Hilbert polynomials and powers of an ideal

Sunto Nel n1. viene definito il complesso generalizzato di Koszul K(A; E; t) di R-moduli associato ad una matrice A sopra un anello R e un R-modulo E. Si studia poi K(A; E; t) nel caso particolare in cui A sia una matrice della forma B(m, s) data nel n.3. Si dimostra infine che, sotto certe condizioni di finitezza, la lunghezza di ogni modulo d'omologia à una funzione polinomiale in m per m grande, e che per ogni m ≥1 la caratteristica di Euler-Poincaré è il prodotto di un coefficiente binomiale per la caratteristica del complesso di Koszul K(B(1, s); E;0).

---

---

Entrata in Redazione il 18 novemb e 1972.     

The topology of two-dimensional real algebraic varieties

Sunto È noto che ogni spazio analitico reale è localmente omeomorfo al cono su un poliedro con caratteristica di Eulero-Poincaré pari. Si dimostra che questa condizione è anche sufficiente affinchè un poliedro (compatto) di dimensione due P sia omeomorfo ad una varietà algebrica reale affine P. Segue inoltre dalla costruzione che la P ottenuta ha, in un certo senso, un insieme di singolarità algebriche minimale, compatibilmente con la topologia di P.

---

---

The authors are members of the G.N.S.A.G.A.     

Inequalities for eigenvalues of homogeneous boundary value problems

Sunto Il limite inferiore classico per i valori propri di una equazione differenziale lineare del secondo ordine nel caso dei punti coniugati è un caso speciale di disuguaglianze per problemi auto-aggiunti generali. Per equazioni auto-aggiunte a coefficiente positivo e parametro moltiplicativo possiamo determinare il segno dei valori propri ed otteniamo una serie completa di limiti inferiori, con esempi nei quali i limiti sono raggiunti. Si mostra che, senza ipotesi speciali sul coefficiente, esistono limiti superiori soltanto per qualche caso del vaiore proprw d'ordine zero. Anche questi limiti sono raggiunti in esempi.

---

---

Dedicated to ProfessorBeniamino Segre

---

Entrata in Redazione il 12 Febbraio 1973.

---

Research partially supported by NSF Grant GP-27960.     

Teoremi merceriani relativi a trasformazioni regolari non negative e anche più generali

Sunto Ad una successione (complessa) |s_n| associamo la successione trasformata |t_n| mediante una matrice di sommazione regolare C; sono noti teoremi merceriani (per es.G. H. Hardy, E. R. Love) che dalla relazione s_n — qt_n → (1 — q)l deducono s_n → l, sotto la condizione che il moltiplicatore q sia interno a determinati campi In questa NOta si considera C regolare non negativa e, mediante l'introduzione di un' opportuna ? funzione di aderenza di un insieme in un altro ? e l'applicazione del classico teorema del ? nocciolo ? diK. Knopp, si determinano campi più ampi di quello circolare stabilito daE. R. Love; si estende il risultato anche a matrici C regolari più generali mediante teoremi più recenti diR. P. Agnew eA. Robinson; inoltre si perfeziona il classico teorema diJ. Mercer-G. H. Hardy.

---

Summary Let |t_n| be trasformed, by a regular summation matrix C, of a (complex) sequence |s_n|. Mercerian theorems (e. g. G. H. Hardy, E. R. Love theorems) deduce s_n → l from s_n — qt_n → (1 — q)l if q lies in a suitable domain. This paper is concerned with regular non-negative C. A suitable ? adherence-function of a set into another ? is introduced and theKnopp's ? Core theorem ? leads to wider domains thanE. R. Love circle. The result is extended to more general regular matrices C by means ofR. P. Agnew andA. Robinson theorems. The classicalJ. Mercer-G. H. Hardy theorem is also improved.

---

---

A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.

---

Il presente lavoro è stato oggetto di una comunicazione al VI Congresso Nazionale della Unione Matematica Italiana (Napoli, 11–16 settembre 1959).     

Aspetti geometrici delle forme esterne in uno spazio vettoriale quaternionale

Riassunto Si considera l'algebra ℚ degli ordinari quaternioni e si valutano i prodotti simmetrizzato e alternato di elementi di ℚ. Uno tra i risultati è che il prodotto alternato di quattro o più quaternioni è zero. Preso poi in esame uno spazio vettoriale destro _n su ℚ ne conseguono varie identità per le potenze esterne delle forme definite su _n: in particolare, sono nulle le potenze superiori alla terza di tutte le forme a grado dispari. Si considerano infine una varietà ℳ_4n a struttura quaternionale generalizzata e lo spazio vettoriale V_4n tangente ad ℳ_4n in un suo punto. Si trova una relazione tra la deviazione caratteristica di un qualsiasi V₄ ⊂ V_4n e il valore assunto dalla 4-forma reale Ω su un 4-vettore di V₄.

