从一道习题谈起

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册中有这样一道习题: 用反正弦的形式把下列各式中的x表示出来 sinx=3~(1/2)/5 (π/2相似文献   

关于Dirac分布的幂

选定δ—序列δ_n(x)=(n/π)~(1/2e~(-n(x~2))) x∈R对任一固定复数a,光滑函数f(x)的a阶导数定义如下:     

函数单调性选择题

1 函数y=log_(3/π)(x~2-1)的减区间是(A)(0.∞); (B)(-∞,0);(C)(1,∞); (D)(-∞,-1)。2 函数y=cos(-x)的增区间是(k∈Z)(A) [2kπ,(2k+1)π];(B) [(2k-1)π,2kπ];(C) [2kπ-π/2,2kπ+π/2];(D) [2kπ+π/2,2kπ+3/2π]。     

“巧”用定义域求值域?

本斑黑板报《数学园地》的小编者们,在第20期上以“巧用定义域求值域”为题刊出了某同学的问题及解法: 求函数y=arecos(x~2-1/2x 1)的值域. 解:先求定义域:要使函数y=arccos(x~2-1/2x 1)有意义,必须-1≤x~2-1/2x 1≤1,解不等式组 x~2-1/2x 1≤1,x~2-1/2x 1≤-1 得0≤x≤1/2,根据反余弦函数的单调性有:π/3≤arccos(x~2-1/2x 1)≤π/2,即函数的值域为[π/3,π/2] 数学趣味小组的同学利用黑板报来研讨问题,促进数学水平的提高,我多次给予鼓励和肯定.但也不可避免地出现一些错题和错解,这正为教师发现问题和改进教学提供了信息. 其实上述解答是错误的.事实上,函数y=     

反三角函数定义域的教学作法点滴

关于反正弦函数y=arcsinx与反余弦函数y=arccosx的定义域为[-1,1]的教学,应十分注意。否则将影响到以后涉及到反正弦函数和反余弦函数的教学内容的学习。为了加强这一内容的教学,笔者认为应从以下几个方面加强练习,以巩固概念的学习。 1.求函数的定义域:进行求复合形式的反三角函数的定义域的练习.将有助于深化对定义域概念的掌握。例1 求下列函数的定义域: (1)y=arcsin(3x-2); (2)y=arceos(ctgx); (3)y=arcsin 2x/1 x~2 arceos 1-x~2/1 x~2. IM7“IWel“答案(1)x∈[1/3,1]; (2)x∈[kπ π/4,kπ 3π/4];     

一道填空题(2018全国卷Ⅰ)的多种解法

<正>题目(2018全国卷Ⅰ理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.解法一(导数法):由sinx的周期为2π,sin2x的周期为π,而2π和π的最小公倍数是2π,∴函数f(x)的最小周期为2π,在[0,2π]上考虑其最小值.f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1),令f′(x)=0,得cosx=-1或cosx=1/2,     

求不定积分时值得注意的一个问题

求一个函数的不定积分,不论选取怎样的变量代换,均应求出被积函数定义域的每一个连续区间上的原函数族,而不能只求出某些区间上的原函数族.否则,将导致某些积分计算的不正确的结果.例如:在[1]中第255页例11,求integral dx/(x(x~2)~(1/x~2))-1),书中给出了四种解法.其第一种解法是:     

区间中素数的上界

本文考察了区间[M,M N)中的素数个数的上界,证明了如下结果:对任一θ,0<θ<1,存在η=η(θ)>θ满足π(x x~θ)-π(x)<(2 в)x~θ/η(θ)logx~2 x>x_0(в ,θ)其中当11/20>θ>6/11时,     

扩散方程系数的半逆问题

一般地,扩散方程的系数q(x)与p(x)是由两组谱或者一组谱及其标准常数唯一确定的.运用Hochstadt与Lieberman的方法证明了:(a)如果给定区间[π/2,π]上的p(x)及区间[0,π]上的q(x),则扩散方程的一组谱可唯一确定另一半区间[0,π/2]上系数p(x);(b)如果给定区间[π/2,π]上的q(x)及区间[0,π]上的p(x),则扩散方程的一组谱可唯一确定另一半区间[0,π/2]上系数q(x).     

解反三角函数题中几类错误的辨析

在反三角函数中,定义、公式条件与结论较复杂,稍不小心就会出现错误,本文根据自己的教学体会和平时学生作业中出现的问题,对解反三角函数题的几种常见错误归纳为三类,现举例说明如下一、忽视反三角函数的定义、定义域例1 求函数y=arcsin(3x)/1+3x~2的值域。错解:根据反正弦函数的定义,所求函数的值域为:y∈〔-π/2,π/2〕辨析:在反正弦函数y=arcsinx中当x∈〔-1,1〕时,y∈〔-π/2,π/2〕,若x的取值范围是〔-1,1〕的一个真子集,那么y的集合也就不是〔-π/2,π/2〕,而是〔-π/2,π/2〕的一个真子集,不妨设3x/1+3x~2=1,而是〔-π/2,π/2〕的一个真子集,不妨设3x/1+3x~2=1,     

扩散方程系数的半逆问题水

一般地,扩散方程的系数q(x)与p(x)是由两组谱或者一组谱及其标准常数唯一确定的.运用Hochstadt与Lieberman的方法证明了:(a)如果给定区间[π/2,π]上的p(x)及区阿[0,π]上的q(x),则扩散方程的一组谱可唯一确定另一半区间[0,π/2]上系数p(x);(b)如果给定区间[π/2,π]上的g(x)及区间[0,π]上的p(x),则扩散方程的一组谱可唯一确定另一半区间[0,π/2]上系数q(x).     

