MHD flow and heat transfer over a stretching surface with prescribed wall temperature or heat flux

The flow and heat transfer over a stretching sheet with a magnetic field in an electrically conducting ambient fluid have been studied. The effects of the induced magnetic field and sources or sinks have been included in the analysis. Both non-isothermal wall and constant heat flux conditions have been considered. The governing equations have been solved numerically using a shooting method. It is observed that for the prescribed wall temperature the skin friction, induced magnetic field at the wall and heat transfer are enhanced due to the magnetic field, but in general, they reduce as the reciprocal of the magnetic Prandtl number increases. For constant heat flux case, the temperature at the wall reduces as the magnetic field increases, but it increases with the reciprocal of the magnetic Prandtl number. The heat transfer is strongly affected by the Prandtl number, wall temperature and sink. Whenm<–2 andPr>2.5 the unrealistic temperature distributions are encountered. The present analysis is more general than any previous investigation.

---

MHD Strömung und Wärmeübertragung über eine gedehnte Oberfläche mit vorgeschriebener Wandtemperatur oder Wärmestrom

Zusammenfassung In dieser Studie ist die Strömung und Wärmeübertragung über eine gedehnte Fläche mit magnetischem Feld in einem elektrisch leitenden Fluid untersucht worden. Der Einfluß des induzierten magnetischen Feldes und der Quellen oder Senken sind in die Untersuchung einbezogen. Die beiden Fälle, nicht-isotherme Wand und konstanter Wandwärmestrom, sind betrachtet worden. Mit dem Eliminationsverfahren sind bestehende Gleichungen numerisch gelöst worden. Es ist beobachtet worden, daß für eine vorgeschriebene Wandtemperatur die Oberflächenreibung, das induzierte magnetische Feld und die Wärmeübertragung aufgrund des magnetischen Feldes verbessert sind. Aber im allgemeinen reduzieren sie sich im umgekehrten Maß wie die magnetische Prandtlzahl ansteigt. Für den Fall des konstanten Wärmestromes sinkt die Wandtemperatur, wenn das magnetische Feld stärker wird. Die Temperatur steigt jedoch reziprok zur magnetischen Prandtlzahl an. Die Wärmeübertragung ist sehr stark von der Prandtlzahl, Wandtemperatur und der Senke beeinflußt. Bei Werten vonm<–2 undPr2.5 sind unrealistische Temperaturverteilungen eingetreten. Die gezeigte Analyse ist allgemeiner als jede vorhergehende Untersuchung.

     

The effects of viscous dissipation on heat transfer to power law fluids in arbitrary cross-sectional ducts

In this paper, the analytical study of forced convection heat transfer to power-law fluids in arbitrary cross-sectional ducts with finite viscous dissipation is undertaken. Both the flow and heat transfer develop simultaneously from the entrance of the duct the walls of which are maintained at a constant temperature different from the entering fluid temperature. The governing conservation equations written in curvilinear coordinates are solved using the Line-Successive-Over relaxation (LSOR) method. Numerical results of dimensionless heat transfer coefficients and temperature profiles are presented for the trapezoidal, triangular, circular and square ducts. For cooling, viscous dissipation generally augments heat transfer. At low values of Brinkman number (Br0.1), the cooling effect dominates over viscous heating in the entrance region. AsBr is increased, the location where viscous dissipation becomes important shifts closer to the entrance until a value is reached for which the effect of viscous dissipation is always predominant irrespective of the axial location. When the walls are heated, for a non-zero Brinkman number, theNu _X* distribution exhibits a singularity from the negative side of theNu _X* axis. As the power-law index increases, the position of this singularity shifts closer to the entrance of the duct. Far downstream of the duct, for a fixedn, Nu _X* attains an asymptotic value which is independent ofBr and is at least thrice that for forced convection without viscous dissipation.Es wird die analytische Studie des Wärmeübergangs (freie Konvektion, begrenzte viskose Dissipation) bei mit Potenzansatz beschriebenen Fluiden in Rohrleitungen mit verschiedenen Querschnitten durchgeführt. Die Strömung und der Wärmeübergang entwickeln sich gleichzeitig ab dem Eingang der Leitungen. Die Wände der Rohrleitungen werden auf konstanter Temperatur gehalten, welche ungleich der Temperatur der einströmenden Flüssigkeiten ist. Die in Gaußschen Koordinaten geschriebenen Erhaltungsgleichungen werden mit der LSOR-(Line-Successive-Over-Relaxation-) Methode gelöst. Die numerischen Ergebnisse der dimensionslosen Wärmeübergangskoeffizienten und der Temperaturprofile werden für trapezförmige, dreieckige und runde Querschnitte vorgelegt. Beim Kühlen erhöht die viskose Dissipation in der Regel den Wärmeübergang. Bei kleinen Brinkman-Zahlen (Br0,1) dominieren die Kühlungseffekte über das viskose Aufheizen im Einlaufbereich. Wenn die Br-Zahlen erhöht werden, verschiebt sich die Gegend, in der die viskosen Effekte überwiegen, in Richtung Einlauf solange, bis eine Br-Zahl erreicht wird, bei der die Dissipation, unabhängig von der axialen Entfernung, immer dominant ist.Wenn die Wände bei Br-Zahlen ungleich Null beheizt werden, weist dieNu _X*-Verteilung eine Singularität auf der negativen Seite derNu _X*-Achse auf. Wenn der Index des Potenzansatzes steigt, nähert sich die Singularität dem Einlauf der Rohrleitung. Weit strömungsabwärts, für ein festesn, nimmtNu _X*, unabhängig von der Br-Zahl, asymptotische Werte an. Diese Werte erreichen das Dreifache derjenigen für erzwungene Konvektion ohne viskose Dissipation.     

