中学數学中函數概念的引導

十九世紀的數学已經把函數的概念从解析式子这个桎梏之中解放了出來(指实变函數),並且提出了“对应性”,这說明当時已初步具有了現代一般的函數概念,首先提出这个概念的,是俄罗斯數学家罗巴切夫斯基,1834年時,關於函數概念,他寫过下面的話:“这个一般的概念要求:若有一个數,它隨着x的每一个值而確定,又随着x而逐漸变化,那麼这个數就称为函數。函数的意义,可以用解析式子表達,也可以用条件來表達;我們可籍这式子或条件來試驗所有的數目而选擇適合的數目;最後,由相依關係可能找出,也可能找不出。”經过三年(在1837年)这个概念由列仁-吉瑞荷通过函數定义的形式表示出來,这函數定义一直保留到現在:“y是变量x在區間a≤x≤b上的函數,如果这个區間上每一个x值对应着一个確定的y值;至於这种对应關係是怎样確定     

近似數運算誤差分析

引言在應用數學範圍以内,我们要遇到數字和公式。但是我們對於這些數字和這些公式的看法,和純粹數學工作者的看法,有一定不同的地方。例如e,π,2~(1/2)這些無理數,應用數學工作者不能採用它們的準確數值,只能採用它們的近似數值,如2.7183;3.1415;1.414。對於公式的看法,純粹數學工作者要求簡潔、明顯、完整。但應用數學工作者的要求便不同,並且看所用的計算工具不同而有所不同。例如:如何容易計算,如     

指數函數的教学

中學数學教學大綱指定教師用36節課来講“指數函數舆對數”這項教材。據我們看來,其中應該用6-8節課研究指数函數。本來無可置疑地必須將函數的清晰概念講給學生,必須教會他們研究簡單函數(確定定義域,單調區間等)。繪製圖象,以及,反之,由圖象來判斷函數的性質(“看”圖象)等等。鑒於學生通曉函數依從關係的觀念和獲得研究函數的某些技能十分重要,數學教師應該在這方面利用教學大綱提供給他的所有可能。研究指數函數,就會講到下列幾點: 1.論證冪的許多純算術性質,並且立刻用圖象說明這些性質。這種論證可以使學生理解證明代數定理的可能和必要。(對於學生和教師忽略代數理論的問題,已經不只一次地在“数學教學”雜誌上談過了)。此外應該注意,我們在這裏需要複習算術裏關於談論真假分數的那一部分;特別是,真分數乘某数則使之變小等等。 2.在作指數函数的圖象時,學生再一次遇見曲線向直線逐漸逼近的情形(第一次是在Ⅷ     

近似數的对數計算

当計算对數的時候,学生常常不考慮他們所从事計算的量是準確的呢还是近似的,因此就会得到不合理的計算和答案,这答案可能与所給的近似數的準確度不相適应。必須教給学生,在利用对数表作实际計算的時候,他們应当仔細地考慮,是根据什么样的已知数(準確的还是近似的)來進行运算,並且根据这點來选用合適的对數表。如在所給的例題或習題中含有的是一些準     

談談中學代數教學

1.相對數*建立相對數的概念及其運算時,在中學代數中有意識的使其脫離了科學上所採取的這些數的理論的正式論據,僅闡明科學的定義的合理性,而把正數和負數解釋作為所謂有向量的意思,有向量是說量不僅有大小而且有方向,純量的變化,即在兩種相反的意義上考慮其增量,就是這種量,例如:1)點在數軸上的位移可看作是原距離為S的增量△S;2)溫度的變動可看作是原溫度為t的增量△t;3)收入和支出可看作是資本為Q的增量△Q。每一有向量都可用叫做該有向量的代數值的相對數表示或用數軸上的矢量表示。 為了要解釋相對數之和定義的合理性,預先用相應的矢量表示各被加量及和,建立起來兩個或兩個以上量之和的概念(例如,把位移之和看作是被組成的各位移相繼實現的終結;把溫度增量之和看作是被組成的各增量相繼實現的總合,等等),表示着     

