Die anfangswertaufgabe für die störungsdifferentialgleichungen des taylorschen stabilitätsproblems

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden vorgegebene Störungen in einer Strömung zwischen zwei rotierenden Zylindern untersucht. Im Gegensatz zu dem von Taylor behandelten Fall darf sich die Grundströmung dabei zeitlich ändern.Mit Hilfe der Galerkinschen Methode werden Näherungslösungen der Störungs-differentialgleichungen konstruiert. Es läßt sich zeigen, daß diese Näherungslösungen gegen schwache Lösungen der Gleichungen konvergieren. Der Beweis wird unter Benutzung der Sobolevschen Einbettungssätze geführt. Die schwachen Lösungen erfüllen nicht die Differentialgleichungen im üblichen Sinne, sondern nur gewisse aus den Differentialgleichungen abgeleitete Integralrelationen. Aus einfachen Abschätzungen ergibt sich die Eindeutigkeit dieser Lösungen.Die schwachen Lösungen besitzen die Eigenschaft, daß die radiale Komponente der Störungen für feste Werte der Zeit eine absolut stetig differenzierbare Funktion der Ortskoordinate ist. Dagegen ist die azimutale Komponente zu jeder festen Zeit nur eine absolut stetige Funktion des Ortes. Beide Komponenten erfüllen die gestellten Randbedingungen. Die erhaltenen Lösungen stellen aufgrund ihrer Eigenschaften und Einzigkeit eine auch vom physikalischen Standpunkt aus sinnvolle Verallgemeinerung dar.Als Beispiel wird das Verhalten spezieller Störungen in zwei gebremsten und in zwei beschleunigten Grundströmungen ermittelt. Mit zunehmender TaylorZahl werden zunächst die radiale und die axiale Komponente der Störungen angefacht. Dagegen bleibt die azimutale Komponente bis zu sehr hohen TaylorZahlen gedämpft. Der Grad der Anfachung hängt praktisch nur von der mittleren Geschwindigkeit der Grundströmung ab.Diese Arbeit stellt eine gekürzte Fassung meiner Dissertation dar, die bei der Naturwissenschaftlich-Mathematischen Fakultät der Universität Freiburg i. Br. im Dezember 1962 eingereicht wurde. Vorgelegt von H. Görtler     

Die ebene Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt

Zusammenfassung Die Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt wird mit Hilfe der konformen Abbildung berechnet. Zuerst wird die Abbildungsfunktion der geknickten Platte mit Spalt so dargestellt, daß die numerische Auswertung für kleine Spalte besonders einfach wird. Durch Hinzunahme weiterer Abbildungen kann man schrittweise von der Strömung um Skelette übergehen zur Strömung um dünne Flosse und profiliertes Ruder und um Flosse und Ruder mit Wölbung und Dicke. Für alle diese Kombinationen wurden die Druckverteilungen berechnet. Es zeigt sich, daß die Rechnungen für Skelette schon recht gute Werte für die Gesamtkräfte liefern. Jeder Schritt in dem Annäherungsprozeß an Formen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, wurde wenn möglich einer entsprechenden Messung gegenübergestellt, um so den Einfluß der Form auf die Druckverteilung klar erkennen zu können. Zum Schluß ergibt sich, daß die Potentialtheorie alle wesentlichen Eigenschaften der Strömung um das geknickte Profil mit Spalt gut wiedergibt.     

Stabilitätsverhalten und verzweigung stationärer Lösungen der navier-stokesschen gleichungen

Zusammenfassung Am Beispiel der Strömung in einem horizontalen Rohr mit von unten erwärmter Wand wird gezeigt, wie man mit Hilfe der Theorie des topologischen Abbildungsgrades von Leray und Schauder im überkritischen Bereich der Rayleigh-Zahl auf die Existenz einer von der Grundströmung verschiedenen, stationären Strömung (thermische Konvektionsströmung) schließen kann. Unterhalb der kritischen Rayleigh-Zahl existiert genau eine stationäre Lösung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen, nämlich die Grundströmung. Beim Überschreiten der kritischen Rayleigh-Zahl verzweigt sich diese stationäre Lösung, wobei die Grundströmung gleichzeitig instabil wird.Die Methode des Abbildungsgrades ist auf ähnliche Strömungsbeispiele mit zellularer Instabilität anwendbar wie z.B. die Strömung zwischen rotierenden Zylindern (Taylor-Wirbel) oder die von unten erwärmte Flüssigkeitsschicht (Benard-Zellen).Diese Arbeit entstand aus dem Institut für Angewandte Mathematik und Mechanik der DVL an der Universität Freiburg i. Br. Über diese Untersuchung wurde bereits auf der GAMM-Tagung in Bonn (24.–28. 4. 1962) berichtet (s. [19]). Vorgelegt von H. Görtler     