Der Wärmeübergang im Post-Dryout-Gebiet während transienter Vorgänge

Zusammenfassung Werden in einem beheizten Verdampferrohr die Randbedingungen so geändert, daß sich der Ort der Siedekrise in Strömungsrichtung verschiebt, so kann dies vorübergehend zu einer starken Reduktion des Wärmeübergangskoeffizienten im Post-Dryout-Gebiet führen. Es werden die an einem Hochdruckkreislauf gewonnenen zeitlichen Verläufe der Wandtemperaturen analysiert, wie sie bei Absenkung des System-druckes bzw. der Enthalpie der Strömung am Eintritt in das Versuchsrohr auftreten. Anhand der Siedekurve werden die beobachteten Wandtemperaturverläufe interpretiert. Durch Nachrechnung der Experimente mit einem dynamischen Rechen-programm lassen sich die unterschiedlichen Effekte, die während der Transiente auftreten, separieren.

---

Heat transfer in post-dryout region during transients

A change in the boundary conditions in a heated evaporator tube (moving the location of the boiling crisis downstream) could lead to a strong reduction in the heat transfer coefficient in the Post-Dryout region. The analyzed wall temperature data were obtained in a high pressure test loop by reducing the system pressure, or the enthalpy at the test section inlet. The wall temperature time histories were interpreted using the boiling curve. The various effects occurring during the transient could be separated by recalculating the tests with a dynamic simulation computer program.

---

Formelzeichen h Sättigungsenthalpie des Wassers - p Druck - p _c kritischer Druck - Q Wärmestrom - q Wärmestromdichte - q₁, q₂ Wärmestromdichte für Rohrabschnitt l bzw. 2 - t Zeit - x wirklicher Dampfmassenanteil - ¯x bilanzmäßiger Dampfmassenanteil Herrn Prof. Dr.-Ing. U. Grigull zum 70. Geburtstag gewidmet     

Forced convection heat transfer to an elastic fluid of constant viscosity flowing through a channel filled with a Brinkman-Darcy porous medium

An analysis is presented of fully developed flow and heat transfer in a channel confined by two parallel walls subjected to uniform heat flux in a highly porous medium saturated with an elastic fluid of constant viscosity. The Brinkman-extended Darcy model is used for studying the effect of the boundary viscous frictional drag on the heat transfer characteristics. The approximate integral method is employed to obtain a solution.

---

Wärmeübergang bei Zwangskonvektion an ein elastisches Fluid konstanter Zähigkeit, das durch einen, von einem porösem Medium mit Brinkman-Darcy Charakteristik ausgefüllten Kanal fließt

Zusammenfassung Die Untersuchung bezieht sich auf die voll ausgebildete Strömung und den Wärmeübergang in einem von zwei parallelen Wänden begrenzten Kanal bei konstantem Wärmefluß am Rande. Der Kanalraum wird von einem hochporösem Medium ausgefüllt, das mit einem elastischen Fluid konstanter Zähigkeit getränkt ist. Der Einfluß des Reibungswiderstandes an den Kanalgrenzen auf das Wärmeübertragungsverhalten wird mit Hilfe des von Brinkman erweiterten Darcy-Transportgesetzes ermittelt. Die Lösung erfolgte unter Anwendung eines näherungsweisen gültigen Integralverfahrens.

     

Einfluß ausgestanzter Deltaflügel-Wirbelerzeuger auf Wärmeübergang und Strömungswiderstand von Rippenrohren

Zusammenfassung Der Einfluß von Sekundärflächen in der Form eines Delta-Halbflügelpaares auf Wärmeübergang und Strömungs-widerstand einer Rippenrohr-Konfiguration wurde untersucht. Die Halbflügelflächen wurden aus der Rippe ausgestanzt, die Sehne der Halbflügel blieb mit der Rippe verbunden. Die Flügelfläche war sehr klein gegenüber der Rippenfläche und bildete einen Winkel mit der Hauptströmungsrichtung, so daß die Vorderkanten starke Längswirbel erzeugten. Die Versuche wurden in einem geschlossenen Windkanal mit vertikaler Meßstrecke durchgeführt. Lokaler und mittlerer Wärmeübergang wurden durch instationäre Flüssigkristall-Thermografie bestimmt, die Widerstandsmessung erfolgte durch Wägung. Im Reynoldszahlbereich 2000 bis 5300 wurde die optimale Lage des Halbflügelpaares relativ zum Rohr ermittelt. Für ein Verhältnis der Fläche des Halbflügelpaares zur Rippenfläche von 0,003 wurden mittlere Wärmeübergangserhöhungen von 20% bei gleichzeitiger Widerstandsminderung der Rippenrohr-Konfiguration von 7% erzielt. Lokale Wärmeübergangserhöhungen von mehr als 70% wurden gemessen. Aus den Messungen folgt, daß Delta-Halbflügel den Wärmeübergang von Rippenrohr-Konfigurationen erhöhen und gleichzeitig den Strömungsverlust senken können.

---

Influence of punched-out delta-winglet vortex generators on heat transfer and drag of fin-tubes

Fin-tube configurations with a small delta-winglet pair punched out from the fins have been investigated with regard to heat transfer and drag. The winglets were punched out in such a way that their chords stayed connected with the fin. The winglet area was small compared to the fin area, it formed an angle with the main flow direction, so that the leading edges generated strong longitudinal vortices. The experiments were performed in a wind tunnel with vertical test section. Local and global heat transfer were determined by liquid crystal thermography, drag was measured by a scale. For Reynolds numbers between 2000 and 5300 the optimal winglet position relative to the tube was determined. For a winglet to fin area ratio of 0.003 an overall heat transfer enhancement on the fin of 20% resulted with a simultaneous drag reduction of 7%. Local heat transfer enhancements of more than 70% were measured. From the measurements follows that winglet pairs can increase the heat transfer in fin-tube configurations while simultaneously decreasing the flow losses.