---

Summary Let ℚ the algebra of quaternions over the real number field; is an hermitian n-dimensional vector space over ℚ. We establish that the alternated product of four, five, ..., quaternions vanish. Consequently exterior powers A^tθ_p of every form θ_p over vanish if t≥4 and p is odd. Further results are obtained for t=2, 3 and if p is even. Finally, we consider a generalized quaternion manifold ℳ_4n; let V_4n the tangent vector space in O ∈ ℳ_4n. Relations are obtained among the characteristic deviation of every V₄⊂V_4n and the value which the real 4-form Ω assumes upon a 4-vector over V₄.

---

---

A BeniaminoSegre nel suo 70^mo compleanno

---

Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per le Strutture Algebriche e Geometriche e loro Applicazioni.

---

Entrata in Redazione il 26 febbraio 1973.     

Sull’operatore di pseudo prodotto

Riassunto Si studia il concetto di classe di algebre associato ad un insieme di identità regolari nel senso diPlonka [3] mediante un operatore di ?Pseudo prodotto? che viene introdotto.

---

Summary We introduce an operator ?Pseudo prodotto? to study the concept of class of algebras associated to a set of regular equations (Pzonka [3]).

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Consiglio Nazionale per la Matematica del C.N.R. (Contratto n. 115218205174 anno 1970).     

Le immaginiM-epimorfe di unM-piano

Sunto Un piano proiettivo ordinato π è M-piano se e solo se esistono un suo punto x ed una sua retta X, x ∉ X, tali che: 1) π è (p, P)-transitivo, p ε P, quando e solo quando p ε X e P = p ∪ x; 2) π è (p, P)-semitransitivo se p ε X, p ∉ P, x ε P. Un epimorfismo f: π → π′ è un M-epimorfismo se e solo se f(x) ∉ f(X). In questo lavoro si caratterizzano i piani π′ che si ottengono da un M-piano π mediante un M-epimorfismo; si perviene alla caratterizzazione usufruendo, tra l'altro, della nozione di posto di un sistema cartesiano e della classificazione degli M-piani dovuta aJ. André.

---

Summary An M-plane π is an ordered projective plane containing a point x and a line X with x ∉ X such that: (i) π is (p, P)-transitive, p ε P, p ε X and P = p ∪ x; (ii) π is (p, P)-semitransitive for every p ε X with p ∉ P and x ε P. An M-epimorphism is an epimorphism f: π → π′ such that f(x) ∉ f(X). We determine the planes π′ that are M-epimorphic images of a given M-plane π; our results are obtained using, among other things, the concept of a place of a cartesian group, and the classification of M-planes given byJ. André.

---

---

Entrata in Redazione il 1^o agosto 1973.

---

Lavoro eseguito con contributo del C.N.R. nell'ambito del ? Gruppo Nazionale per le Strutture Algebriche e Geometriche e loro Applicazioni ?.     

Dirichlet problem for a class of linear second order elliptic partial differential equations with discontinuous coefficients

Summary I give a sufficient condition in order that a Dirichlet problem is solvable in H ² (Ω) for a class of linear second order elliptic partial differential equations. Such a class includes some particular cases for which the result is known.

---

Sunto Si prova una condizione sufficiente affinchè un problema di Dirichlet sia risolubile in H ² (Ω) per una classe di equazioni differenziali alle derivate parziali lineari ellittiche del secondo ordine. Tale classe comprende alcuni casi particolari per i quali il risultato è noto.

---

---

The present work was written while the author was a member of the ? Centro di Matematica e Fisica Teorica del C.N.R. ? at the University of Genova, directed by professorJ. Cecconi.

---

Entrata in Redazione il 25 febbraio 1971.     

Il principio di minima certezza e le sue prime applicazioni alla meccanica statistica

Sommario Si introduce il concetto di certezza di una variabile casuale. Si dimostra poi sulla base di questa nozione che è possibile dedurre da un principio di minimo la legge di distribuzione diMaxwell-Boltzmann per l’energia senza imporre con ciò alla distribuzione dei punti rappresentativi nello spazio delle fasi di essere di tipo boltzmanniano.

---

Résumé On a introduit la notion de certitude d’une variable aléatorie. On montre que sur la base de cette notion on peut déduire avec un principe de minimum la distribution deMaxwell-Boltzmann pour l’énergie sans que la distribution sur l’espace des phases soit du type deBoltzmann.