數學舆實際

學生學習的過程中,沒有一個階段裏沒有數學課程。從小學一年級開始學算術,進了中學要學代數、幾何、三角。到了大學和高等學校裏,除了文法科裏一部分學生外,要學高等数學。但高等数學的內容,在概念上就和中學的數學課程的內容完全不同,理論也增多了,常有講了很多理論而没有把它們直接用到計算裏的情形。在第一次講課裏,雖在序言中講了數學的發展是由於客觀實際的需要,但到了理論很多而沒有把它們直接應用到計算時,例如講到無窮小定理舆變量極限定理那一段時,同學往往又會感到這些理論似乎是脫離了實際,因而感到很抽象,於是發出這類的問題:“老師,這些理論在實際上怎樣用法?”這種思想是狭隘的實用觀點,為了要澄清這稀狹隘的實用觀點,應該深刻地體會數學舆實際的關係。通過生產活動,人類逐漸地了解自然的現象,自然的規律,人和自然的關係,封建時代的生產主要是農業生產,由於田畝的計算,我國的數學家早在公元前一千餘年就發現了勾股定理,即     

高中代數課本裹指數函數性質3的証明

高中代數課本裹指數函數性質3是:“設a>1,則当x的值增大時,a~x的值也随之增大”,其証明分成了下面的幾种情况,大意如下: (i) a>1,x_1与x_2为二正整數,則x_2>x_1(?)a~(x2)>x~(x1)。 (ii) a>1,x_1为正分數m/n,x_2为正分數p/q,則x_2>x_1(?)a~(p/q)>a~(m/n)。 (iii) a>1,x_1与x_2为二实數而其中之一或二者同時是無理數,則x_2>x_1(?)a~x2>a~x1。这种証法相当繁瑣而且各种情况亦未能尽举,須知在这以前已講过下面的兩件事: (i) 若a>1,x>0,則a~x>1(即指數函數性質2)。     

一個三角和數的估值

<正> 在本文中,我們將估計形如的和數,這裹的α是實數,p,p′是素數.若將α展成連分數,a/q為α之一渐近分數,則在適當條件下,我們得到估值     

谈倒數方程

(一)定義問題 前東北人民政府教育部編譯的高中代數課本所附的習題本(非現在修訂版所附的拉尼切夫的習題本)第十三章第五節中對於倒數方程所下的定義是:與首尾等距的兩項係數皆相等的任意次方程叫做倒數方程,但就是在這一節中所講的第二類四次倒敷方程ax~4+bx~3+cx~2-bx+a=0,事實上便不是如定義所說舆首尾等距的兩項係數皆相等的方程,因為b≠-b,所以我認為這樣給倒數方程下定義是不十分妥當的。 諾窪塞洛夫在“初等代數特別教程”及“代數與初等函數”中,對於倒數力程所下的定義也都和上面一樣,但是他在初等代數特別教程中(見§78)也把與首末二項等遠的x的偶次冪的係數相等,而奇次冪的係數符號相反的方程叫做第二類倒數方程。由此可見,上画所舉的高中代數習題本舆初等代數特別教程二書都等於介紹了倒數方程應     

單葉函數的係數(Ⅱ)

<正> §1.引言 在[1]文中,作者曾經對於單葉函數的係數進行討論,在本文中,將繼續之.在本文中所用的記號與[1]相同,不再一一重複定義,例如:記在單位圓|z|<1中k次對稱正则單葉函數的全體為S_k,特別記S_1,=S等等.     

二重福里哀级数系数的性质

<正> §1.引言.设 f(x)为以2π为周期的周期函数,其福里哀展开式为下列各事是大家熟知的:设 f(x)在一个基本区间(0,2π)不有界变差的函数,则     

随机狄里克莱级数的一些性质

本文研究随机狄里克莱级数的a.s.(几乎必然)收敛性和在a.s.收敛半平面内的a.s.增长性;为此,还研究了狄里克莱级数在收敛半平面内的增长性.这里推进了Valiron G.和Arnold L.的有关结果.文中还证明了在一定条件下,两类随机狄里克莱级数a.s.以其收敛轴上每一点为其Picard点或Borel(R)点.     

