椭圆的长轴长最长的简洁证法

《数学通讯》2009年第7期刊登的彭世金老师《圆锥曲线的一个统一定值性质》，本质上是圆锥曲线一个统一几何性质的推广，读后很受启发．但性质1的证明过程篇幅很大，计算也十分繁琐．以下介绍一种非常简单明了的证明方法，供读者参考．     

椭圆长轴并非最长

椭圆长轴并非最长２７１４００山东省宁阳一中宁伟过点Ｐ（０，一２／亏）作椭圆会十头一１的弦，求此弦的最大值．解设椭圆上任一点Ｑ（Ｘ，ｙ）与Ｐ的距离为厂，求【ＰＱ的最大值，也即求厂的最大值．这表明对椭圆二十头一ｌ来说．它的弦＃非任轴具片．“诡辩”揭底：上...     

从定义出发,证明椭圆长轴长最长

文[1]利用两点间距离公式计算|AB|的长度,再结合不等式的放缩,来证明椭圆中最长的弦为长轴,此法运算较为繁琐·笔者认为只需从椭圆的定义出发,能较方便地给予证明·证明:如图,A、B为椭圆上任取的两点,由三角形中两边之和大于第三边,则|AB|≤|AF1| |BF1|,|AB|≤|AF2| |BF2|,则2|     

关于"椭圆的长轴最长"的另两种解释

文[1]《椭圆的长轴最长吗》一文,运用代数方法给出结论.现给出另外两种简单、直观的解释.(1)运用椭圆定义设AB是异于长轴的任一条弦,连接AF1、BF1、AF2、BF2(如图1),由椭圆定义知∵AF1 BF1>AB,AF2 BF2>AB,∴AF1 BF1 AF2 BF2>2 AB,即4a>2 AB,∴AB<2a.对于某些特殊情况,如AB过一个焦点,同样可得.(2)作辅助圆(如图2)以椭圆的长轴为直径作圆,那么椭圆必内切于此圆,椭圆内任一条异于长轴的弦,根据圆的性质,其长度必小于圆直径2a.若再作以椭圆短轴为直径的圆,则还可以得到如下结论:椭圆内过中心的所有弦中,以长轴最长,短轴最短.关…     

长轴长问题的探究

<正>在研究椭圆时,会遇到椭圆的长轴是椭圆上任意两点所连的弦中的最长的常见说法.学生会经常问为什么?也有不少学生尝试着加以证明.学生们证明的方法很多,下面从学生提供的方法中选出三个有特点的方法与大家分享.为了介绍方便,本文所选椭圆均为焦点在     

椭圆的长点与长线

<正>命题已知A、B分别为椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右顶点,点M (m,0)(异于椭圆中心和长轴的端点),直线l:x=a~2/m.(1)若过点M的直线交椭圆于C、D两点,直线AC与直线BD交于点P,则点P在定直线l上;(2)若点P直线l上,直线PA、PB分别交椭圆于点C、D,则直线CD过定点M.     

椭圆顶点的教学需要设计吗

1问题的背景顶点是椭圆的一个十分简单的几何概念，对这一概念的教学，是一带而过、还是围绕顶点的几何特征引导学生展开探索?本文就此作一些阐述．     

基于第二类椭圆积分的椭圆弧长公式变换与应用

以第二类椭圆积分为理论基础,通过推导,将椭圆弧长公式变换为以椭圆离心角、极角等常用角度参数为自变量的第二类椭圆积分的标准形式,建立起椭圆弧长公式与第二类椭圆积分标准形式之间的关系,并分析了椭圆上的弧微分变化规律及椭圆周长与离心率的变化关系.公式反映了椭圆弧长的本质问题即为第二类椭圆积分问题.因此,各类涉及椭圆弧长计算的应用问题,均可化为第二类椭圆的计算问题,应用时直接调用各类编程软件的函数库中的第二类椭圆积分函数,无需复杂编程即可实现椭圆弧长的高精度计算.文章以GPS采用的WGS-84椭球子午线弧长为例进行计算分析,验证了给出的公式及相关分析的正确性及应用价值.     

能这样求椭圆方程吗?