The flow field of Newtonian fluids in cone and plate viscometers with small gap angles

Summary The flow of a Newtonian fluid in cone-plate viscometers is determined by solving the Navier-Stokes equations. It is shown in an order-of-magnitude analysis that the governing equations can be simplified and that the flow field can be split into two parts, if the angle between cone and plate is small. A closedform solution for the inner flow field is established through an iteration procedure. The zeroth-order solution in which the convective terms are neglected is inserted into the governing equations which then can be integrated again. The outer flow field is also described analytically. The solution satisfies the boundary condition of the vanishing radial velocity component at the free surface. The flow is described throughout the whole gap. Velocity components, pressure distributions, torque and normal force due to inertia are calculated. Pressure distributions and the maximum radial velocity are measured. The free surface boundary condition is experimentally examined.

---

Zusammenfassung Es wird die Strömung einer newtonschen Flüssigkeit in Kegel-Platte-Rheometern beschrieben. In einer Größenordnungsabschätzung wird gezeigt, daß die beschreibenden Gleichungen vereinfacht werden können und daß das Strömungsfeld in zwei Teile aufgeteilt werden kann, wenn der Winkel zwischen Kegel und Platte klein ist. Eine geschlossene Lösung für den inneren Bereich wird durch eine Iteration erhalten. Die Lösung nullter Ordnung, in der die Konvektion vernachlässigt ist, wird in die beschreibenden Gleichungen eingesetzt, die dann nochmals integriert werden. Das äußere Strömungsfeld wird ebenfalls analytisch bestimmt. Die Lösung erfüllt die Randbedingung der verschwindenden Radialkomponente an der freien Flüssigkeitsoberfläche. Die Strömung wird im gesamten Scherspalt beschrieben. Geschwindigkeitskomponenten, Druckverteilung, Drehmoment und Normalkraft aufgrund von Trägheitskräften werden berechnet. Druckverteilungen und maximale Radialgeschwindigkeiten werden gemessen. Die Randbedingung an der freien Flüssigkeitsoberfläche wird experimentell untersucht.

---

---

With 14 figures and 4 tables     

Zur homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen

Zusammenfassung Unter gewissen Bedingungen liefern die für die Berechnung der Eigenwerte einer homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen maßgebenden transzendenten Gleichungen bei alleiniger Berücksichtigung der reellen Lösungen zu wenig Eigenfrequenzen. Die fehlenden Frequenzen — es handelt sich hierbei stets um die höchsten — erhält man aus den komplexen Lösungen. Es werden, unter Beschränkung auf eine oder zwei Zusatzmassen, die Bedingungen untersucht, bei denen komplexe Eigenwerte auftreten, und die in diesen Fällen geltenden Gleichungen für die Eigenfrequenzen, Momente und Drehwinkel abgeleitet. Neben dem Verhältnis der Trägheitsmomente ist auch dasjenige der Federkonstanten für das Auftreten komplexer Lösungen von Bedeutung, so daß solche, wie man aus den zuständigen Bedingungsgleichungen ersieht, auch bei sehr großen Zusatzmassen vorkommen können. Man kann übrigens zeigen, daß beim Vorhandensein von z Zusatzmassen maximal z komplexe Eigenwerte möglich sind.Es sei hier noch vermerkt, daß sich die gewonnenen Ergebnisse analog auf homogene Schwingungsketten mit Zusatzmassen an den Enden übertragen lassen.     

