包括方程和方程组)来刻画;对于不等量之间的关系,我们则用不等式(包括不等式组)来刻画.研究不等式可以更好地认识和把握事物之间的运动变化及其相应的规律.在研究许多问题时,人们经常要分析其中的不等关系,列出相应的不等式或不等式组,并利用不等式求出某些数量的取值范围.     

贝努利不等式及推论解高考题举例

贝努利不等式具有简单的结构、深刻的内涵,在等数学中有广泛的应用.比如利用贝努利不等式能简洁明快地证明重要极限lim(1+1/n)n=e、算术一几何平均值不等式、权方和不等式,也是证明幂平均不等式的工具,鉴于贝努利不等式在数学中地位与作用,<普通高中数学课程标准(实验)>(以下简称<标准>),将贝努利不等式列入选修系列4第5专题"不等式选讲"中.……     

柯西不等式及其应用

新课标教材选修4-5《不等式选讲》第三讲中介绍了柯西不等式,它不仅形式优美,而且具有重要的应用价值,学生通过对它的学习不仅能领略到它的几何背景、证明方法及其应用,而且能进一步感受到数学文化的美妙,提高自身的数学     

怎样认识新课标中的基本不等式

1 背景介绍 基本不等式(√ab)≤a+b/2(a＞0,b＞0)是高中数学中最重要的一个不等式.在现行教材编排的体系中,基本不等式首先出现在《数学5》(必修)[1～3],之后在《数学4—5》(选修)[4]又再次出现.必修教材[1～3]对基本不等式的研究,都是从背景引入、抽象提炼、证明方法、几何意义、变式引申、拓展应用等六个方面进行展开的,如《数学5》(必修)[1]的第三章"不等式"的基本不等式,首先以2002年北京市召开的第24届国际数学大会会标(图1)为问题背景引入,提出"你能在这个图中找出相等式或不等式关系吗?"通过抽象概括,提炼出重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)并给出几何解释,在此基础上,又通过演绎替换,数形结合,证明探究及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式,最后将此会标作为封面插图[1].     

关于一个积分不等式的注记

文献《一个特定型积分不等式的若干推广》(《大学数学》29卷第1期)和《一个特定型积分不等式若干推广的注记》(《大学数学》34卷第1期)对一个特定型积分不等式问题进行了探讨和推广,本文对该不等式给出一些注记,指出该不等式实为Opial—华罗庚型不等式,并做进一步推广.     

一个最值问题的研讨

文[1]及文[2]另证并推广了《数学通报》2010年第7期第1863问题,题目如下:设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值.经过研究,笔者从赫尔德不等式入手,给出另一解法,并进行推广.引理(赫尔德不等式)设ai,bi∈R+,p>1且     

柯西不等式中等号的妙用

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修《不等式选讲》中介绍了一个非常优美的不等式——柯西不等式，各种形式的柯西不等式是许多现代数学理论的出发点，在数学的很多分支中有着广泛的应用。     

关于高中新课程标准中的排序不等式

在《普通高中数学课程标准》(实验 )选修系列 4- 5 :不等式选讲专题中 ,其中有“用向量递归方法讨论排序不等式”这一内容要求 .在有关本专题教学的说明与建议中 ,要求“尽量使用几何或其他方法来证明这些不等式 ,使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想 ,不对恒等变换难度特别是一些技巧做更多的要求 ,不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中 .”本文将针对《标准》排序不等式的内容要求与教学建议 ,就如何在中学开展这一专题的教学做些初步探讨 .1　排序不等式的发现1.1　在生活经验中猜测水桶接水问题…     

也谈一元一次不等式组中的参数

车树高老师在《中学生数学》(2011年1月下)所刊发表的《一元一次不等式组中的参数》一文,出现了三处错误:①例3中不等式组无解时a≤-1而不是a<-1;②例4中的C、D选项一样;③例4答案应为-5     

对一个错误观点的纠正

《中学生数学》2010年11月(上)期刊登文章《再谈一类不等式的错解原因》分别就《中学生数学》(上)在近年刊载的三篇文章进行剖析,从解含绝对值不等式的等价性考虑.录求所提问题相同症结,从而开辟更直接的解法.     

应用均值不等式的“技巧”

均值不等式槡(ab)～(1/2)≤a+b/2(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号)是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解某些函数最值问题的有效工具.应用均值不等式有三个必要条件:一正二定     

借用直线证明不等式

不等式的证明是数学中极其魅力的问题.笔者发现,有一类不等式可以借用直线加以证明,现举例说明此证明方法,供同学们学习时参考.     

提高学生代数解题能力的两点思考

与2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称“实验版课标”)相比,《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“课标”)显著加强了高中学生的代数培养要求.例如,课标给出的高中数学课程内容包含函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线,代数的地位有所突出;课标在必修内容中,设置了“预备知识”主题,明确了“以义务教育阶段数学课程内容为载体,结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习,为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡”[1]的要求,这在本质上也是要求学生提高运用代数知识解题的能力.     

《数学通报》2508号问题的加细与另证

《数学通报》2019年第10期数学问题2508是: 在锐角△ABC中,有1/cosA+1/cosB+1/cosC≥√3(1/sinA+1/sinB+1/sinC). 此问题黄兆麟老师把它转化为两个相关不等式,利用三角函数关系和熟知的三角恒等式以及均值不等式和切比雪夫不等式巧妙地给出了证明.     

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册第三章简介

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册(试用本,以下简称新教材)第三章“不等式”,是在原全日制十年制学校高中课本《数学》第三册(试用本,以下简称原教材)第二章“不等式的性质和证明”的基础上编写的。新教材把这一章安排在“数列与数学归     

运用方程思想解决非方程问题

方程思想是解决数学问题最重要、最基本的思想方法之一，通常从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的已知条件转化为方程(组)或不等式(组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.     

科学予知历史予智——《数学史选讲》教学之思考

《普通高中数学课程标准(实验)》(简称《课标》)指出,"数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势,……,数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观.为此,高中数学课程提倡体现数学的文化价值,并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求,设立‘数学史选讲’等专题."[1,3]这是对高中阶段加强数学史教育的要求,也是对开设《数学史选讲》选修专题的意义与价值的说明.     

设计活动转变角色启发潜能--由一道不等式证明题引出的数学活动课

设计活动 (ProjectApproach)是近年来备受教育界关注的一种学习模式 .设计数学活动能让学生更自然 ,更直接地获得“数学过程”的体验 ;更深入、更广泛地去探求一些数学问题 .并且在学习的过程中 ,学生的兴趣差异及能力差异都将得到个别的照顾 ,从而激发出更大的学习潜能 .笔者在授完高中《代数》下册 (必修 )“不等式证明”这节内容后 ,在学生基本掌握不等式的常见证法的基础上 ,试就课本中的一道不等式证明习题为线索 ,启发、引导学生进行了一次联想 ,引伸、探求的数学活动课 .1　活动内容原题 :已知a、b、c是不全相等的正数 ,求证(a+b) (…