A generalized semi-inverse method for the elastic cylinder

Summary This paper deals with a side-and-end traction loaded elastic cylinder in the presence of all the stress components. The solution obtained in potential stress function terms includes wall beam and uneven torsion problems.With the definition of the boundary problems concerning the potential stress functions and the determination of the constants involved in the problem, a generalization of the well-known Saint-Venant solution is obtainable. The relevant results of an uneven torsion subjected elliptic cross-section cylinder is being dealt with in the last section of the paper.

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Sommario In questa memoria è presentata una soluzione del problema del cilindro elastico, caricato anche sulla superficie laterale, che ammetta la presenza di tutte le componenti di tensione: tale soluzione, ottenuta in termini di funzioni potenziali delle tensioni, include, quali sue particolarizzazioni, il problema della trave parete e quello della torsione non uniforme.La definizione dei problemi al contorno sulle funzioni potenziali e la determinazione delle costanti coinvolte conduce ad una significativa generalizzazione della trattazione classica di Saint-Venant. In ultimo vengono riportati i risultati relativi allo studio del cilindro a sezione ellittica soggetto a torsione non uniforme.

     

Biaxial stress effects on the elastic-plastic crack-tip displacement fields

Summary A plane stress, finite element analysis of the monotonic loading of a Mode I stationary crack under small scale yielding using a boundary layer approach is presented. A small-strain,J ₂ plasticity theory is used in conjunction with a linear hardening material model. The effects due to the inclusion of the non-singular elastic T-stress in the asymptotic boundary conditions on the elastic-plastic fields near the tip are investigated. This parameter, which accounts for the inherent biaxial stress state at a crack tip, is found to control extension and state of deformation of the plastic zone. The full-field numerical solutions are also used to simulate moirè interferometric fringe patterns in order to assess earlier detailed experimental observations.

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Sommario Viene presentato uno studio agli elementi finiti con un approccio allo strato limite del caricamento monotono seconda il Modo I di una fessura stazionaria in condizioni di stato di tensione piana e plasticità contenuta. Viene esaminata in particolare l'influenza che la componente tensionale elastica trasversale nonsingolare (i.e. T-stress) delle condizioni al contorno ha sullo stato di sollecitazione elasto-plastica all'apice della fessura. Si osserva che questo parametro dello stato di biassialità all'apice di fessure controlla sia l'estensione della zona plastica che lo stato deformativo al suo interno. Le soluzioni numeriche vengono inoltre impiegate per simulare sistemi di frange moirè interferometriche fornendo così un utile strumento di confronto con precedenti risultati sperimentali.

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Portions of this paper are included in the Proceedings of 9.th Congress of AIMETA, Bari, 1988.     

The displacement discontinuity method in the analysis of open cracks

The application of the displacement discontinuity numerical technique to the solution of some problems of fracture mechanics is demonstrated in the hypothesis of homogeneous and elastic material. The fracture is supposed to be free from traction and is represented by a set of constant displacement discontinuity elements, except for two parabolic elements, located at each crack tip, in order to simulate the singularity of the solution near the crack tips. On the basis of the stress and displacement field determined by the displacement discontinuity method, the stress intensity factors for mode I and II are computed according to the method of the displacements. Three examples are provided to verify the validity of the formulation.

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Sommario Lo scopo del presente lavore è di illustrare l'applicazione del metodo numerico della Displacement Discontinuity alla soluzione di alcuni problemi di meccanica della frattura, nell'ipotesi di materiale omogeneo ed elastico. La frattura è supposta aperta ed è rappresentata da una linea di elementi a discontinuità di spostamento costante, con l'eccezione di due speciali elementi parabolici, ubicati agli apici, al fine di simulare la singolarita' del campo tensionale. Sulla base del campo degli sforzi e degli spostamenti cosi determinati, vengono ricavati i fattori di concentrazione degli sforzi in modo I e II mediante il metodo degli spostamenti. Vengono inoltre riportati tre esempi di calcolo, effettuati al fine di verificare la validità del procedimento proposto.