Über den einfluβ der stromlinienkrümmung auf die stabilität laminarer strömungen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde gezeigt, daß eine laminare Strömung mit wellenförmigen Stromlinien in den Tälern dieser Wellen instabil ist gegenüber Störungen vom Typ der Taylor-Görtlerschen Längswirbel, falls nur die Stromlinienkrümmung genügend groß ist. Die dieser kritischen Krümmung entsprechende Wellen-amplitude lag bei der wellenförmig gestörten Blasiusschen Plattenströmung in der Größenordnung von 10^–4 Grenzschichtdicken.Besonderes Interesse hat diese Fragestellung im Hinblick auf den laminar-turbulenten Umschlag. Nachdem W. Tollmien [7] die Instabilität der laminaren Plattenströmung gegenüber wellenförmigen Störungen oberhalb einer gewissen Reynoldsschen Zahl gezeigt und dann G. B. Schubauer und H. K. Skramstad [8] diese Wellen als Anfangsstufe des laminar-turbulenten Umschlags erkannt hatten, ist die Frage des weiteren Übergangs in die turbulente Strömung viel diskutiert worden, ohne jedoch bisher in befriedigender Weise beantwortet zu sein.Nach den Resultaten dieser Arbeit liegt die Vermutung nahe, daß die wellen-förmig gestörte, aber immer noch ebene laminare Strömung auf Grund ihrer Instabilität gegenüber den wirbelartigen Sekundärstörungen in eine dreidimensionale laminare Strömung übergeht und der Umschlag in die dreidimensionale turbulente Strömung schließlich als Folge von Instabilitäten dritter und höherer Ordnung erfolgt. Eine letzte Entscheidung hierüber kann nur das Experiment liefern. Es wird deshalb besonders auf die erst kürzlich veröffentlichten neuen experimentellen Untersuchungen von G. B. Schubauer [24] hingewiesen, die mit unserer Vermutung in einem für den gegenwärtigen Stand von Theorie und Experiment durchaus befriedigenden Einklang stehen. Vorgelegt von H. Görtler     

Heat transfer in flow past a continuously moving porous flat plate with heat flux

The analysis of the heat transfer in flow past a continuously moving semi-infinite plate in the presence of suction/ injection with heat flux has been presented. Similarity solutions have been derived and the resulting equations are integrated numerically. It has been observed that an increase in suction value leads to an increase in temperature whereas it is opposite in the case of injection.

---

Wärmeübergang in einer Strömung hinter einer wärmeabgebenden, kontinuierlich bewegten, porösen Platte

Zusammenfassung Es wird eine Analyse des Wärmeübergangs in einer Strömung hinter einer bewegten, halbunendlichen Platte bei gleichzeitiger Absaugung bzw. Ausströmung präsentiert. Mit Hilfe von Ähnlichkeitsbetrachtungen wurden Lösungen erarbeitet und die daraus resultierenden Gleichungen wurden numerisch integriert. Als Ergebnis zeigte sich, daß zunehmende Absaugung zu einer Erhöhung der Temperatur führt, während bei der Ausströmung das Gegenteil der Fall ist.

     

Application of the Galerkin-Kantorovich-Dorodnitsyn method of integral relations to the solution of steady laminar boundary layers

Summary The Galerkin-Kantorovich-Dorodnitsyn N-parameter method of integral relations belongs in the same general category as those of Ritz and Galerkin. The method is employed to solve the steady, incompressible, two-dimensional flow of a laminar boundary layer. General Nth-order solutions are obtained for regions of accelerated flow and, with a modification to account for a possible separation point, for regions of retarded flow. The convergence and accuracy of the method are evaluated by comparing the solutions with a large number of similar and nonsimilar flow problems. The method permits a separation point to be approached as closely as desired without encountering numerical difficulties or requiring special continuation techniques.

---

Übersicht Die N-Parameter-Methode der Integralbeziehungen von Galerkin, Kantorovich und Dorodnitsyn gehört zur gleichen Klasse wie die Verfahren von Ritz und Galerkin. Diese Methode wird benützt, um Lösungen für die stationäre, inkompressible, zwei-dimensionale Strömung einer laminaren Grenzschicht zu finden. Allgemeine Lösungen N. Ordnung werden für Gebiete mit beschleunigter Strömung erhalten und, mit gewissen Abänderungen zur Berücksichtigung eines möglichen Ablösepunktes, auch für Gebiete einer verzögerten Strömung. Die Konvergenz und die Genauigkeit der Methode werden durch Vergleich der Lösungen mit zahlreichen ähnlichen und nicht-ähnlichen Strömungsproblemen untersucht. Die Methode erlaubt eine beliebig weitgehende Annäherung an den Ablösepunkt, ohne daß numerische Schwierigkeiten auftreten oder besondere Grenzwertbetrachtungen erforderlich wären.