教材《平面解析几何》有这样一道习题: 点p与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2,求P点的轨迹方程。不少资料,以至不少的学生有这么一种解法:由圆锥曲线的统一定义可知点p的轨迹是一椭圆,由椭圆的性质得:于是点P的轨迹是椭圆x~2/16+y~2/12=1。这种解法靠得住吗?不妨再看一例。已知椭圆的离心率为1/3~(1/2)右焦点为(1,0),右准线为x=5,求其方程。解法1 由椭圆的性质得     

椭圆弧长的级数表达式及其近似计算

导出了以椭圆参数方程离心角为变量的椭圆弧长级数表达式,可以计算任意离心角对应的椭圆弧长;在级数表达式基础上归纳了椭圆弧长近似计算公式,为解决实际应用问题提供了方便.     

椭圆封头的外曲线及弦长计算

<正> 在真空容器(真空室)、压力容器和储存液体、低温液化气体的容器中,封头的应用是很普遍的,而其中又多数是内椭圆封头.在这些封头上,往往开有好些孔,以装置观察窗或用以测试容器内的气体、液体状态参数的仪表、液面计等.在加工过程中,为了确定这些孔的位置,可在封头外曲线上应用弦长法或弧长法求得.本文就椭圆封头外曲线的形状及弦长的计算进行讨论.我们从数学上证明了,椭圆封头的外曲线不是由椭圆方程所确定的曲线.用文中提出的有关公式和数值表可以计算出外曲线上任意一点的纵坐标和     

椭圆中弦长最值问题的探究

<正>与长度有关的最值问题是解析几何中的常见题型,解这类问题的一般方法是选择一个自变量,利用距离公式,建立函数解析式,分析解析式的结构特征,确定求函数最值的方法,下面举例说明.问题设点B是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的上顶点,过点B作直线l交椭圆于另一点A,求|AB|的最大值.分析一因为点B确定,欲确定|AB|,只需确定点A的位置,点A的位置由其坐标来     

你知道弦长公式吗

<正>近年来,二次函数的综合题成了中考题目的亮点,许多题目都要用弦长公式来解,为此,本文就弦长公式及其应用介绍于下,供同学们参考.抛物线y=ax²+bx+c(b2+bx+c(b²-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax2-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax²+bx+c=0的两根,所以     

椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用

椭圆、双曲线过焦点的弦长问题是解析几何在高考、竞赛中的热点之一,解决这类问题,传统的做法一般是将弦所在的直线方程与椭圆或双曲线方程进行联立,利用焦半径公式或弦长公式｜AB｜＝｜x1-x2｜·√1+k2=｜y1-y2 ｜·√1+1/k2求解,这样求解运算量往往较大,若我们利用椭圆、双曲线过焦点的弦长公式处理此类问题会省时省力,同时也能大大提高解题的准确率.现阐述如下,供同仁参考.     

椭圆薄膜的椭圆性

证明了夹住椭圆薄膜的整个边界不是使薄膜的椭圆性成立的必要条件。特别地,给出了两类边界条件,分别叫做部分自由边界条件和共轭边界条件,它们使得椭圆薄膜具有椭圆性但其边界没有被完全夹住。这些结果纠正了Slicaru在下面的章中所犯的错误：On the ellipticity of the middle surface of a shell,C.R.Acad.Sci.Paris,t.322,Serie,p.97-100,1996。最后,通过例子说明,当椭圆薄膜的边界不限制任何条件时,使应变能有限的位移向量空间可非常大。     

椭圆可“展开”成余弦曲线吗?

先看以下一个问题: 题目高为2m,底面半径为r的圆柱,被一个平面截成形状相同的两个几何体(如图1所示),现将实体部分(下半部分)的侧面沿母线AB剪开,则这侧面展开图是( ).     

直径并非最长

湖北省教学研究室主编的《平面解析几何练习册》中有这样一个问题:求m的值,使方程:x~2 y~2-|m|x m 8=0所表示的曲线是截直线x-3y=3所得的弦长最长的圆.该书给出的答案是这样的     

与椭圆焦点弦长相关的几个结论及应用

本文给出与椭圆焦点弦长相关的几个结论,并说明它们在解题中的应用．