Approximation of continuous functions by trigonometric polynomials almost everywhere

We consider the problem of the rate of approximation of continuous 2π-periodic functions of class W^rH[ω]C by trigonometric polynomials of order n on sets of total measure. We prove that when r≥0,ω(δ)δ ^?1 → ∞ (δ → 0) there exists a function f ε W^rH[ω]C such thatf ε W^rH[ω]C and for any sequence {t_{n n=1} ^∞ we have almost everywhere on [0, 2π] $\begin{array}{l} \overline {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } \left| {f(x) - t_n (x)} \right|n^r \omega ^{ - 1} (1/n) > C_x > 0, \\ \overline {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } \left| {\tilde f(x) - t_n (x)} \right|n^r \omega ^{ - 1} (1/n) > C_x > 0. \\ \end{array}$      

函数集的完全性

1.:敲g(x)篇〔一二,二]上之非降的有界缝差两数,业具有性鬓(K)s‘二一0,一。(:);f--:.,。g。尹(:)!d:一郁匕,(‘一”,”;dg)篇在〔一二,司上定羲业且满足修件:,一{户,(柳dg(·)}青<一,>l的可测蝮值函数族{f(幻}.封龄一徊乙“(一二,侧d刃中之子族凌B(幻},若由f(劣)(乙,(一二,二:dg),夕>1生+上夕q=1,及f--:ha”“’“““’一0纷{B(x)}之任何B(哟成立必滇致f(幻在〔一二,司上规乎虚虚等焚零则释{B(x)}在乙“(一二,侧dg)中完全. 函数族的完全性是舆函数横造的一些简题很有阴保的.徙【l]我们知道{e‘”}豁。是在乙,(一二,州dg),,>1,中完全的,…     

关于亚纯代数体函数奇异方向的存在性

本文证明了如下结果:对于有穷正级亚纯代数体函数,一定存在一条奇异方向L∶arg z=θ0(0≤θ0＜2π),使得对于任意δ∈(0,π/2),在角域Δ(θ0,δ)内,对任意复数a,对任意ε＞0,有∑i1|zi(a;Δ(θ0,δ))|σ=∞(σ等于ρ或ρ-ε)至多有2v个例外a值.     

用黎曼求和法(R,1)求和時的基卜斯現象

<正> 假設級數滿足下面兩個條件,即:(甲)在原點的某一鄰域內,對於h(≠0)的一切值級數收斂;     

劳勃生的特殊星像函数和特殊凸像函数

<正> 设函数w在单位圆 E_z:|z|<1上是正则的.假如f(z)在 E_z上是单叶的,那末 D_f=f(E_z)是 w 平面上单叶的区域.记这种单叶函数f(z)的全体为 S_p,S_1=S.若 D_f 以原点 w=0 为星形中心,就是说若 w_0∈D_f则缐段■整个地落在区域 D_f 中,称这种函数 f(z)是 E_z 中的星像函数,其特徵是在 E_z     

On a problem of L. Leindler concerning strong approximation by Fourier series and Lipschitz classes

Пусть? — возрастающа я непрерывная фцнкци я на [0,π],?(0)=0 и $$\mathop \smallint \limits_0^h \frac{{\varphi \left( t \right)}}{t}dt = O\left( {\varphi \left( h \right)} \right){\text{ }}\left( {h \to 0} \right).$$ Положим $$\psi \left( h \right) = h\mathop \smallint \limits_h^\pi \frac{{\varphi \left( t \right)}}{{t^2 }}dt \left( {h \in (0, \pi ]} \right).$$ Доказывается следую щая теорема.Пусть f∈ С[?π, π], ω(f, δ)=О(?(δ))) и $$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\varphi \left( {\left| h \right|} \right)}}\left| {f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \right| = 0$$ для x∈E?[?π, π], ¦E¦>0. Тогда д ля сопряженной функц ии f почти всюду на E выполн яется соотношение $$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\psi \left( {\left| h \right|} \right)}}\left| {\tilde f\left( {x + h} \right) - \tilde f\left( x \right)} \right| = 0.$$ Из этой теоремы вытек ает положительное ре шение одной задачи Л. Лейндлера.     

在零点的隣區內彼此相等的特徵函数

<正> §1.引言 大家知道,兩個不相恆等的特徵函數(以下简称特函)可以在零點的隣區內相等。為固定用語起見,在本文中我們說特函f(t)属於集合(U),如果存在一個特函,它与f(t)在零的隣區內相等,但並不恆等於f(t);如果f(t)不屬於(U),就說它屬於(U)。     

級數的絕對總和性A

<正> 1.當函數f(x)=∑c_n x~n在區間0≤x≤1中是有界變差時,稱級數c_o+c_1+…依阿培耳的意義,可以絕對的求其和,簡稱∑c_n具有絕對總和性A,或是說:∑c_n可用|A|求和法求它的和.設a>-1,