     

Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten bei stationärer und periodischer Bewegung

Zusammenfassung Verschiedene Typen von Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten werden besprochen, und es werden vor allem experimentelle Realisierungen derselben mitgeteilt, wobei als Versuchsflüssigkeit wäßrige Lösungen von Polyacrylamid Verwendung finden.Aus der Klasse der stationären Bewegungen werden Strömungen in geradlinigen Rohren von beliebigem Querschnitt und in gekrümmten Rohren von kreisförmigem Querschnitt unter einem konstanten Druckgradienten, sowie Strömungen um drehsymmetrische Körper, die um ihre Symmetrieachse rotieren, behandelt. Für den letztgenannten Fall wird u. a. das Gegeneinanderwirken von Viskoelastizitäts- und Trägheitseinflüssen aufgezeigt.In der Klasse der periodischen Bewegungen wird zuerst kurz auf die Strömung in einem geradlinigen Rohr von beliebigem Querschnitt unter einem alternierenden Druckgradienten eingegangen. Anschließend wird die Strömung um drehsymmetrische Körper, welche um ihre Symmetrieachse Rotationsschwingungen ausführen, untersucht. Dabei wird nicht nur eine stationäre Sekundärströmung in der Meridianebene, sondern außerdem auch eine solche in azimutaler Richtung nachgewiesen und als Folge der Unsymmetrie der anregenden periodischen Bewegung einsichtig gemacht. Schließlich wird gezeigt, daß im Innern eines Zylinders mit freier Flüssigkeitsoberfläche, der um seine Achse Drehschwingungen vollführt, eine unter Umständen recht komplizierte stationäre Sekundärströmung auftritt, und es wird deren Abhängigkeit von der Frequenz und der Füllhöhe untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.Zum Schluß sei Herrn Prof. Dr.K. Weissenberg (The Royal Institution, London) herzlich für die Mitteilung seiner unveröffentlichten Ergebnisse gedankt, die zur Durchführung der zuletzt beschriebenen Versuche angeregt haben. Herrn Dipl.-Ing.K. Feldkamp (Technische Hochschule Braunschweig) sowie meinen Mitarbeitern HerrnH. Stollorz und HerrnH. Pickelin danke ich für ihre Hilfe bei Planung und Bau der Apparaturen und bei der Durchführung der Versuche, meinem Kollegen Herrn Dr.J. Pawlowski für manche anregende Diskussion sowie für die Messung der Fließkurven. Den Farbenfabriken Bayer AG., insbesondere Herrn Dr.W. Meskat gebührt schließlich mein Dank für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Über den ebenen Fließzustand zäher und zähplastischer Stoffe mit druckabhängiger Zähigkeit

Zusammenfassung Die bei viskosen und viskoplastischen Stoffen beobachtete Druckabhängigkeit der Zähigkeit kann in die Stoffgesetze dadurch aufgenommen werden, daß der die Zähigkeit der Stoffe beschreibende Stoffparameter als vom örtlich herrschenden mittleren Normaldruck abhängig angenommen wird.An Strömungsfällen, die einen ebenen Fließzustand ermöglichen, werden die Auswirkungen untersucht, die die Einführung eines druckabhängigen Zähigkeitsparameters in die Stoffgesetze derNewtonschen und derBinghamschen Flüssigkeit besitzt. Die erweiterten Stoffgesetze führen auf Differentialgleichungssysteme, aus denen durch Reihenansätze bei geringer Abhängigkeit der Zähigkeit vom Druck lösbare Rekursionssysteme linearer, partieller Differentialgleichungen gewonnen werden können.Mit den so gewonnenen Gleichungssystemen werden zwei Beispiele, nämlich die Strömung der zähen Flüssigkeit mit druckabhängiger Zähigkeit infolge eines Druckgefälles zwischen parallelen Platten und die überlagerte Scher- und Druckströmung einer zähplastischen Flüssigkeit mit druckabhängiger Zähigkeit zwischen parallelen Platten untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 7.–10. Juni 1966.     

