抓住特征灵活转换--复数知识的巧妙应用

复数具有许多奇妙的性质 ,由于其表达形式的多样性 ,可以根据需要把一些数与形之间的关系进行相互转化 ,也可以在代数式、根式、三角式、向量之间建立联系 .因此若能切实掌握好复数基础知识 ,在解题中抓住特征 ,灵活应用 ,将会收到许多意想不到的效果 .这里仅举几例看似非复数却能转换为用复数解决的问题进行探讨 .1　在三角问题中 ,抓住角的特点复数的三角式z=r(cosθ+isinθ)中 ,实部虚部均含有三角函数 ,且由棣莫佛定理zn =rn(cosnθ +isinnθ) ,复数乘方中的指数奇妙地转化成了辐角的倍数 ,使原来复杂的运算因此而可能降低了级别 ,利用…     

用复数的三角式解三角题

用复数的三角式解三角题苏万春（吉林省永吉三中１３２２２７）由棣莫佛定理，设ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），当ｒ＝１时，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ且由此二式，可得由上面的公式．将三角问题化为复数问题解决，对沟通学科分支之间的联系．拓宽解题思路是大有...     

对“一类三角题的复数解法”的补充

《中学数学》刊登的“一类三角题的复数解法”一文介绍了复数在三角方面的一些应用。笔者试作如下补充。(原文见1985年2月号) 设z=cosθ+isinθ,z=cosθ-isinθ。显然有z·z=1。易求得sinθ=z-z/2=z~2-1/2iz,cosθ=z~2+1/2z,tgθ=z~2-1/i(z~2+1),由棣美弗公式     

巧用三角诱导公式化复数为三角形式

巧用三角诱导公式化复数为三角形式河北省廊坊市第二中学金建刚复数的三角形式，其关键是“形式”，复数的三角形式为ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ十ｉｓｉｎθ），特征：第一，ｒ＞０；第二，前余弦，后正弦，角相同；第三，中间是“十”号．学生对实部和虚部都是三角函数表示的复数...     

应用“x=rcosθ,y=rsinθ”解题举例

任意角的三角函数定义式为:x=rcosθ,y=rsinθ,它与复数的三角式、极坐标与直角坐标的互化式是一致的,是数学中的一个基本关系式。具体解题时,其作用却往往忽视,致使有些问题的解法呆板、繁复。若能注意问     

浅析复数问题中的常见错误

我们把数扩充到复数后 ,由于复数的许多性质与实数不同 ,学生作业中常出现这样和那样的错误 .本文列出几类常见错误 ,供参考 .1　化三角形式中出现的错误例 1　把 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ化成三角形式 ,θ∈ (π ,2π) .误解　 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ=2ｃｏｓ2 θ2 ｉ·2ｓｉｎ θ2 ｃｏｓ θ2=2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .∴ 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ的三角形式为2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .错误分析 :复数三角形式有三个要求 :1)模大于零 ;2 )括号内的实部和虚部是同一个辐角值θ的余弦与正弦 ;3 )ｃｏｓθ…     

复数三角形式的“五官”

复数的表示形式主要有三种：代数形式、三角形式、几何形式,而在解复数问题时三角形式是最常用的一种．初学复数三角形式的同学往往顾此失彼,不能整体把握．为此下面将介绍一种简捷判断方法．一个复数的表示形式是否是三角形式,就看其“五官”是否端正,即在z=r(cosθ isinθ)中要求：“模非负、余正弦、 相连、角统一、i跟sin”,具体地说.     

关于复数主辐角的准确表达的讨论

中学课本中关于复数的辐角主值,很明确地指出,是一种“规定”,即“适合于0≤θ<2π的辐角θ的值,叫做辐角的主值,记做agz”。在这个规定之下,一个自然的结论是:“每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它(这个不等于零的复数)的模与辐角的主值唯一确定”。但是,另一方面课本又指出:“当然,把一个复数表示成三角形式时,辐角θ不一定要取主值。”我们在钻研教材时,体会到识本此处说明了两层意思。其一,一个非零数表成三角形式(或指数形式)时,取辐角的主值表达,是唯一确定的;其二,复数用三角形式(或者指数形式)     

数学顺口溜——化复数为三角形式

中间不对两头塞 ,只模为负用π加 ,正余错位也好办 ,正位添负加半π .两处以上均不对 ,变模正位再变中 .相差甚远不勉强 ,化代代化也能求 .解释 :对那种貌似复数三角形式 ,但实际上不是复数三角形式的复数 ,利用上述口诀化三角形式十分方便 .我们知道ｒ(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ)是三角形式必须同时满足三个条件 :(1)ｒ≥ 0 ,(2 )“中间”是“ ”号 ;(3)同一角的余弦作实部 ,正弦作虚部 .此顺口溜的前四句对处理只有一个条件不满足的情形十分方便 ,为便于表达 ,取ｒ和θ为常数加以说明 .(1)如 3(ｃｏｓ π3-ｉｓｉｎ π3) ,只有“中间”不符合…     

“一类三角式的数值求法”的补充

本刊在一九八五年第三期上发表的题为“一类三角式的数值求法”一文中提供的方法很有趣(以下简称[求法]),但作为一种方法介绍给读者,却有不妥之处。现举例如下: 比如,三角式sinθ+2/cosθ(利用〔求法〕) 可设A、B两点的坐标分别是(cosθ,sinθ),     

