三角形角的关系及应用

三角形角的关系及应用山东省惠民师范学校李风坤众所周知，在△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，这是三角形三内角的基本关系．在此条件下，我们容易得到三角形三内角的另一关系，用定理形式叙述如下：定理三角形任一角的正弦的平方，等于其他两个角的正弦的平方和，再减去这两...     

倍角三角形的一个性质应用

定义如果一个三角形中一个内角等于另一个内角的二倍,我们称这样的三角形为倍角三角形.倍角三角形有如下性质:在倍角三角形中,二倍角与一倍角所对边的平方差等于一倍     

3倍角三角形的性质初探

在△ＡＢＣ中,若∠Ｃ＝ｎ∠Ｂ,∠Ｂ＝ｎ∠Ａ,ｎ∈Ｎ,则称△ＡＢＣ为。倍角三角形． 当ｎ＝１时,即为正三角形;当ｎ＝２时,则∠Ｃ＝２∠Ｂ,∠Ｂ＝２∠Ａ,此时 ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２～０：２～１：２～２,我们称△ＡＢＣ为２倍角三角形． 关于２倍角三角形,文［１］已给出了若干有趣的性质． ２倍角三角形性质可以给出许多竞赛题以新解,简解,见文［２］． 当ｎ＝３时,∠Ｃ＝３∠Ｂ,∠Ｂ＝３∠Ａ,则∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝３～０：３～１：３～２,称△ＡＢＣ为３倍角三角形,关于３倍角三角形,笔者初步得到如下性质： （１）当∠…     

一个新发现的三角形特殊点

一个新发现的三角形特殊点方廷刚（四川攀枝花十九冶二中６１７０６２）设△ＡＢＣ的三高为ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，垂心为Ｈ，点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ’，Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ＇，Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ＇，有引理三直线ＡＤ’，ＢＥ’，ＣＦ’共点．...     

三角形教与学

第１课　关于三角形的一些概念（一）　　一、学习准备１．线段有个端点．２．如图３－１中有条线段,有个角．用字母表示图中的线段是,表示图中的角是．图３－１图３－２３．如图３－２中,∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ,ＯＣ叫做∠ＡＯＢ的．二、读书自学（Ｐ２～Ｐ３）重点领会三角形、三角形的角平分线、中线的意义,理解这些概念的几何语言．三、效果反馈（做完后同桌互相批改）１．如图３－３中,是三角形的是．图３－３２．如图３－３的图（２）中,△ＡＢＣ的∠Ｂ的对边是,边ＡＢ的对角是．３．如图３－４中有个三角形,分别记为．图３－４…     

一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

巧证一组三角形趣题

巧证一组三角形趣题２７６００５山东临沂地区劳动技校刘久松题组设Ｉ为西ＡＢＣ的内心，角Ａ、Ｂ、Ｃ的内角平分线分别与对边交于ａ‘、Ｂ‘、Ｃ’，且Ｂｔ”一ａ，ＣＡ一ｂ，ＡＢ—Ｃ．求证：ＡＩＢＩＣＩ（ｌ）于三十三六十六十一２，”“”ＡＡ’ＢＢ’ＣＣＩ。，ＩＡ...     

广义三角形角的关系及应用

广义三角形角的关系及应用帅泽平（湖南省常德西洞庭一中４１５１３７）从所周知，在△ＡＢＣ中余弦定理表达形式之一为：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ．因这个式子揭示了三角形的边与角之间的内在联系，能否将式子表示为三角函数的形式呢？利用正弦定理ａｓｉｎＡ＝...     

第二周几何能力训练一

说明　此组题主要训练对三角形一章的知识、方法的灵活应用能力．　　一、选择题（每小题３分，共２４分）１．定理：三角形的两边之和大于第三边的知识依据是（　）．（Ａ）两边差小于第三边（Ｂ）两点之间，线段最短（Ｃ）两点间的距离的定义（Ｄ）两点确定一条直线２．证明等腰三角形的性质定理的辅助线不能是（　）．（Ａ）顶角的平分线　（Ｂ）底边上的中线（Ｃ）腰上的中线　　（Ｄ）底边上的高３．到三角形的三边距离相等的点是三角形的（　）．（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三条中线的交点（Ｃ）三条角平分线的交点（Ｄ）三边的中垂线的…     

初二几何第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题:(每小题3分,共24分)1.在△ＡＢＣ中,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ=1∶2∶3,那么△ＡＢＣ是三角形.2.如果等腰三角形的腰长为10ｃｍ,那么底边长的取值范围是.3.Ｒｔ△ＡＢＣ的两锐角的平分线交成的角是.4.“对顶角相等”的逆命题是.5.在一个钝角三角形中,已知一个锐角等于30°,则另一个锐角ｘ的取值范围是.6.在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中,ＡＢ=ＤＥ,∠Ａ=∠Ｄ,欲使△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ,则根据边角边公理还需;根据角边角公理还需;根据角角边公理还需.7.如果等腰三角形两边长分别是8ｃｍ和13ｃｍ,那么它的周长为.8.在△ＡＢＣ中,∠Ｂ=70°,ＡＤ是…     

一、关于一个角平分线不等式的逆向讨论

一、关于一个角平分线不等式的逆向讨论马统一（甘肃煤炭工业技校７３０９１９）董文莉（甘肃省地矿局二中７３４０２４）本文研究不等式的逆向不等式．给出了（１）式左端的一个与Ｒ，ｒ有关的上界．定理设△ＡＢＣ的三边长为ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，∠Ａ，∠Ｂ，...     