Turbulente Strömungen in divergenten Kanälen

Zusammenfassung Die theoretische Behandlung turbulenter Grenzschichtströmungen mit mittlerem und starkem Druckanstieg erfordert die Berücksichtigung des Einflusses des Druckgradienten bis zur Wand hin. Unter Zugrundelegung des Prandtlschen Schubspannungsansatzes wird als Verallgemeinerung des logarithmischen Geschwindigkeitsgesetzes ein Wandgesetz abgeleitet, das diesem Einfluß in Wandnähe Rechnung trägt. Die empirischen Koeffizienten des Wandgesetzes sind die beiden empirischen Koeffizienten des logarithmischen Gesetzes und vom Druckgradienten der Strömung unabhängig. Das Wandgesetz kann unter Umständen dazu dienen, die Wandschubspannung aus der experimentellen Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe zu bestimmen.Der theoretischen Untersuchung turbulenter Strömungen in ebenen Diffusoren werden die bekannten Messungen Nikuradses zugrunde gelegt. Es zeigt sich, daß bereits mittels des Wandgesetzes Druckgradient, Wandschubspannung und Geschwindigkeitsverteilung für mittleren Druckanstieg in brauchbarer Näherung berechnet werden können. Methodisch wird dabei so vorgegangen, daß die Geschwindigkeitsverteilung über der gesamten Breite der Kanalströmung durch das Wandgesetz approximiert wird. Wandschubspannung und Druckgradient werden dann mittels des Impulssatzes und einer äußeren Randbedingung bestimmt.Eine brauchbare Wiedergabe der experimentellen Werte auch für starken Druckanstieg erzielt man, wenn man als approximierende Funktion eine analytische Weiterentwicklung des Wandgesetzes ins Innere der Grenzschichtströmung hinein benutzt. Diese analytische Weiterentwicklung ist charakterisiert durch Berücksichtigung der Trägheitskräfte in erster Näherung und Berücksichtigung des Vorganges der turbulenten Mischung in zweiter Näherung, d. h. Einbeziehung des zweiten Gliedes der Taylorentwicklung der Mischungswegfunktion in die Rechnung. Der dabei auftretende dritte empirische Koeffizient erweist sich als vom Druckgradienten unabhängig und ist darüber hinaus als universelle Konstante anzusehen.     

Eine numerische Methode zur Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale,inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte

Übersicht Es wird eine Differenzenmethode zur numerischen Integration der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale, inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte beschrieben. Zur Verringerung des Rechenaufwandes wird angenommen, daß die Platte Symmetrieebene der Strömung ist. Die Ergebnisse einiger Testrechnungen für die Strömung längs einer endlich langen sowie einer unendlich langen Platte werden mit den Näherungslösungen von Blasius für die Plattengrenzschicht und von Goldstein für die Nachlaufströmung verglichen. Dabei zeigt sich deutlich die Stromaufwärtswirkung der Plattenvorderkante auf die ankommende Strömung und der Plattenhinterkante auf die Grenzschicht kurz vor dem Plattenende.

---

Summary A difference method will be described for the numerical integration of the Navier-Stokes equations for the two-dimensional, incompressible, steady flow along a flat thin plate. To reduce the computation time the plate is assumed to be the symmetry plane of the flow. The results of some computation tests for the flow along a plate of finite and infinite length, are compared with the approximate solutions of Blasius for the boundary-layer flow and of Goldstein for the wake behind the plate. The upstream effect of the leading edge on the incoming flow and of the trailing edge on the boundary layer shortly before the end of the plate becomes visible.

---

---

Auszug aus dem Bericht UW 62/70-ö der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Ottobrunn. Die Arbeit ist Teil des Forschungsauftrages T 01-830-I-205 des Bundesministeriums der Verteidigung.     

Ausbildung eines Wirbels an der Kante einer Platte

Zusammenfassung Die Strömung um die unendlich breite Platte kann man darstellen als eine Potentialströmung mit Unstetigkeitsflächen, die von den Plattenkanten ausgehen. Durch eine konforme Abbildung läßt sich bei gegebener Form und Wirbelbelegung der Unstetigkeitsflächen das Geschwindigkeitsfeld berechnen. Eine Bedingung ist die, daß die Geschwindigkeit an den Plattenkanten endlich sein muß. Sie ist aber nicht ausreichend zur Bestimmung der Form und Wirbelbelegung der Fläche. Auf Grund einer Ähnlichkeitsforderung gelingt es aber, eine Lösung dieser Aufgabe für die unendlich breite Platte zu finden, die für den frühesten Beginn der Flüssigkeitsbewegung richtig ist. Ausgehend von dieser Lösung wird die weitere Entwicklung der Wirbelbelegung und Gestalt der Fläche bei einer endlich breiten Platte verfolgt.Zum Schluß möchte ich Herrn ProfessorBetz für die Anregung zu dieser Arbeit und seine rege Unterstützung bei der Durchführung meinen besonderen Dank aussprechen.Göttinger Dissertation.     