---

---

Herrn Prof. Klaus Gersten zum 60. Geburtstag gewidmet     

Heat transfer in flow past a continuously moving porous flat plate with heat flux

The analysis of the heat transfer in flow past a continuously moving semi-infinite plate in the presence of suction/ injection with heat flux has been presented. Similarity solutions have been derived and the resulting equations are integrated numerically. It has been observed that an increase in suction value leads to an increase in temperature whereas it is opposite in the case of injection.

---

Wärmeübergang in einer Strömung hinter einer wärmeabgebenden, kontinuierlich bewegten, porösen Platte

Zusammenfassung Es wird eine Analyse des Wärmeübergangs in einer Strömung hinter einer bewegten, halbunendlichen Platte bei gleichzeitiger Absaugung bzw. Ausströmung präsentiert. Mit Hilfe von Ähnlichkeitsbetrachtungen wurden Lösungen erarbeitet und die daraus resultierenden Gleichungen wurden numerisch integriert. Als Ergebnis zeigte sich, daß zunehmende Absaugung zu einer Erhöhung der Temperatur führt, während bei der Ausströmung das Gegenteil der Fall ist.

     

Natural convection in vertical cavities with internal heat generating porous medium

Steady natural convection heat transfer in a two dimensional cavity filled with a uniform heat generating, saturated porous medium has been studied. The boundary conditions were: Two isothermal walls at different temperatures, two horizontal adiabatic walls. The aspect ratio was varied from 0.1 to 10 and the Rayleigh number from 10⁰ to 10⁸. The results are presented in terms of the isotherms and stream functions, the temperature variation and maximum temperature in the cavity and heat transfer from the vertical walls. The study indicates that asymmetric vertical boundary conditions with _h >0 has an important effect on the temperature and flow fields as well as on the heat transfer characteristics of the cavity with highly asymmetric results. Various heat transfer modes are identified dependent on the Rayleigh number and the aspect ratio.Es wurde stetiger Wärmeübergang durch freie Konvektion in einen zweidimensionalen Hohlraum, gefüllt mit gleichmäßig wärmeerzeugendem porösen Medium, untersucht. Dabei wurden folgende Randbedingungen festgelegt: zwei isotherme Wände unterschiedlicher Temperatur, zwei horizontale adiabate Wände. Das Verhältnis vonH/L wurde zwischen 0,1 und 10, die Rayleigh-Zahl zwischen 10⁰ und 10⁸ variiert. Die Ergebnisse werden durch Terme der Temperaturverläufe, der maximalen Temperatur im Hohlraum, der Isothermen und der Strömungsfunktion, sowie der Wärmeübertragung der vertikalen Wände dargestellt. Die Studie zeigt, daß asymmetrische Randbedingungen mit _h >0 einen großen Einfluß auf Temperatur- und Strömungsfelder, als auch auf die Wärmeübertragungskennzahlen des Hohlraumes mit stark asymmetrischen Ergebnissen haben. Die verschiedenen Arten der Wärmeübertragung werden in Abhängigkeit von der Rayleigh-Zahl und dem Verhältnis vonH/L beschrieben.     

Fundamental study of heat transfer augmentation of tube inside surface by cascade smooth surface-turbulence promoters

Arc-shaped turbulence promoters along the circular tube inside surface which have capability of cleaning down tube fouling by sponge balls are proposed for enhancing the heat transfer performance. First, flow characteristics and heat transfer performance of air flow in a rectangular channel for several promoters were investigated. The arc-shaped promoter was found to have the lowest pressure loss. Secondly, turbulence structures of water flow by the arc-shaped promoters in a circular tube were measured by use of a newly developed two-color LDV. The local heat transfer coefficient was shown to be well correlated to the Reynolds stress and the existence of the optimum height of the promoter as elucidated. Lastly, performances of thermoelectric power generation by using cascade arc-shaped promoters for OTEC were measured and the optimum condition was investigated.

---

Untersuchungen zur Verbesserung des Wärmeübergangs an der inneren Rohroberfläche mittels einer Kaskade von Turbulenz-Promotoren

Zusammenfassung Es werden bogenförmige längs der inneren Oberfläche eines runden Rohres angeordnete Turbulenz-Promotoren vorgeschlagen, welche die Reinigung des Rohres von Ablagerungen mittels Wisch-Bällen erlauben und das Wärmeübergangsverhalten verbessern. Zunächst wurde das Verhalten des Wärmeübergangs einer Luftströmung in einem rechteckigen Kanal für verschiedene Promotoren untersucht. Es zeigte sich, daß die bogenförmigen Promotoren den niedrigsten Druckverlust verursachen. Dann wurden die durch die bogenförmigen Promotoren verursachten Turbulenzstrukturen in einem runden Rohr gemessen unter Verwendung eines neu entwickelten ZweifarbenLaser-Doppler-Verfahrens. Es zeigte sich, daß der Wärmeübergangskoeffizient gut mit der Reynoldschen Schubspannung berechnet werden kann und daß eine optimale Höhe des Promotors existiert. Schließlich wurde die Eignung dieser Promotoren für die thermoelektrische Energiewandlung untersucht und die dabei gegebenen optimalen Bedingungen herausgestellt.

---

Nomenclature D height of rectangular channel or diameter of tube, m - H height of promoter, m - k turbulent energy, m²/s² - q² 3u ²+ v² /2, twice the kinetic energy, m²/s² - Re, Rh Reynolds number based onD and hydraulic diameter - U, V time mean velocity inx andy directions, m/s - u, v fluctuating velocity inx andy directions, m/s - x, y distances from promoter to downstream and from wall, m - dissipation rate of turbulent energy, m²/s³ Dedicated to Prof. Dr.-Ing. U. Grigull's 75th birthday     

Zum Einfluß der Oberflächenrauhigkeit und des Rohrdurchmessers beim Blasensieden an einzelnen Glatt- und Rippenrohren

Zusammenfassung Wärmeübergangsmessungen beim Blasensieden von Hexan an einem Glattrohr und einem Rippenrohr aus Stahl mit großem Durchmesser und großer, einheitlicher Oberflächenrauhigkeit zeigen, daß die Wärmeübergangskoeffizienten an der äußeren Rippenrohroberfläche bei hohen Wärmestromdichten größer sind als am Glattrohr und bei Annäherung an die freie Konvektion ohne Blasen allmählich auf die Glattrohrwerte abnehmen. Zusatzmessungen mit einem Glattrohr erheblich kleineren Durchmessers lassen den Schluß zu, daß die Variation des Rohrdurchmessers vor allem den Anstieg des Wärmeübergangskoeffizientenn mit der Wärmestromdichte verändert, die relative Druckabhängigkeit und die Absolutwerte von bei mittleren Wärmestromdichten dagegen weitgehend unbeeinflußt läßt.