三角形目标检测题(A)

一、填空（１～５小题各３分,６～８小题各４分,９、１０小题各５分,共３７分）１．按角分类,三角形可分为、和．２．△ＡＢＣ的边ＡＢ＝６ｃｍ,ＡＣ＝４ｃｍ,则第三边ＢＣ的范围是＜ＢＣ＜．图Ａ－１３．如图Ａ－１,ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线,ＡＢ＝ＡＣ．若∠Ａ＝５０°,则∠１＝．４．在△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ＡＢ＝１３ｃｍ,ＡＣ＝５ｃｍ,则ＢＣ＝ｃｍ．图Ａ－２５．如图Ａ－２,已知线段ＡＢ,用尺规作ＡＢ的垂直平分线．（保留作图痕迹）６．等腰三角形的一个顶角比底角小３０°,则它与顶角相邻的外角等于．７．如图…     

空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道，依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地，依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么，任意一条封闭折线（不一定是平面的），它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中，ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中，ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２，∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

一个三角形不等式的简单证明

一个三角形不等式的简单证明７１０２００陕西高陵一中高凯庆本刊１９９４年第３期，刘健在《一个有价值的三角形不等式》一文中提出了如下一个三角形不等式：设Ｐ为ＡＢＣ内部任一点，ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ，记ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ...     

解直角三角形

一、读书自学　Ｐ３３～Ｐ３５二、知识回顾１．解直三角形根据直角三角形中已知两个元素（除去直角）,其中至少有一已知元素是边,求出其余的过程．２．解直角三角形的根据．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ａ、ｂ、ｃ分别为∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边,六元素的主要关系如下：（１）三边关系：ａ２＋ｂ２＝,（２）两锐角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝,（３）边与角的关系（以∠Ａ为例）ｓｉｎＡ＝,ｃｏｓＡ＝,ｔｇＡ＝,ｃｔｇＡ＝．（４）面积公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａ·＝１２ｃ·ｈｃ（其ｈｃ为ｃ边上的高）三、典型范例例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

1993年第3期问题

１９９３年第３期问题７６．已知凸ｎ边形Ａ１Ａ２．．．Ａｎ内接于圆Ｏ，Ｒ为圆Ｏ的半径，Ｏ到各边的距离分别为为ｎ边形的半周长，求证：７７．整点三角形ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上除端点外分别有奇数个整点．（１）求证：边ＢＣ上除端点外还有奇数个整点；（２）△ＡＢＣ...     

利用全等三角形证题

学习全等三角形,除了要理解和掌握全等三角形的概念、判定和性质外,还要学会利用全等三角形证题.下面以近几年全国各省市的中考题为例予以说明,以供参考.一.直接证直接利用两个三角形全等证明两条边或两个角相等.例1　已知:如图1,点Ｄ,Ｅ在△ＡＢＣ的边ＢＣ上,ＢＤ=ＣＥ,ＡＢ=ＡＣ.求证:ＡＤ=ＡＥ.(2001年广西中考题)证明:在△ＡＢＣ中,∵ＡＢ=ＡＣ,∴∠Ｂ=∠Ｃ.在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中,∵ＡＢ=ＡＣ(已知),∠Ｂ=∠Ｃ(已证),ＢＤ=ＣＥ(已知),∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ(ＳＡＳ).∴ＡＤ=ＡＥ(全等三角形的对应边相等).例2　如图2,在正三角形ＡＢＣ…     

三维空间中塞瓦定理

三维空间中塞瓦定理刘毅（齐齐哈尔教育学院１６１００５）著名的塞瓦定理可叙述为：设Ｐ是三角形ＡＢＣ内任一点，Ａ’，Ｂ’，Ｃ’分别是ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ与边ＢＣ；ＣＡ，ＡＢ的交点，则Ａ’Ｂ．Ｂ’Ｃ．Ｃ’Ａ＝ＡＢ’．ＢＣ’．ＣＡ’（１）考察Ｐ为四面体内任一点，...     

三角形的一类内接三角形的面积

三角形的一类内接三角形的面积４３６４００湖北武穴师范洪凰翔设ΔＡＢＣ的“某心”为Ｘ，ＡＸ、ＢＸ、ＣＸ的延长线分别与对边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ交于Ｄ、Ｅ、Ｆ，则内接ΔＤＥＦ称为“同心Ｘ关联的内接三角形”．简称“＊心三角形”，比如，当Ｘ为ΔＡＢＣ的重心时，ΔＤ...     

直角三角形

直角三角形四川师范大学邓安邦一、基础知识有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。直角三角形除具有一般三角形的性质外，还有以下特殊性质：１、在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２２、在△ＡＢＣ中，若∠Ｃ＝９０°，则∠Ａ＝３０°ＡＢ＝２ＢＣ３...