Numerical solutions of some unsteady laminar flows of viscoelastic fluids in concentric annuli with axially moving boundaries

Summary The numerical solution of the steady and nonsteady laminar, isothermal flow of the 6-constant Oldroyd fluid in concentric annuli with axially moving boundaries, is given. The steady flow problem involves the solution of a non-linear ordinary differential equation. In the non-steady flow problem, a modified finite difference method, given byTownsend, is used. It is shown that the steady flow solution obtained directly and the solution obtained from the start-up flow problem agree with each other, thus showing the validity of the finite difference method. In various flow situations, start-up flow, flow decay, decay of a disturbance in the pressure, the effect of superimposed oscillations in the pressure gradient and in the axial velocity of the boundaries on the mean state of flow, are illustrated.

---

Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen der stationären und instationären laminaren, isothermen Strömung einer Oldroyd-Flüssigkeit mit sechs Konstanten in konzentrischen Ringspalten mit axial bewegten Wänden angegeben. Das stationäre Strömungsproblem erfordert die Lösung einer nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung. Beim instationären Problem wird in Anlehnung anTownsend eine modifizierte Finite-Differenzen-Methode angewandt. Es wird gezeigt, daß die direkt erhaltenen Lösungen des stationären Problems mit den numerisch erhaltenen Lösungen des instationären Problems übereinstimmen, wodurch die Anwendbarkeit dieser Methode nachgewiesen ist. Für verschiedene Strömungssituationen wie Anlauf- und Abklingströmung, Abklingen nach einer Druckströmung sowie der Einwirkung von überlagerten Schwingungen im Druckgradienten und in der Axialbewegung der Wände auf den mittleren Strömungszustand werden die resultierenden Ergebnisse veranschaulicht.

---

---

With 15 figures     

Berechnung der Strömung in Lavaldüsen mit beliebig verteilter Wärmezufuhr

Übersicht Die Integration der Gleichungen für die Strömung inLavaldüsen bei gleichzeitiger Wärmezufuhr bereitet wegen einer Singularität beim Schalldurchgang Schwierigkeiten. Unter Verwendung spezieller geschlossener Lösungen gelingt deren numerische Integration. Anhand einiger ausgewählter, charakteristischer Beispiele wird der Einfluß einer Wärmezufuhr auf die Strömung diskutiert. Insbesondere wird das unterschiedliche Verhalten bei Wärmezufuhr im Unterschall, bei Schalldurchgang und im Überschall behandelt. Im letzteren Fall werden außerdem die Bedingungen für das Auftreten eines Verdichtungsstoßes aufgestellt.

---

Summary The equations ofLaval type nozzle flow with heat addition have a singularity atMach number 1. This causes difficulties in the numerical calculation of the solutions, which can be evaded by use of special analytical solutions. The effect of heat addition to the flow is discussed in terms of some typical examples. In particular the differences between the flows with heat addition in the subsonic, sonic and supersonic region are investigated. In the latter case the conditions for the appearance of a shock wave are stated.

     

Der Strömungsdiffusions-Effekt und seine Anwendungen

Zusammenfassung Mit Hilfe von Modellversuchen wird ein Einfluß derMagnus-Kraft auf laminar strömende Elektrolytlösungen und binäre Gasgemische experimentell nachgewiesen, für den die Bezeichnung Strömungsdiffusions-Effekt vorgeschlagen wird. Dieser Effekt äußert sich in der Einstellung eines Konzentrationsgradienten in einem radialen Geschwindigkeitsgradienten der Röhrenströmung und läßt sich zur Anreicherung der Komponenten binärer Systeme experimentell verwenden. Bei Gasen ist er von einem gaskinetisch bedingten Temperatureffekt begleitet.     