---

Influence of surface roughness and tube diameter on pool boiling at single plain and finned tubes

Heat transfer with pool boiling of hexane was measured for single plain and finned steel tubes with great diameter and very rough, sandblasted surface. The results show that the heat transfer coefficients calculated for the outer surfaces of both tubes are higher in the case of the finned tube at high heat fluxes, and gradually diminish down to the values of the plain tube until natural convection without bubble formation has been reached. Additional measurements using a plain tube with much smaller diameter but identical surface treatment indicate that great differences of the tube diameter influence the increase of the heat transfer coefficient with heat flux significantly, the relative pressure dependence and the absolute values of the heat transfer coefficient at intermediate heat fluxes, however, are concerned on a smaller scale.

---

---

Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Stephan zum 60. Geburtstag gewidmet     

Ein Differenzenverfahren zur Berechnung der gekoppelten Geschwindigkeits- und Temperaturfelder bei laminarer Rohrströmung mit temperaturabhängigen Stoffwerten

Zusammenfassung Die partiellen Differentialgleichungen für das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld der laminaren Strömung in geheizten oder gekühlten Rohren sind wegen der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte des Strömungsmediums gegenseitig gekoppelt. Zur Lösung dieses Systems nichtlinearer Differentialgleichungen wird ein Differenzenverfahren angegeben, bei dem die örtliche Linearisierung der Gleichungen durch Iteration korrigiert wird. Die Aufstellung der Differentialgleichungen und ihre Lösung bei verschiedenen Anfangsund Randbedingungen werden erläutert. Als Anwendungsbeispiele dienen die isotherme Rohreinlaufströmung und die Verformung der Geschwindigkeitsprofile beim Wärmeübergang als Folge der temperaturabhängigen Viskosität.

---

The partial differential equations of the velocity and temperature fields of laminar flow in heated or cooled circular tubes are coupled because of the temperature dependent properties of the fluid. For solving this system of nonlinear differential equations a finite difference method is given, in which the local linearization of the equations is corrected by iteration. The derivation of the difference equations and their solution are described for variable initial and boundary conditions. The isothermal flow in the inlet of the tube and the deformation of the velocity profiles with heat transfer by the temperature dependent viscosity are given as examples.

---

Bezeichnungen c _p ^* spez. Wärmekapazität - c _p dimensionslose spez. Wärmekapazität - D Rohrdurchmesser - l _H ^* hydrodynamische Einlauflänge - l _H dimensionslose hydrodynamische Einlauflänge - n Anzahl der radialen Schritte beim Differenzenverfahren - Pr Prandtl-Zahl - p* Druck eines Flüssigkeitsteilchens - p dimensionsloser Druck eines Flüssigkeitsteilchens - Wärmestromdichte - Re Reynolds-Zahl - R Rohrradius - r* radiale Koordinate - r dimensionslose radiale Koordinate - t Temperatur - u* Geschwindigkeit in axialer Richtung - u dimensionslose Geschwindigkeit in axialer Richtung - v* Geschwindigkeit in radialer Richtung - v dimensionslose Geschwindigkeit in radialer Richtung - z* Koordinate in axialer Richtung - z dimensionslose Koordinate in axialer Richtung - Parameter des Differenzenverfahrens - * dynamische Viskosität - dimensionslose dynamische Viskosität - dimensionslose Temperatur - _ER Reibungsdruckabfall im Rohreinlauf - * Wärmeleitfähigkeit - dimensionslose Wärmeleitfähigkeit - * Dichte - Verhältnis der Schrittweiten Indizes D auf den Rohrdurchmesser bezogen - j Laufzahl des Differenzenverfahrens in radialer Richtung - k Laufzahl des Differenzenverfahrens in axialer Richtung - W an der Rohrwand - 0 im Rohreintrittsquerschnitt oder bei Beginn des Wärmeübergangs Teil der von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig genehmigten Dissertation des Verfassers.     

Second-order boundary-layer effects for the unsteady laminar incompressible three-dimensional stagnation-point flow

All the second-order boundary-layer effects on the unsteady laminar incompressible flow at the stagnation-point of a three-dimensional body for both nodal and saddle point regions have been studied. It has been assumed that the free-stream velocity, wall temperature and mass transfer vary arbitrarily with time. The effect of the Prandtl number has been taken into account. The partial differential equations governing the flow have been derived for the first time and then solved numerically unsteady free-stream velocity distributions, the nature of the using an implicit finite-difference scheme. It is found that the stagnation point and the mass transfer strongly affect the skin friction and heat transfer whereas the effects of the Prandtl number and the variation of the wall temperature with time are only on the heat transfer. The skin friction due to the combined effects of first- and second-order boundary layers is less than the skin friction due to, the first-order boundary layers whereas the heat transfer has the opposite behaviour. Suction increases the skin friction and heat transfer but injection does the opposite.