---

---

Lavoro eseguito per la realizzazione del programma di ricerca del Gruppo n. 7 del C.N.R.     

Petites déformations de droites dans le plan projectif réel

Résumé SoitD une famille deN droites dans le plan projectif réelRP ², telle que chaque point appartient au plus à deux droites. Le but de ce travail est l'étude de la topologie des courbes algébriques non singulières obtenues en faisant des petites déformations deD et la construction des algorithmes qui permettent de calculer le nombre de composantes connexes et le type topologique de ces courbes. De plus cet article contient les résultats du programme qui réalise ces algorithmes par un ordinateur dens les casN<-6.

---

Riassunto SiaD un insieme diN rette nel piano proiettivo realeRP ², tale che ciascuna retta incontra tutte le altre e tutti i punti d'intersezione sono punti doppi. Lo scopo di questo lavoro è di studiare la topologia delle curve algebriche non singolari ottenute mediante piccole deformazioni diD e di costruire gli algoritmi che permettono di calcolare il numero di componenti connesse e il tipo topologico di queste curve. Inoltre nel lavoro sono contenuti i risultati del programma che realizza su calcolatore tali algoritmi perN<-6.

---

---

/laUn petit d'un petit c'est un ovale…/ra (Van Rooten:Mots d'heures gousses et rames)     

Approximated cauchy problem for linear,first order,overdetermined systems

Sunto Le soluzioni di certi sistemi differenziali sono dense tra le funzioni C^∞ di una superficie non caratteristica.

---

---

Entrata in Redazione l'11 ottobre 1978.

---

Supported by C.N.R. Research groups.     

Frontiere minimali con ostacoli

Riassunto Recentemente diversi autori (v. [15], [16], [17], [18], [19], [20]) si sono interessati di problemi di esistenza e di regolarità di soluzioni di problemi variazionali verificanti diseguaglianze. In questo articolo considereremo il caso delle ipersuperfici minimali (di area minima), più precisamente delle frontiere minimali nel senso diDe Giorgi (v. [2] o [3]). Il risultato di regolarità, che è quello che ci pare più interessante, è grosso modo il seguente:frontiere minimali rispetto ad un ostacolo di classe C ¹ sono di classe C¹ in un intorno dell'ostacolo stesso. Il Teorema 2 del § 3 contiene l'enunciato preciso di tale risultato. Nel § 2 si fanno alcune considerazioni sulla validità del teorema di Bernstein per le frontiere minimali, in esso si prova (v. il Teorema 1) che un insieme avente frontiera non vuota minimale inR ⁿ e contenente un semispazio è esso stesso un semispazio. Tale risultato serve per la dimostrazione del teorema 2. Nel § 1 sono contenuti alcuni complementi alla teoria delle frontiere minimali.

---

Résumé On considère le problème des hypersurfaces minimales en présence d'obstacles. On prouve le résultat de regularité suivant: ?les hypersurfaces minimales en présence d'obstacles de classeC ¹ sont de classeC ¹ dans un environ de l'obstacle?.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.     

Noncharacteristic hypersurfaces for complexes of differential operators

Sunto Sia X una varietà differenziabile ed S una ipersuperficie orientata in X. Si consideri un complesso di operatori differenziali su X. Se S è formalmente non caratteristica, esso induce un complesso di operatori su S. Si generalizza la nozione di simbolo di un operatore differensiale al caso di multigradazioni e si dimostra che, se S è non caratteristica, modulo «trasformazioni fibra» il complesso indotto è un complesso di operatori differenziali. In particolare, se una ipersuperficie è non caratteristica rispetto alla nozione usuale di simbolo, il complesso al bordo è sempre un complesso di operatori differenziali. Nell'ultima parte del lavoro si studio, il complesso al bordo indotto dal complesso di Hilbert dell'operatore .     

Sulla propagazione ondosa in un sistema viscoelastico lineare in presenza di forze di massa

Riassunto Si studia la propagazione ondosa che si determina in un sistema viscoelastico lineare sotto l'azione di assegnate forze di massa e per effetto di prefissate condizioni al contorno. Mediante l'analisi asintotica di una particolare serie di Neumann che interviene nella soluzione, si dimostrapoi l'esistenza di una regione di ?strato limite? pert→∞, in corrispondenza di tempi di rilassamento molto ?piccoli?.