     

Energy dissipation due to frictional shake-down on a closed crack subjected to shear

The behaviour of a horizontal crack, subjected to cyclic shear and normal compressive stresses, is investigated with the aim of studying the shake-down and alternating plasticity phenomena. The analysis is carried out by means of the displacement discontinuity numerical method, conveniently modified so as to simulate the development of frictional stresses on the crack surfaces. The assumptions that the crack does not propagate and that the material behaves elastically are made. The critical values of the physical and geometrical parameters which determine the occurrence of frictional shake-down or alternating plasticity are identified. An evaluation of the amount of energy dissipated because of alternating plasticity is also provided.

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Sommario Nel presente articolo viene esaminato il comportamento di una fessura orizzontale soggetta a taglio ciclico e a sforzo normale di compressione. L'analisi è condotta mediante il metodo della Discontinuità di Spostamento, opportunamente modificato in modo da simulare lo sviluppo di sforzi di attrito sulle superfici della fessura. Vengono ricavati i valori critici dei parametri fisici e geometrici che determinano la comparsa del fenomeno dello shake-down. Viene infine valutata la quantità di energia dissipata in ogni ciclo di applicazione del taglio.

     

Elastic behaviour of shrink-fitted forming die assemblies. Part I: Development of an analytical solution

Summary The paper deals with the elastic behaviour of the die assemblies obtained by shrinking a thick walled ring onto a finite hollow right circular cylinder in general of different length. Displacements and stresses in the two components of the assembly are evaluated by using the theoretical general solution on the finite thick-walled hollow elastic right circular cylinder with an axially symmetrical load system in terms of Airy's stress function. Radial and axial displacement influence coefficient technique is used to solve the integral equations governing the two extreme frictionless and slipless contact modes at the mating surface.

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Sommario L'articolo riferisce sul comportamento elastico di accoppiamenti realizzati per forzamento di un anello di grosso spessore su di un cilindro cavo circolare retto di lunghezza finita ed in generale diversa da quella dell'elemento forzante.La valutazione delle componenti di spostamento e di tensione presenti in ciascuno dei due elementi dell'accoppiamento è operata mediante una soluzione teorica, generale, relativa ad un cilindro cavo, circolare, retto, di lunghezza finita e sollecitato da un sistema di carichi distribuiti in modo assialsimmetrico e che è stata sviluppata in termini della funzione delle tensioni di Airy. Il metodo dei coefficienti di influenza applicato alle componenti radiale ed assiale degli spostamenti è utilizzato per la risoluzione delle equazioni, scritte in forma integrale, che governano le modalità di contatto relative alle due situazioni estreme di assenza di attrito e di adesione completa in corrispondenza delle superfici di accoppiamento.

     

An application of the invariance principle to a non-linear,first order evolution problem: Asymptotic stability in non-isothermal magnetohydrodynamics

Summary The purpose of this paper is to study, with the aid of the invariance principle for dynamical systems stated by Dafermos, the asymptotic stability of the null solution of a mixed, non-linear, first order evolution problem. As a particular case, one obtains a theorem on unconditional, asymptotic stability of stationary flows of non-isothermal magnetohydrodynamics in the Boussinesq approximation.

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Sommario Tale lavoro è rivolto allo studio della stabilità asintotica della soluzione nulla di un problema di evoluzione del primo ordine, misto e non lineare. Il metodo adoperato è quello del principio di invarianza per i sistemi dinamici di Dafermos. Come conseguenza dei risultati ottenuti, poi, si determina un teorema di stabilità asintotica incondizionata per i moti stazionari della magnetoidrodinamica non isoterma nello schema di Boussinesq.