---

Grenzschichteffekte zweiter Ordnung für laminare inkompressible dreidimensionale Staupunktströmung

Zusammenfassung Es wurden Grenzschichteffekte zweiter Ordnung bei instationärer laminarer inkompressibler Strömung am Staupunkt eines dreidimensionalen Körpers, sowohl für knotenartige als auch für sattelförmige Bereiche studiert. Dabei wurde angenommen, daß die Freistrahlgeschwindigkeit, die Wandtemperatur und der Stoffübergang beliebig mit der Zeit variieren. Der Einfluß Prandtlzahl wurde mit in Betracht gezogen. Die partiellen Differentialgleichungen welche die Strömung beschreiben, wurden zum ersten Mal abgeleitet und dann numerisch gelöst, wobei ein implizites finites Differenzverfahren verwendet wurde.Es wurde gefunden, daß die Verteilung der instationären Freistrahlgeschwindigkeit die Natur des Staupunktes und der Stofftransport die Wandreibung und den Wärmeübergang stark beeinflussen, während die Prandtl-Zahl und zeitlich veränderliche Wandtemperaturen sich nur auf den Wärmeübergang auswirken. Die Wandreibung infolge der kombinierten Einflüsse von Grenzschichten erster und zweiter Ordnung ist kleiner als diejenige infolge der Grenzschichten erster Ordnung, während der Wärmetransport umgekehrtes Verhalten zeigt. Eine Absaugung erhöht die Wandreibung und den Wärmeübergang Zublasen hat umgekehrte Wirkung.

     

Berechnung der Strömungsverluste von ungestaffelten ebenen Schaufelgittern

Zusammenfassung Zur Berechnung der Gitterverluste eines ebenen ungestaffelten Schaufelgitters aus vorgegebenen Profilen ist ein Rechenverfahren im Anschluß an eine Arbeit vonH. Schlichting undN. Scholz entwickelt worden. Als erster Schritt wird dabei mit Hilfe der Singularitätenmethode die Geschwindigkeitsverteilung an der Profilkontur sowie Zu- und Abströmrichtung in reibungsloser Strömung ermittelt. Mit den Ergebnissen der folgenden Grenzschichtrechnung werden die Gitterverluste sowie die Änderung von Zu- und Abströmrichtung durch die Reibung berechnet.Um einen Einblick in die Abhängigkeit der Strömungsparameter von den wesentlichsten geometrischen Parametern Profildicke und -wölbung sowie Gitterteilung zu erhalten (der Schaufelwinkel ist beim ungestaffelten Gitter unverändert _s =90°), sind die in Abb. 6 dargestellten Gitteranordnungen systematisch gerechnet worden. Aus den Ergebnissen sind diejenigen Anordnungen ermittelt worden, die bei einer vorgegebenen Strömungsumlenkung durch das Gitter die geringsten Verluste verursachen. Beschreibt man die vorgegebene Strömungsumlenkung durch die Gitterumlenkung (Änderung der Umfangskomponente der Abströmrichtung gegenüber der der Zuströmrichtung, mit der Durchsatzgeschwindigkeit dimensionslos gemacht), dann ergibt sich bei jedem Profil für eine gegebene Gitterumlenkung eine günstigste Teilung, bei der die Verluste einen Minimalwert annehmen. Diese Optimalwerte sind für alle gerechneten Profile in Abb. 18 zusammengefaßt. Mit diesen Optimalkurven lassen sich dann auch die Profile ermitteln, die ihrerseits für eine vorgegebene Aufgabe am günstigsten sind. Bei symmetrischen Profilen verursacht das 10% dicke Profil bei allen Gitterumlenkungen die geringsten Verluste. Bei gewölbten Profilen ist die günstigste Wölbung von der Gitterumlenkung abhängig, und zwar wächst die günstigste Wölbung mit der Gitterumlenkung.Gekürzte Fassung der Braunschweiger Dissertation 1953; Hauptberichter: Prof. Dr.H. Schlichting; Mitberichter: Prof. Dr.C. Pfleiderer. Auszugsweise vorgetragen auf der Tagung des VDI-Fachausschusses für Strömungstechnik in Zürich, 9. bis 11. Juni 1954. Diese Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft unterstützt.     

Heat transfer to non-Newtonian power-law fluid past a continuously moving porous flat plate with heat flux

The analysis of heat transfer to the non-Newtonian power-law fluid flow past a continuously moving flat porous plate in presence of suction/injection with heat flux has been presented. We have obtained the solution using the method of successive approximations, starting with zero approximation. It has been observed that the results obtained forn=1 are in good agreement with the corresponding results for Newtonian fluid. For various values of flow indexn and the suction/injection parameter, temperature profiles and rate of heat transfer have been presented graphically. The effect of suction is to decrease in temperature and the rate of heat transfer, while reverse nature occurs for injection.

---

Wärmeübertragung bei Nicht-Newton'schen Fluiden, die dem Potenz-Ansatz gehorchen, entlang einer stetig bewegten, flachen, porösen Platte mit Wärmestrom

Zusammenfassung Hier ist die Berechnung der Wärmeübertragung bei Nicht-Newton'schen Fluiden entlang einer sich stetig bewegenden, flachen Platte mit Wärmestrom dargestellt worden, bei der die Grenzschicht abgesaugt bzw. eingeblasen wird. Die Lösung erhielten die Verfasser mit dem Verfahren der sukzessiven Approximation, beginnend mit der Nullapproximation. Es ist festgestellt worde, daß die erhaltenen Ergebnisse fürn=1 mit den Ergebnissen für Newton'sche Fluide übereinstimmen. Für verschiedene Werte des Strömungsindexesn und des Absaug-/Einblasparameters sind die Temperaturprofile und die Wärmeübertragungsraten graphisch dargestellt worden. Beim Absaugen ergibt sich eine Erniedrigung der Temperatur und der Wärmeübertragungsrate, während genau das Gegenteil beim Einblasen eintritt.