---

Summary We study the wave propagation which takes place in a linear-viscoelastic model under the action of prefixed mass forces and of boundary data. The solution of this problem is expressed by means of a particular Neumaun's series. The asymptotic analysis of it shows the existence of a boundary-layer region fort→∞ when very ?small? characteristic relaxation times occur.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Legge di Ott sulla trasformazione relativistica del calore

Sunto In questa Nota, partendo dalle equazioni relativistiche del moto della particella con massa di quiete variabile, come legge della accelerazione e come legge dell'impulso, accettate entrambe come valide, pur di interpretare correttamente i secondi membri, si ıuole dare un apporto alla validità della legge di trasformazione relativistica del calore di Ott e indicare i possibili motivi che hanno portato alcuni autori a ritenere invece valida quella di Planck.

---

Summary In this work, starting from the relativistic equations of motion of the variable rest mass particle, considering them as acceleration law and impulse law, since we consider them both valid, under condition we give a right interpretation of both right hand sides, we wish to give our contribution to the validity of Ott law on relativistic transformation of heat and to point out the eventual reasons that led some researches to sustain, on the contrary, the validity of Planck law.

---

---

A Dario Graffi nel suo 70^o compleanno

---

Entrata in Redazione il 30 giugno 1975.

---

Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo Nazionale per la Fisica-Matematica del C.N.R.

---

Istituto di Meccanica Razionale e Matematiche Applicate all'Ingegneria dell'Università di Catania.     

Scrollar invariants and resolutions of certaind-gonal curves

In this note we compute the scrollar invariants of certaind-gonal curves (e.g. Castelnuovo curves and bielliptic curves) by using appropriate plane models. Ford=4 andg(C)≥10, we show that those invariants discriminate bielliptic curves among tetragonal ones.

---

Sunto In questa nota si determinano gli invarianti scrollari per alcuni tipi di curved-gonaliC (ad esempio curve di Castelnuovo, curve biellittiche) tramite appropriati modelli piani. Perd=4 eg(C)≥10, si mostra che tali invarianti individuano le curve biellittiche fra le tetragonali.

---

---

An erratum to this article is available at .     

The genus of space curves

LetC be a curve contained in ℙ _k ³ (k of any characteristic), which is locally Cohen-Macaulay, not contained in a plane and of degreed. We prove thatp _a (C)≤≤((d−2)(d−3))/2. Moreover we show existence of curves with anyd, p _a satisfying this inequality and we characterize those curves for which equality holds.

---

Sunto Si dimostra che seC⊃ℙ _k ³ (k di caratteristica qualunque) é una curva, non piana, localmente Cohen-Macaulay, di gradod, allorap _a (C)≤((d−2)(d−3))/2. Si mostra che questa limitazione è ottimale, e si classificano le curve di genere aritmetico massimale.

     

Sulla composizione secondo Hurwitz-Pincherle di due serie di potenze generalizzate

Sunto In questa Nota sı dimostra un teorema riguardante la collocazione sulla superficie riemanniana dilog z delle singolarità della funzione composta secondoHurwitz-Pincherle di due serie di potenze generalizzate. Con questo teorema viene messa in luce l'influenza che ha, sulle singolarità della funzione composta, il fatto che un punto z sia singolare per una sola o soltanto per alcune oppure per tutte le determinazioni di una delle funzioni componenti.

---

Summary In this paper we are concerned with the singular points on the Riemann surface oflog z of theHurwitz-Pincherle composed function h(z) of two irregular power series a(z) and b(z). A point z=z₀ can be a singular point for only one or for some and also for all the branchs of a(z) (or b(z)): we explain, by the theorem given in this Note, the influence of this fact on the singularities of h(z).

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Gruppo di ricerca n. 40 del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l'anno 1962–63.     

Zur Berechnung der aerodynamischen Koeffizienten von Rotationskörpern mit Tragflächen im Überschallbereich

Riassunto I metodi di calcolo presentati daPitts et al. [1] vengono estesi, previa considerazione dei vortici della fusoliera secondoAllen ePerkins [2] e del loro effetto sulle superfici portanti, ad angoli di attacco di media grandezza e applicati ad una serie di razzi in regime supersonico. Il confronto dei risultati teorici con le corrispondenti misurazioni in soffieria mostra che il punto di attacco della forza normale risultante non può essere calcolato con soddisfacente precisione se la fusoliera si estende per un lungo tratto dietro le superfici portanti. Ricerche condotte dall'autore indicano in base ai risultati finora ottenuti, che il calcolo di combinazioni fusoliera-ali può esser migliorato con mezzi relativamente semplici. Una pubblicazione completa è in preparazione.

---

---

Vorgetragen an der Tagung der Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft am 4. Mai 1963 in Bern.