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Work performed under the auspices of CNR (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

The effect of thickness on stress distribution in the region of intersection between two cylindrical shells with orthogonal axes

Summary A study for the investigation of the stress characteristics in the region of connection between two cylindrical shells with orthogonal axes was performed, within the classical elasticity theory. The stress analysis concerns the area near the intersection of two shells, except for the singular points. Three approximation levels of the analytical model make it possible to graduate the complexity of calculation according to the geometrical characteristics of the two shells.

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Sommario E' stato sviluppato uno studio per determinare le caratteristiche di tensione nella regione di collegamento fra due gusci cilindrici con assi ortogonali. Lo studio è basato sull'impiego delle formulazioni classiche della teoria dell'elasticità. L'analisi dello stato di tensione riguarda la zona prossima all'intersezione dei due gusci, con esclusione dei punti singolari. Tre gradi di approssimazione del modello analitico permettono di graduare la complessità del calcolo in relazione alle caratteristiche geometriche dei due gusci.

     

Natural convection in a rectangular cavity. An analytic solution

Summary An analytic solution is given to a problem of natural convection in a rectangular cavity, by means of a Papkovich-Fadle series. The convergence of the method is numerically proven and the results are compared with those obtained by several other methods. The considered solution procedure shows definite advantages with respect to the other techniques.

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Sommario Si fornisce, per mezzo della serie di Papkovich-Fadle, una soluzione analitica per un problema di convezione naturale in una cavità rettangolare. La convergenza del metodo è numericamente provata e i risultati sono confrontati con quelli ottenuti con altri metodi. La soluzione proposta tramite la serie è in tal caso vantaggiosa rispetto alle altre tecniche.

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This work has been partially supported by C.N.R. through grant n. 81.01501.11.     

A numerical method for solving equilibrium problems of masonry-like solids

This paper proposes a numerical method for the solution of equilibrium problems of solids which do not support tension. Some boundary-value problems are solved numerically and the solution obtained is compared to the exact one.

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Sommario In questo lavoro viene proposto un metodo numerico per la soluzione di problemi di equilibrio di solidi non resistenti a trazione. Vengono successivamente risolti numericamente alcuni problemi di equilibrio e la soluzione ottenuta è confrontata con quella esatta.

     

On the theory of emersion and impulse waves. A rigorous solution,with finite energy,of the cauchy-poisson problem

Summary In this note a rigorous solution of Cauchy and Poisson problem is reached for the case of irrotational flow of a perfect fluid with initial elevation having a finite energy. The problem is solved both in the plane surface case, in which the solution can be given in the form of known trascendentes, and in the case of axial simmetry, in which the solution is obtained by means of rapidly converging series infolds.The Cauchy and Poisson solution in the case of wave motion, both in the plane form and with axial simmetry, is reported shortly and it is noted that such solution, which has been reached through different methods by other researchers[6] cannot be considered satisfactory from a physical point of view, as the developed scheme involves an initial disturbance of finite volume and infinite height and consequently containing an infinite potential energy.It is demonstrated how one can reach a rigorous solution of the problem regarding progressive surface waves at an infinite depth, when the original elevation, restricted to the spot near the × origin, has a finite volume, height and consequently also potential energy, so that any incongruity from a physical point of view is let out of the solution.The side problem of determining the wave resulting from application of an impulse evenly distributed on the whole undisturbed surface is not a very interesting one, as it is included in the class of problems involving an initial infinite energy.