     

Unsteady free convection flow under the influence of a magnetic field

Summary The unsteady free convection boundary layer at the stagnation point of a two-dimensional body and an axisymmetric body with prescribed surface heat flux or temperature has been studied. The magnetic field is applied parallel to the surface and the effect of induced magnetic field has been considered. It is found that for certain powerlaw distribution of surface heat flux or temperature and magnetic field with time, the governing boundary layer equations admit a self-similar solution locally. The resulting nonlinear ordinary differential equations have been solved using a finite element method and a shooting method with Newton's corrections for missing initial conditions. The results show that the skin friction and heat transfer coefficients, andx-component of the induced magnetic field on the surface increase with the applied magnetic field. In general, the skin friction, heat transfer andx-component of the induced magnetic field for axisymmetric case are more than those of the two-dimensional case. Also they change more when the surface heat flux or temperature decreases with time than when it increases with time. The skin friction, heat transfer andx-component of the induced magnetic field are significantly affected by the magnetic Prandtl number and they increase as the magnetic Prandtl number decreases. The skin friction andx-component of the magnetic field increase with the dissipation parameter, but heat transfer decreases.

---

Instationäre freie Konvektionsströmung unter dem Einfluß eines magnetischen Feldes

Übersicht Untersucht wurde die instationäre freie Konvektionsgrenzschicht am Ruhepunkt eines zweidimensionalen und achsensymmetrischen umströmten Körpers bei vorgegebenem Wärmefluß bzw. bei vorgegebener Temperatur an der Oberfläche. Das magnetische Feld wird parallel zur Oberfläche angelegt, und der Einfluß des induzierten magnetischen Feldes wurde berücksichtigt. Es stellt sich heraus, daß bei bestimmter, zeitlicher Potenzgesetzverteilung des Wärmeflusses bzw. der Temperatur und des magnetischen Feldes an der Oberfläche die geltenden Grenzschichtgleichungen örtlich eine selbstähnliche Lösung erlauben. Die sich ergebenden nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen wurden mittels einer Finite-Element-Methode und einer Shooting-Methode mit Newtonschen Korrekturen für fehlende Anfangsbedingungen gelöst. Die Ergebnisse zeigen, daß die Oberflächenreibung und die Wärmeübergangskoeffizienten sowie diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes an der Oberfläche mit dem angelegten magnetischen Feld zunehmen. Im allgemeinen sind die Oberflächenreibung, der Wärmeübergang und diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes im achsensymmetrischen Fall größer als die entsprechenden Werte im zweidimensionalen Fall. Außerdem verändern sich diese Werte beim zeitlichen Abfallen des Wärmeflusses an der Oberfläche bzw. der Temperatur in höherem Maße als bei der zeitlichen Zunahme dieser Werte. Die Oberflächenreibung, der Wärmeübergang und diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes werden durch die magnetische Prandtl-Zahl erheblich beeinflußt; sie nehmen mit abfallender magnetischer Prandtl-Zahl zu. Die Oberflächenreibung und diex-Komponente des magnetischen Feldes nehmen mit dem Wärmeableitungsparameter zu, der Wärmeübergang jedoch fällt ab.

     

Wärmeübergang bei turbulenter freier Konvektion an senkrechten Zylindern

Zusammenfassung Für den Wärmeübergang an senkrechten Zylindern bei turbulenter freier Konvektion werden die Impulsgleichung und die Energiegleichung der Grenzschicht gelöst. Dabei werden für die Geschwindigkeits- und Temperaturverteilung Ansätze von Eckert und Jackson gewählt, die das 1/7-Potenzgesetz bei turbulenter Strömung berücksichtigen. Ihre Ansätze werden mit dem ParameterH/D in der gleichen Weise erweitert, die sich beim laminaren Wärmeübergang bewährt hat, damit sie auch die Abhängigkeit von der radialen Koordinate beschreiben können. Die Parameter dieser Ansätze werden in Beziehung zu den Parametern bei Wärmeübergang an der senkrechten Wand gleicher Höhe bei gleichen Randbedingungen gesetzt. Mit der Lösung wird die mittlere Nußeitzahl als Funktion der Grashofzahl, der Prandtlzahl und des Parameters Höhe/Durchmesser berechnet.

---

Heat transfer for free turbulent convection on vertical cylinders

Solutions of the momentum and energy boundary-layer equations for heat transfer on vertical cylinders are presented. The velocity and temperature distribution as developed by Eckert and Jackson have been applied. The parameters of the distributions on the cylinder are related to those of an equivalent wall having corresponding height and similar boundary conditions. With such assumptions the boundary-layer equations can be solved. The Nusselt number as determined is a function ofNu on equivalent wall and the ratioH/D.

---

Formelzeichen a Temperaturleitfähigkeit - a ₁,a ₂,a ₃ Koeffizienten - b ₁,b ₂,b ₃ Koeffizienten - D Zylinderdurchmesser - g Erdbeschleunigung - Gr Grashofzahl - H Höhe der Wand oder des Zylinders - Nu Nußeltzahl - Pr Prandtlzahl - q Wärmestromdichte - r Radius des Zylinders - T Temperatur - T₀ Temperaturdifferenz - w Strömungsgeschwindigkeit - w ₁ charakteristische Geschwindigkeit - w _1w charakteristische Geschwindigkeit der entsprechenden Wand bei gleichen Randbedingungen - Koordinate in senkrechter Richtung - y Koordinate in Radialrichtung - Wärmeübergangskoeffizient - Volumenausdehnungskoeffizient - Dicke der Grenzschicht am Zylinder - _w Dicke der Grenzschicht an der entsprechenden Wand beigleichen Randbedingungen - Wärmeleitfähigkeit - Zähigkeit - Schubspannung Indizes m mittlerer - P für die senkrechte Wand - R für den senkrechten Zylinder - w an der Oberfläche - o außerhalb der Grenzschicht     

Beitrag zur Berechnung des Wärmeüberganges und Druckabfalles laminarer Einlaufströmungen

