三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

例析涉及三角形中线的数学竞赛题

三角形的中线是三角形中的重要线段,有着许多的性质和用法,在各级各类竞赛中时常出现涉及三角形中线的题目.本文从中分类采撷几例.一、运用三角形的中线等分三角形的面积解题我们知道三角形的每一条中线分三角形为面积相等的两个三角形.所以当面积问题中出现线段的中点时,可尝试寻找相应的三角形及中线,运用该性质解题.例年全国初中数学竞赛)点     

探究一类边长都是特殊整数的倍角三角形问题

我们知道三边长分别是连续正整数3,4,5时,构造的三角形是直角三角形.在连续正整数构造的直角三角形中,三边长分别是3,4,5也是唯一的情况.本文结合2008年一道全国初中数学竞赛试题进行另一方面的探究:如果三个连续正整数构造的三角形中能否满足条件:恰有一个角是另一个角的2倍呢?     

甲、乙“话”面积

<正>甲:我看到这样一道题:已知△ABC的三边长分别是5~(1/2),10~(1/2)和5,求这个三角形的面积.乙:△ABC的三边长度都知道了,要计算三角形的面积,当然需要求出一条边上的高线.我们尝试作出其中的两条高线AD和BE,如图2,你觉得计算哪一条比较方便?甲:因为BC是整数,我猜计算AD会好     

对一道竞赛试题的再探究

题目:如图1,在平行四边形ABCD中,△ABE和△BCF都是等边三角形.求证:△DEF是等边三角形.(《全国初中数学竞赛辅导》初二第12讲) 本题将特殊三角形和特殊四边形结合起来,将其设计成一道探索性较强、解法较多的竞赛培训题,然而试题预留了继续探究的空间.本文将逐步探索以平行四边形的四条边向外(内)作特殊三角形,所形成的图形之间的面积关系.现由笔者整理如下.     

应用张角公式研究三角形连比问题

本文应用张角公式对一类有趣的三角形连比问题进行专题研究. 现以三道初中数学竞赛题为例说明如下.     

Heron三角形的一般表达式及其应用

Heron三角形是指边长和面积均为整数的三角形.若Heron三角形的三边长互素,称为本原Heron三角形.我国著名数学史学家沈康身先生在其出版的新著《数学的魅力(1)》一书的第十章,分析了Heron三角形及其性质,其中提出一个问题:三角形的三条整数边应当满足什么充要条件,其面积才     

关于三角形中线和高线的不等式

李崇钦同志在本刊第三期中提出并证明了关于三角形中线的一组不等式,本文再提出并证明关于三角形中线的另一组不等式,另外提出并证明关于三角形高线的一组不等式. 仍以a,b,c表示三角形三条边,S表示半周,R表示外接圆半径,r表示内切圆半径,△表示三角形面积,m_a,m_b,m_c表示三条中线,h_a,h_b,h_c表示三条高线. 首先我们容易证明下列不等式成立. 1°m_a≥S(S-a)~(1/2),m_b≥S(S-b)~(1/2) m_c≥S(S-c)~(1/2);     

趣谈海伦-秦九韶公式及其应用

<正>每位同学都应该学过三角形面积=底×高÷2,但如果不知道一个三角形高线的长度而只知道三条边的长度,又该如何来求解三角形的面积呢?其实,这是一个很古老的数学问题,历史上无论是在西方还是在中国,都有杰出的数学家对这个问题进行过深入的研究,并得出了重要的结论.今天就让我们一起来重温这段重要的数学历史吧.     

三垂线定理（逆）与三角形的垂心

三垂线定理反映了空间三条直线的垂直关系,而三角形的垂心是三角形的三条高线的交点,二者的统一点是直线垂直.因此可通过三垂线定理（逆）证明三角的垂心,也可借助三角形的垂心去用三垂线定理（逆）.在证题中若注意到这点,对提高证明能力大有好处,现举例说明.     

牵“相似形”之手,进“分类讨论”之园

<正>分类讨论是我们常用的一种数学思想方法.在数学题目中,有许多问题需要分不同情况加以考察,这就是分类讨论思想.其一般步骤是:(1)确定同一标准,(2)对全体对象进行分类,做到"不重,不漏",(3)分类讨论,得出结论.下面就相似形中的几个问题加以说明.一、由于对应边不确定,需要分类讨论例1要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,问其余两边长是多少时,可使这两个三角形相似?思路点拨要使两个三角形相似,已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边,则我     

不定方程的一道变式

<正>不定方程是初中数学的重要内容,在数学课外活动中,各类数学竞赛中不定方程的相关问题一直是热点,它立足于古老的整数理论,涉及面广,解法灵活,综合性强,备受关注.下面举一例说明不定方程的变式.传说古代叙拉古国王海伦二世发现利用三角形的三边长可以直接求三角形面积的公式.也有人称这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德提出的,只是因为这个公式最早出现     

三角形的五心初谈(一)

<正>在欧几里得的《几何原本》中,没有三角形五心的概念.对三角形"心"的认识应该说是平面几何认识的深化,是近代人们较为系统的开拓.1对三角形五心的初识人们在几何作图和证明中逐渐发现,三角形的三条中线、三条角平分线、三条高线、三边的垂直平分线和一个内角的平分线以及另两个外角的平分线都是共点的.我们用极其初等的办法就可以证明.     

等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

三角形面积求解方法

<正>在数学学习中,三角形是大家比较熟悉的一种图形,对它的性质的认识相对也比较多一些,尤其是计算面积的知识,但在我们面对一些关于三角形面积的竞赛题时,却往往显得力不从心.这说明我们对三角形面积的求解知识过于零散,没有系统化.只要对这部分知识有一个系统的认识,相信你能做的更好.现在让我们系统的看看三角形面积求解方法.1.直接套用公式(1)利用公式S△=12ah(其中h是边长为a的边上的高线长)     

一道全国大学生数学竞赛试题的解法及推广

给出了一道全国大学生数学竞赛试题的三种解答,在此基础上研究了三角形三内角正弦的线性和最大值问题,从而推广了竞赛试题中的结论.最后,研究了三内角正弦的指数之积以及余弦的指数之积的上界问题.     

三角形的五心初谈(二)

<正>3伴随三角形用塞瓦定理不能直接证明三角形的外心,原因是对一般的三角形来说,三边的中垂线并不一定过三角形的顶点,因此不一定是塞瓦线,所以不适合应用塞瓦定理.下面的转化关系是很有趣的.如图12,△ABC的中点三角形为△A_1B_1C_1,中点三角形的三条高线共点H,就是△ABC三边的中垂线共点.     

一道竞赛题的解答及思考

2006年全国初中数学竞赛山东赛区预赛有这样一题:如图1,三角形的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形( )．     

介绍两个“类正弦定理”

设△ABC的外接圆半径为R,则有这是众所周知的正弦定理. 有两个在形式上与正弦定理的结论类似的定理,即所谓“类正弦定理”,叙述如下: 定理1 设△ABC是一个锐角三角形,AD,BE,CF是它的三条高线,H是三条高线的交点(垂心),则有     

再探《求三角形中线、高线和角平分线的长》

<正>贵刊于2015年12月刊登的《求三角形中线、高线和角平分线的长》一文让人很受启发.但其中求中线和角平分线的方法最后都涉及到了含参数的二次方程,给最终求解带来了很大麻烦.在此,笔者给出另外两种分别求中线和角平分线的方法,供广大读者朋友探讨.原题呈现:已知△ABC的三边长分别为a,b,c.(1)求它的三条高;(2)求它的三条中线的长;(3)求它的三条角平分线的长.