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Sommario In questa nota si giunge ad una soluzione rigorosa del problema di Cauchy e Poisson, per il caso di moto irrotazionale di fluido perfetto, con intumescenza iniziale avente energia finita. Il problema viene risolto sia nel caso piano, in cui si può esprimere la soluzione a mezzo di trascendenti note, sia nel caso a simmetria centrale, in cui si ottiene la soluzione a mezzo di sviluppi in serie rapidamente convergenti.Si riporta brevemente la soluzione di Cauchy e Poisson nel caso di moto ondoso, sia piano che a simmetria centrale e si nota che tale soluzione, ritrovata per altra via anche da altri ricercatori[6] non è soddisfacente dal punto di vista fisico, in quanto lo schema fatto è quello di una perturbazione iniziale di volume finito e di altezza infinita e quindi dotata di energia potenziale infinita.Si dimostra come si possa giungere ad una soluzione rigorosa del problema delle onde progressive superficiali in profondità infinita, quando l'intumescenza originale, confinata in prossimità dell'origine delle × abbia volume, altezza e quindi anche energia potenziale finita, in modo che ogni incongruità dal punto di vista fisico della soluzione venga a cadere.Il problema complementare, di determinare cioè l'onda risultante dall'applicazione di un impulso distribuito uniformemente sulla superficie in quiete, non è di grande interesse, perchè rientra nella categoria dei problemi con energia iniziale infinita.

     

An analytical approach to the dynamics of rotating shafts

An analytical procedure, based on the dynamic stiffness method, is proposed for the study of rotor dynamics problems. On the grounds of the governing differential equations of a continuous beam, the dynamic stiffness matrix of the rotating Timoshenko beam is derived, including the effects of translational and rotational inertia, gyroscopic moments and shear deformation of the shaft. Concentrated disks and isotropic, elastic bearings are taken into account in the element formulation. The results obtained by the proposed method are compared with both classical closed form solutions and finite element analyses taken from the literature.

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Sommario Nel presente lavoro viene esposto un procedimento analitico, basato sul metodo della rigidezza dinamica, per lo studio del comportamento dinamico dei rotori. In particolare, è ricavata la matrice di rigidezza dinamica della trave di Timoshenko rotante, che consente di tenere conto degli effetti dell'inerzia alla traslazione e alla rotazione, del momento giroscopico distribuito e della deformazione a taglio della trave. Nell'ambito della formulazione proposta, è possibile considerare, mediante inserimento diretto nella matrice di rigidezza dinamica, gli effetti dovuti alla presenza di dischi e di supporti elastici isotropi. Il metodo proposto è applicato alla determinazione delle velocità critiche di sistemi rotanti, con riferimento sia a casi semplici, per i quali è nota la soluzione analitica, sia al caso piu' complesso di un rotore già studiato in letteratura; per quest'ultimo esempio, in particolare, è presentato un confronto con i risultati delle analisi agli elementi finiti svolte da altri autori.

     

On unsteady forced flow against a rotating disk

Summary The solution of unsteady forced flow against an unsteadily rotating disk is obtained when the outer flow and the angular velocity of the disk are expressed in powers series of t. The solution is established by expanding the velocity components and the pressure in powers of small time. The extension of the obtained solutions is possible by using Zeytounian's technique. Finally, an analysis is made for the problem of the time-dependent flow due to an infinite rotating disk started accelerated from rest.

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Sommario La soluzione del flusso forzato contro un disco rotante in regime non permanente è ottenuta quando il flusso esterno e la velocità angolare del disco sono espresse in una serie di potenze t. La soluzione è formulata esponendo la componente della velocità e la pressione in potenze di tempo piccolo. L'estensione delle soluzioni ottenute è possibile usando la tecnica di Zeytounian. Infine si fa l'analisi del flusso dipendente dal tempo dovuto a un disco rotante infinito accelerato dalla quiete.

     

Detachment instabilities in membranes

Summary Some free boundary value problems involving the equilibrium of elastic membranes are examined. Each membrane is clamped along a part of the boundary and uniformly loaded along another part. The clamped part is weakened by a crack. As the exterior load increases, the crack tends to extend and, for a certain critical value of the load, may run catastrophically.

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Sommario Si esaminano alcuni problemi di frontiera libera relativi all'equilibrio delle membrane elastiche. Ciascuna membrana è incastrata lungo una parte del contorno e caricata uniformemente lungo l'altra. La parte incastrata é indebolita da una fessura. Quando il carico esterno cresce, la fessura tende ad estendersi e, per un certo valore critico del carico, può progredire catastroficamente.