应用判别式解题应注意的问题

判别式在解题中有广泛应用。许多问题都能用它获得简捷、巧妙的解答。但是,在应用时必须谨慎。否则常常产生各种各样的错误。例1 (90年上海高三竞赛题)36sin(3πx)=36x~2-12x+37,则x=——。误解原方程变为36x~2-12x十[37-36sin(3πx)]=0 ①∵ x∈R, ∴方程①的判别式△=(-12)~2-4·36·[37-36sin(3πx)]≥0,即sin(3πx)≥1,又∵ sin(3πx)≤1。∴ sin(3πx)=1,3πx=2kπ+π/2故 x=2k/3十1/6(k∈Z)分析:方程①不是关于x的二次方程,而     

用希尔伯特空间理论讨论傅立叶级数

<正> 函数和它的傅立叶级数之间的关系,常见的有下列四种。命题1 (狄里赫勒定理)若f(x)∈C[-π,π),或在[-π,π]上只有有限个第一类间断点,并且可以把[-π,π]分为f(x)的有限个单调区间,则有f(x)=a_0/2+sum from i=1 to ∞(a_icosix+b_isinix)(1)其中x∈(-π,π)为f(x)的连续点,a_i,b_i为f(x)的傅立叶系数(以下同)。当x∈(-π,π)为f(x)的间断点时,则(1)式友端改为[f(x—0)+f(x+0)]/2。当x=±π时,则(1)式左端改为[f(-π+0)+f(π-0)]/2。命题2 若f(x)∈L_2[-π,π],则对任意确定的n,有||f(x)—a_0/2—sum from i=1 to n(a_1cosix+bsinix)||_2     

Γ函数的特性

在一般的数学分析教程中証明了Γ函数Γ(α)=integral from n=1 to ∞ x~(a-1)e~(-x)dx (α>0)对任意α>0具有連續导数,它作为函数Φ(α)还滿足 (1)Φ(α+1)=αΦ(α), (2)Φ(α)Φ(α+1/2)=(2(π~(1/2))/4~α)Φ(2α), (3)Φ(α)Φ(1-α)=π/sinαπ。现在,让我們反过来考虑这样一个問題:具备这些性貭的函数Φ(α)     

新题征展(26)

A　题组新编1 .已知函数 f ( x) =3ax 1 - 2 a,( 1 )若在区间 [- 1 ,1 ]上存在 x0 使得f ( x0 ) =0 ,则 a∈ ;( 2 )若在区间 [- 1 ,1 )上 f( x)的图象在x轴的下方 ,则 a∈ ;( 3)若 f ( x)的图象与椭圆 x29 y24 =1恒有公共点 ,则 a∈ .2 .已知函数 f ( x) =2 sin( 3x 4θ) .( 1 )若 f ( x)的图象关于点 ( 2 ,0 )对称 ,则θ = ;( 2 )若 f ( x)的图象关于直线 x =2对称 ,则θ = ;( 3)若 f ( x)在区间 [π6 ,π4 ]上单调递增 ,则θ的取值范围是 .3.已知△ ABC,给出下列条件 :1 cos2 A cos2 B cos2 C =34;2 tan ( A - B) .cos C =0 …     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

怎样求正弦函数的单调区间

<正>求正弦函数的单调区间的时候,你可能遇到过不会思考问题,或者不知怎样求单调区间的方法而着急的现象,此文教会你求单调区间的一种方法——化归法.1.化归法的应用例1求函数f(x)=sin(1/2x+π/3)在[-2π,2π]上的递增区间.分析问题因为求熟悉函数的递增区间容易,所以,我们把不熟悉函数转换为熟悉函数,此后,先求熟悉函数的递增区间,再求不熟     

富里埃级数的导级数的求和

<正> 1.设 f(x)是[—π,π]上的L可积函数,具有周期2π,它的富里埃级数是■级数(1)的导级数是■我们说函数f(x)在x处具有对称波赫耳(Borel)导数A,是指条件     

关于有限区间上二次函数的最大(小)值

先看一道问题的解答: 问题:x、y是实数,且满足等式3x~2 2y~2=6x,求x~2 y~2的最大值. 解由3x~2 2y~2=6x,得y~2=-3/2x~2 3x,从而K=x~2 y~2=x~2-3/2x~2 3x=1/2x~2 3x.故由-1/2<0,可知当x=3/2×(-1/2)=3时,有(x~2 y~2)_(max)=4(-1/2)×0-3~2/4(-1/2)=9/2. 这是一道在约束条件下可化为求二次函数最大值的问题.上述解题过程显然是错误的,而这种错误不易被学生所觉察,常常出现在作业中.错误的根源在于没有考虑到“约束条件”,而乱用二次函数y=ax~2 bx c的极值公式来求在有限区间上该函数的     

一套易错的三角基础题

一、判断下列命题的真假: 1.已知α、β均为第一象限的角,且α>β,则 sinα>sinβ一定成立。 2.若0≤x≤2π,则函数y=(sinx ctgx)/(1 tgx)的定义域为x≠3/4π或x≠7/4π。 3.函数y=cosx在区间[0,2π]上是偶函数。