Hydromechanische Grundlagen für die Behandlung von stationären und instationären Grundwasserströmungen

Zusammenfassung Nach einer eingehenden Analyse der wirkenden Kräfte wurden die Gleichungen für die Grundwasserströmung und die Korn-zu-Korn-Kräfte in verallgemeinerter Form abgeleitet. Anschließend wurden die möglichen Randbedingungen formuliert und die Bewegung des Grundwasserspiegels bei instationären Strömungszuständen rechnerisch verfolgt. In einer nachfolgenden Arbeit soll die Anwendung der entwickelten Gleichungen für die Lösung praktischer Aufgaben gezeigt werden.     

The velocity slip of polar fluids

Summary The theory of polar fluids, briefly reviewed and shown to be identical to the theory of micropolar fluids, is applied to five different viscometric flows and to the flow around a slowly rotating sphere. Comparing theoretical predictions with experimental results for the viscometric flows it is demonstrated that the theory may serve as a model for the flow of suspensions if a velocity slip along a solid wall is accounted for.In the important limit, in which the length scale of the microstructure is much less than a characteristic geometric length theNavier-Stokes equations subject to a velocity slip boundary condition are all one has to work with for the evaluation of the apparent fluidity; a positive slip coefficient guarantees the sigma phenomenon to result. For other flows one may also adopt this procedure as long as one is interested only in average macroscopic quantities. In this way it turns out that the classical expressions for the hydrodynamic force and torque on a slowly translating and rotating sphere may be employed if the geometric radius is replaced by an apparent one.But even for the evaluation of local quantities, where the full system of equations has to be used, one needs a velocity slip boundary condition. Only then does a qualitative agreement with the experimentally determined details of the flow field result. It is demonstrated that such a requirement is a natural and physically expected supposition for any continuum approximation of a fluid with internal structures.

---

Zusammenfassung Die Theorie der polaren Flüssigkeit, welche kurz referiert und für die gezeigt wird, daß sie identisch ist mit der Theorie der mikropolaren Flüssigkeit, wird auf 5 stationäre Schichtenströmungen sowie auf die Strömung um eine langsam rotierende Kugel angewendet. Durch Vergleich von theoretischen Resultaten mit experimentellen Ergebnissen für Schichtenströmungen wird gezeigt, daß die Theorie durchaus als Modell für die Strömung von Suspensionen geeignet ist, vorausgesetzt, daß eine Geschwindigkeitsgleitung entlang einer Wand mitberücksichtigt wird.In dem entscheidenden Grenzfall, in dem die Größe der Mikrostruktur klein ist im Vergleich zu charakteristischen Makrodimensionen, hat man zur Bestimmung der scheinbaren Fluidität nur dieNavier-Stokes-Gleichungen zu lösen, allerdings unter der Randbedingung einer Geschwindigkeitsgleitung; ein positiver Gleitungskoeffizient führt dann zum Sigma-Effekt. Auch auf andere Strömungen ist diese Methode anwendbar, solange man sich nur für irgendwelche Mittelwerte interessiert. Auf diese Weise zeigt sich, daß die klassischen Ausdrücke für die hydrodynamische Kraft und das Drehmoment auf eine sich langsam bewegende starre Kugel ihre Gültigkeit behalten, wenn man den geometrischen Radius durch einen scheinbaren ersetzt.Aber sogar zur Berechnung lokaler Größen, für die man das vollständige Gleichungssystem benötigt, muß eine Geschwindigkeitsgleitung an der Wand angenommen werden. Denn nur dann erhält man eine qualitative Übereinstimmung mit dem experimentell bestimmten Strömungsprofil. Es wird gezeigt, daß eine derartige Annahme für jede Approximation einer Flüssigkeit mit innerer Struktur durch ein Kontinuum physikalisch zu erwarten ist.