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wurden Wärmeübergang und Druckabfall nichtausgebildeter Laminarströmung in Rohren und ebenen Kanälen berechnet. Hierzu wurden exakte Methoden der Grenzschichttheorie, wie sie zur Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung üblich sind, auf die Berechnung der Temperaturverteilung übertragen. Diese Methoden bestehen darin, daß man eine Entwicklung von vorn ansetzt, die vom Eintrittsquerschnitt an gültig ist, und eine Entwicklung von hinten, die in größerer Entfernung vom Eintrittsquerschnitt an gilt. In dem Bereich, wo weder die Entwicklung von vorn noch die Entwicklung von hinten gültig sind, weil nicht genügend Glieder zur Verfügung stehen, erzielt man durch Interpolation brauchbare Ergebnisse. Die in der Arbeit beschriebenen Methoden sind auch geeignet, den Wärmeübergang und Druckabfall in Ringspalten zu berechnen. Das wird jedoch eine erhebliche Rechenarbeit erfordern, weil als weiterer Parameter noch das Verhältnis der Radien des inneren und des äußeren Rohres auftritt.Auszug aus der von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Karlsruhe genehmigten Dissertation des Verfassers.     

Wärmeübergang bei laminarer Rohrströmung mit axialer Wärmeleitung

Zusammenfassung Der Einfluß der axialen Wärmeleitung auf den konvektiven Wärmeübergang kann bei laminarer Strömung bedeutsam werden. Theoretisch-numerische Methoden wurden angewendet, um eine umfassende Untersuchung dieses Wärmeübergangsproblems für folgende Bedingungen durchführen zu können: Axiale Wärmeleitung im Fluid stromaufwärts und stromabwärts des Wärmeübergangsrohres bei entweder konstanter Temperatur oder konstanter Wärmestromdichte an der Rohrwand. Für die Wand des Zulaufrohres wird entweder eine konstante Temperatur oder Wärmeundurchlässigkeit angenommen.

---

Heat transfer in tubes with laminar flow and axial heat conduction

The influence of axial heat conduction on convective heat transfer becomes of importance for laminar flow conditions. Numerical methods have been applied for a comprehensive study of this mode of heat transfer for the following conditions: Axial molecular heat conduction in the fluid upstream and downstream of the heat transfer tube with constant temperature or constant heat flux at the tube wall. For the wall of the entrance tube arranged upstream of the heat transfer tube either constant temperature or adiabatic conditions were assumed.

---

Bezeichnungen a m²/s Temperaturleitkoeffizient - c_p kJ/(kg K) spezifische Wärmekapazität - d m Rohrdurchmesser - q_w kJ/(m²s) Wärmestromdichte an der Wand - r m radiale Koordinate - R m Rohrradius - T K örtliche Temperatur des Fluids - T_O K Fluidtemperatur am Rohreintritt bei x=– - T₁ K Fluidtemperatur am Rohraustritt bei x=+ - ¯T K mittlere Fluidtemperatur - T_f K integrale Mitteltemperatur - w m/s örtliche Geschwindigkeit des Fluids - ¯w m/s mittlere Fluidgeschwindigkeit - x m axiale Koordinate - _x kJ/(m²s K) örtlicher Wärmeübergangskoeffizient - kJ/(m²s K) mittlerer Wärmeübergangskoeffizient - kg/(m s) dynamische Viskosität des Fluids - kJ/(m s K) Wärmeleitkoeffizient des Fluids - m²/s kinematische Viskosität des Fluids - kg/m³ Dichte des Fluids Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Glaser zum 75. Geburtstag gewidmet     

Messungen des Wärmeübergangs bei der Verdampfung binärer Gemische

Zusammenfassung Es wurde der Wärmeübergang von der Außenfläche eines horizontalen Rohres an siedende Zweistoffgemische experimentell untersucht. Die Messungen erstreckten sich über den Bereich der Blasenverdampfung bei freier Konvektion und wurden bei Drücken von 1 bis 16 ata ausgeführt. Der mittlere relative Fehler des gemessenen Wärmeübergangskoeffizienten betrug ±7%. Es wurden acht Gemische untersucht, die so ausgewählt wurden, daß starke Oberflächenspannungs-und Mischungseffekte nicht auftraten. Alle Messungen zeigten übereinstimmend, daß der Wärmeübergang bei der Verdampfung des Gemisches gegenüber dem bei der Verdampfung der reinen Komponenten vermindert ist. Anhand von Diagrammen wurden die Meßergebnisse und das Siedeverhalten eines jeden Gemisches einander gegenübergestellt. Dadurch wird deutlich, daß das besondere Verhalten verdampfender Zweistoffgemische im wesentlichen vom Unterschied der Zusammensetzungen der im Gleichgewicht zueinander stehenden Dampf- und Flüssigkeitsphasen abhängt.

---

Measurement of heat transfer in the evaporation of binary mixtures

The heat transfer from the outer surface of a horizontal tube to a boiling binary mixture was experimentally investigated. The measurements covered the complete range of pool boiling with free convection and were performed at pressures ranging from 1 to 16 ata. The average relative error of heat transfer coefficients thus obtained was ±7%. The eight mixtures investigated were selected with the intent to have minimum effects by surface tension and mixing phenomena. All measurements were consistent in the observation that heat transfer in the boiling mixture is reduced compared with boiling of the pure components. The measured data and the boiling characteristics of each mixture were plotted in diagrams and compared. This illustrated that the specific boiling behavior of binary mixtures is essentially governed by the difference in composition of the vapor and liquid which are in equilibrium.

     

Composite heat transfer in a variable porosity medium bounded by an infinite flat plate

Heat transfer by simultaneous radiation and convection in a variable porosity medium bounded by an infinite flat plate is determined by solving momentum and energy equations. The problem is investigated for two different cases, viz., presence of porous medium and absence of porous medium. In the presence of porous medium both variable and constant porosity situations are studied. Similarity solutions are obtained for an isothermal and impermeable wall. The Kozeny-Blake expression connecting porosity and permeability is incorporated in the analysis for unified treatment. A parameter survey is made to study the effect of optical thickness, porous parameter, albedo scattering and ratio of conduction to radiation using Runge-Kutta-Gill method. The heating and cooling cases are considered for variable porosity situation. The results show that both convective and radiative components decrease with increase in porous parameter, and the inhomogeneity of the medium enhances heat transfer rate. The increase in optical thickness leads to decrease in both convective and radiative fluxes. For a particular value of wall emissivity ( _w =0.5932116) the radiative flux is reduced to zero.