一个例题的注记

题目已知α、β、γ、θ均为锐角,tanα=1/2,tanβ=1/7,tanγ=1/8,tanθ=1/18.求α+β+γ+θ本例在本刊2002年11月上期19页有一个复数解法.是构造复数     

逆向运用诱导公式 巧化复数三角形式

形如ｚ =ｒ(±ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ)和ｚ =ｒ(±ｓｉｎθ±ｉｃｏｓθ) (ｒ >0 )的复数化为三角式 ,可以逆向运用诱导公式解决这类问题 .诱导公式概括为 :“奇 (纵 )变偶 (横 )不变 ,符号看象限” .解决上述问题 ,逆向运用诱导公式可概括为 :“由符号定象限 ,看名称选纵横” .其含义是 :“把θ看作锐角 ,由实、虚部的符号来确定点所在的象限 ;看实、虚部的名称来选择角的终边相对于纵轴或横轴的位图 1　用诱导公式化复数三角形式示意图置” .每个象限的角都有两种表示形式 ,如图1所示 :视θ为锐角 ,名称变选纵轴 ,名称不变选横轴 .如 :ｚ =…     

为什么规定复数0的辐角是任意的

规定复数0的辐角是任意的,就是规定模为0的复数可以有任意辐角值但不随辐角的变化而变化,实质上也就是规定复数0是唯一的。为什么如此规定呢? 首先从正面解释。设复数z_1、z_2的模为0,辐角分别为θ_1、θ_2。将z_1、z_2分别写成三角形式: z_1=O(cosθ_1 isinθ_1),z_2=O(cosθ_2 isinθ_2) 因为:可与实效一起按实效的四则运算法则进行四则运算,所以对任意的θ_1,θ_2都有: z_1=O·cosθ_1 i·O·sinθ_1=O Oi z_2=O·cosθ_2 i·O·sinθ_2=O Oi 所以z_1=z_2=O 注意:这里利用了对虚数单位:的规定和复数相     

高中代数复习(续)

二、复数复数这一章很多题都是用到任意复数z。z=a+bi(a,b∈R)或z=r(cosθ+isinθ)这个表示法来解或证的。例1.解方程|z|+z=8—4i求复数z。解:设z=a+bi(a,b∈R)|z|=(a~2+b~2)~(1/2)。由题设(a~2+b~2)~(1/2)+a+bi=8—4i由复数相等的条件得:     

曲线的一种复变量方程

在广义极座标下,对方程(2)中r的正负不做限制,而式(1)中的r表示复数的模,取非负值。事实上,当r(θ)<0时,若仍遵守(1)中对r的限制,将(r(θ),θ)代之以(-r(θ),θ+π),表示成复数为     

用“三色眼光”看复数

复数将代数、三角、几何融为一体 ,富有灵气 .它的“数”(代数形式 )、“形”(几何形式 )、“角”(三角形式 ) ,使解题者可以从不同的侧面去研究它 ,找到既相互联系 ,又相互独立的解法 ,使思维呈现出独创美和简洁美 .下面就让我们带着“数”、“形”、“角”这“三色眼光”去看看复数吧 !1　关于辐角例 1　求ｚ =1 -ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ(3π <θ <4π)的辐角主值 .着眼于“数” :设ｚ =ａ +ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,则ａｒｇｚ可由ｔｇθ =ｂａ 及 (ａ ,ｂ)所在象限来确定 .所以ｔｇ(ａｒｇｚ) =- ｓｉｎθ1 -ｃｏｓθ=-ｃｔｇ θ2 =ｔｇ θ2 - …     

巧借复数三角形式，妙解数学综合问题

复数三角形式是复数模块知识中的一个课外补充与阅读知识,对学有余力的学生加以知识空间与应用场景的拓展.结合复数三角形式在一些数学综合问题中的应用,剖析复数三角形式的知识内涵、几何意义与应用场景,归纳总结规律,拓展数学解题研究与竞赛辅导.     

五、复数

知识要点］本章主要内容有复数的概念；复数的三角形式；代数形式与三角形式的互化；复数的代数运算及三角运算；复数的模、辐角及复数的加、减、乘、除和开方的几何意义；复数集中的一元二次方程和二项方程．其重点要求准确掌握和应用概念，正确地进行代数式和三角式的运...     

论复数在三角上的应用

根据复数的初等性质和运算法则,使我们能充分地利用复数去研究三角中的问题。例如,利用棣莫佛定理能够推出倍角的正余弦公式,利用复数的乘法和乘方法则可以推出正弦和余弦的加法定理等等。此外,利用复数可以证明三角中的一些重要公式、定理,还可以证明三角恒等式和计算三角和等问题。本文的目的是利用复数解三角中的一些问题。为了方便起见,我们给复数以简便记号,这种记号被称作Francais记号,1813年由他所创,后来被柯西采用过。     

一道高考复数试题的变式研究

1999年全国高考第20题:设复数ｚ=3ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ.求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ值.下面以本题为原型进行变式研究.变式1　设复数ｚ=ａｃｏｓθ ｉｂｓｉｎθ(ａｂ为常数且ａ>ｂ>0).求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值.解　?..