---

---

With 2 figures     

Charakterisierung makromolekularer Substanzen mit Hilfe der Strömungsdoppelbrechung

Zusammenfassung Die Theorie der Strömungsdoppelbrechung von Lösungen und Schmelzen makromolekularer Substanzen wird einer Betrachtung unterzogen. Hierbei wird der Zusammenhang mit den elasto-viskosen Eigenschaften unterstrichen. Die Natur des sogenannten spannungsoptischen Koeffizienten wird untersucht. Seine physikalische Bedeutung wird auch für Systeme, die nur geringfügig verknäuelte Makromoleküle enthalten, erläutert. Hierfür wird die Persistenzstatistik zu Hilfe genommen.Für verdünnte Lösungen von genügend verknäuelten Makromolekülen (mit Gaußscher Endpunktsverteilung) wird die Möglichkeit einer in Bezug auf die Variablen: Temperatur, Viskosität des Lösungsmittels, Molekulargewicht und Konzentration invarianten Darstellung der Meßergebnisse demonstriert. Die störende Rolle einer eventuellen kinetischen Steifheit der Ketten wird erörtert.Als anschauliche Größe tritt die Knäuelaufweitung hervor, die als Folge des Strömungszustandes auftritt. Ihr Zusammenhang mit den Normalspannungen wird gezeigt. Der starke Einfluß des Unsymmetrie einer breiten Molekulargewichtsverteilung auf die scheinbare Knäuelaufweitung, wie sie an polydispersen Lösungen gefunden wird, führt zur Verwendung dieser Größe für Polydispersitätsuntersuchungen.Nebst Ergebnissen an Lösungen von Polystyrol und von Poly--Benzyl-L-Glutamat, wie sie aus der Literatur bekannt sind, werden eigene Ergebnisse an anionischen Polystyrolen und an Cellulose-Tricarbanilat zur Veranschaulichung herangezogen.

---

Summary The theory of the flow birefringence as obtained in solutions and melts of polymeric substances, is considered. The relation between flow birefringence and elastico-viscous properties and, in particular, the nature of the stress-optical coefficient are discussed. In this connection, also systems containing only slightly coiled macromolecules are considered. For the purpose, use is made of the statistics of persistent chains.For dilute solutions of intensively coiled molecules (Gaussian molecules), the presentation of data in reduced form is demonstrated. The said reduction holds with respect to temperature, solvent viscosity, molecular weight and concentration. The disturbing role of the kinetic stiffness of the chains is discussed.Attention is paid to the coil expansion as an illustrative quantity. Its relation to the normal stresses is emphasized. The apparent coil expansion which is obtained with polydisperse systems, appears to be very sensitive to the skewness of broad molecular weight distributions. As a consequence, this quantity is very useful for polydispersity investigations.Besides literature data which were obtained on solutions of polystyrene and of poly--benzyl-L-glutamate, own results on anionic polystyrenes and on cellulose-tricarbanilate are used for illustration.

---

---

Erweiterte Fassung eines Vortrages, der aus Anlaß der Arbeitstagung der Sektion Rheologie des Vereins Österreichischer Chemiker am 28. September 1965 in Graz gehalten wurde.     

Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen mit schwacher Veränderlichkeit der Schalenkrümmungen

Zusammenfassung Es wird eine Biegetheorie erster Näherung für die abklingenden Randstörungen von Rotationsschalen gegeben, deren Ränder mit Breitenkreisen zusammenfallen. Die erzeugende Meridiankurve kann bis auf geringe Einschränkungen beliebig sein. Es werden nur solche extremen Krümmungsänderungen ausgeschlossen, die bei üblichen bautechnischen Schalen praktisch nicht vorkommen. Die formale Behandlung der gegebenen Gleichungen gibt ganz von selbst eine Übersicht über die vorhandenen nicht abklingenden Lösungen. Diese dehnungslosen Verformungen und homogenen Membranlösungen ergänzen die abklingenden Randstörungen zu dem vollständigen Lösungssatz der Biegetheorie. Die vorliegende Biegetheorie überträgt ungefähr die Donnell-Jenkinssche Näherungstheorie für Zylinderschalen auf beliebige Rotationsschalen. Sie kann als Erweiterung der Geckelerschen Näherung angeschen werden, die hier jedoch auch für Schalen negativer Gauscher Krümmung gilt. Die Differentialgleichung bleibt von achter Ordnung. Sie schließt daher die bekannten Gleichungen für Kugelschalen, für flache Schalen und für Torsen als Sonderfälle ein, bei denen sämtliche Integrale, auch die nicht abklingenden, auf dem hier gezeigten Lösungsweg gefunden werden.Auszug der Habilitationsschrift des Verfassers: Asymptotische Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen ..., Hannover 1963, eingereicht 1961. Die Arbeit entstand z. T. unter dem Visiting Research Scientists Program der National Academy of Sciences, USA.