---

Kombinierter Wärmeübergang in einem durch eine unendlich ausgedehnte ebene Platte begrenzten Medium variabler Porosität

Zusammenfassung Der Wärmeübergang bei gleichzeitigem Einfluß von Strahlung und Konvektion in einem Medium variabler Porosität, das durch eine unendlich ausgedehnte ebene Platte begrenzt ist, wird durch Lösung der Impuls- und Energiegleichung bestimmt (den Sonderfall, daß nur Fluid, aber kein poröses Medium vorliegt, eingeschlossen). Im allgemeinen Fall — mit porösem Medium — wird sowohl variable, wie auch konstante Porosität unterstellt. Für die isotherme und stoffundurchlässige Wand existieren Ähnlichkeitslösungen. Um eine einheitliche mathematische Behandlung zu ermöglichen, wird die (Porosität und Permeabilität verknüpfende) Beziehung nach Kozeny-Blake eingeführt. Eine Parameterstudie, durchgeführt unter Verwendung der Runge-Kutta-Gill-Methode, zeigt den Einfluß der optischen Dicke, des Porositätsparameters, der Albedo-Streuung und des Verhältnises von Leitung zu Strahlung. Die Fälle Heizung und Kühlung wurden bei variabler Porosität untersucht. Aus den Ergebnissen geht hervor, daß die Konvektions- und Strahlungsanteile mit zunehmenden Porositätsparameter abnehmen und daß der Wärmeübergang durch Inhomogenität des Mediums verbessert wird. Zunehmende optische Dicke verusacht eine Abnahme sowohl des Konvektions- wie des Strahlungsflusses. Beim Wert _w =0.5932116 des Wandemissionsverhältnisses fällt der Strahlungsfluß auf Null ab.

     

Ermittlung der kleinsten Kühlfläche von Dampfverflüssigern mit senkrechten Rohren

Zusammenfassung Die Arbeit befaßt sich mit der Frage, wie man die Anzahl senkrechter Rohre in Dampfverflüssigern bei kleinster Kühlfläche ermitteln kann. Hierbei wird angenommen, daß gesättigter Dampf an den Rohren bei laminarer Kondensatströmung ohne Schubspannung an der Phasengrenze verflüssigt wird, während Kühlfluid in Rohren turbulent strömt.Ausgehend von einer Beziehung für den Wärmedurchgangskoeffizienten wird eine Gleichung zur Ermittlung der Rohranzahl bei der minimalen Kühlfläche des Apparates hergeleitet und durch einige Beispiele veranschaulicht. Um zu zeigen, wie sich die physikalischen Eigenschaften des zu verflüssigenden Stoffes auf die Rohranzahl auswirken, wurden in den Berechnungen Isopropanol und Wasser gewählt, deren Stoffwerte zum Teil erheblich voneinander abweichen.Die hergeleitete Gleichung für die Rohranzahl liefert bei der Verflüssigung von Stoffen mit einem schlechten Wärmeübergang Werte, die in der Praxis eingehalten werden können. Hingegen ergibt sich bei Stoffen mit einem guten kondensatseitigen Wärmeübergang zu geringe Rohranzahl und damit zu hohe Geschwindigkeit des Kühlfluids. Falls ein bestimmter Wert dieser Geschwindigkeit nicht überschritten werden soll, muß man mehr Rohre wählen, weshalb man sich von der minimalen Apparatfläche entfernt. In diesem Fall kann die hergeleitete Gleichung als ein Maß für den Abstand vom Optimum dienen.

---

Determination of the smallest cooling surface in vapor condensers with vertical tubes

The paper deals with an evaluation of the number of vertical tubes in vapor condensers of minimum cooling surface. The pure vapor condensing outside the tubes is assumed to be saturated and the condensate in laminar flow regime without vapor shear stress at the interface, whereas the cooling fluid flows turbulently inside the tubes.Starting from a relation for the over-all heat transfer coefficient, an equation is derived for the number of tubes which gives the minimal cooling surface. The quantitative results expected from this equation are discussed in some examples. In order to demonstrate the influence of the heat transfer of condensing substance on the number of tubes, saturated vapor of pure isopropanol and pure water have been used in the calculations, because their physical properties are very different.It is shown that for substances with a low condensation heat transfer as for example isopropanol, the derived equation yields values acceptable for practical purposes. On the contrary, for substances with a high condensation heat transfer, the equation leads to a too small number of tubes, and consequently, a too high velocity of the cooling fluid. If a certain value of this velocity should not be exceeded, the number of tubes must be increased. In such a case the derived equation can still serve as a measure for the deviation of the actual from the minimum cooling surface.

---

Formelzeichen A wärmeübertragende Fläche - d Rohrdurchmesser - g Erdbeschleunigung - h Verflüssigungsenthalpie - k Wärmedurchgangskoeffizient - l Rohrlänge - m Massenstrom - m Exponent - n Anzahl der Rohre - Nu Nusselt-Zahl - Pr Prandtl-Zahl - Q Wärmestrom - q Wärmestromdichte - R Wärmewiderstand - r Exponent - Re Reynolds-Zahl - U Rohrumfang - Wärmeübergangskoeffizient - Wärmeleitfähigkeit - dynamische Viskosität - kinematische Viskosität - Temperatur Indizes a außen, Austritt - e Eintritt - i innen - L Kondensat - n Apparat mitn Rohren - s Sättigung - 1 Apparat mit einem Rohr Herrn Prof. Dr.-Ing. E. W. P. Hahne zum 60. Geburtstag gewidmet