     

On Leon's criterion

Summary The theory of limit surfaces of resistance for isotropic materials in the space of the principal stress components is recalled. This resistance is viewed in terms of the phenomena of ductile or brittle failure that may arise in alternation for a given material, depending on the type of stress state. A transformation of coordinates is introduced that proves to be very useful for comparing the various limit conditions with that deriving from intrinsic curve theory. Reference is made to the criterion of Stassi, certainly the most reliable of the criteria that allow for dependence of the limit condition on the value of the principal intermediate stress. The theory of the intrinsic curve is generalised by means of Leon's modification, which interprets the phenomenon of tensile fracture. It is shown how Griffith's theory of brittle fracture leads to a limit condition that may be regarded as a special case of the one deriving from Leon's theory. Comparison with some experimental data shows that Leon's theory is well suitable for the study of brittle fracture. A generalisation that takes account of the influence of the principal intermediate stress and so permits good agreement with the experimental data in the field of ductile failure too, whilst conserving the characteristics of Leon's theory in brittle fracture, is proposed.

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Sommario Si richiama la teoria delle superfici limiti di resistenza per materiali isotropi nello spazio delle componenti principali di tensione. Tale resistenza è intesa nei riguardi dei fenomeni di rottura duttile o fragile che possono intervenire in alternativa per uno stesso materiale in dipendenza dei diversi tipi di stato tensionale. Si introduce una trasformazione di coordinate che risulta particolarmente utile per il confronto delle varie condizioni limiti con quella derivante dalla teoria della curva intrinseca. In particolare si fa riferimento al criterio di Stassi, certo il più attendibile fra quelli che prendono in considerazione la dipendenza della condizione limite dal valore della tensione principale intermedia. La teoria della curva intrinseca viene generalizzata attraverso la modifica di Leon, che interpreta il fenomeno della crisi per distacco. Si mostra come la teoria di Griffith della rottura fragile conduca ad una condizione limite che si può considerare un caso particolare di quella derivante dalla teoria di Leon. Per confronto con alcuni dati sperimentali si verifica che questa ultima teoria bene si presta allo studio dei fenomeni di rottura fragile. Si propone una generalizzazione che, tenendo conto dell'influenza della tensione principale intermedia, consente di ottenere un buon accordo con l'esperienza anche nel campo di rottura duttile, pur conservando le caratteristiche della teoria di Leon in quello della rottura fragile.

     

Deflection of a partially supported elastic beam subjected to non uniform load

Summary The bending of a partially supported, nonhomogeneous elastic beam is studied by means of variational inequalities. Properties of the contact set are obtained along with the continuous dependence of the displacement on the load. Eventually, for a wide class of external forces we give an explicit formula for the contact set and prove further properties for the solution.

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Sommario E' qui studiata mediante disequazioni variazionali la flessione di una trave elastica non omogenea in parte appoggiata. Vengono ottenute proprietà dell'insieme di contatto e della soluzione (spostamento dalla configurazione di riferimento), quali ad esempio la dipendenza continua dal carico e, per un'ampia classe di forze esterne, una formula esplicita per la zona di contatto e la concavità della configurazione di equilibrio.

     

A mathematical model for an alloy solidification problem in the presence of an electric field

A one-dimensional mathematical model for a process of solidification of a binary alloy in the presence of an electric field is studied. A situation in which the thermal properties of each phase are different and the latent heat is non-zero is considered. A quasi-static approximation for the thermal and electric fields is used. Local existence and uniqueness of a classical solution to the resulting free boundary problem are proved for two kinds of boundary conditions. Moreover, under particular hypotheses, the monotonicity of the free boundary and the global existence of the solution is proved.

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Sommario Si studia un modello matematico unidimensionale per un processo di solidificazione di una lega binaria in presenza di un campo elettrico. Si considera una situazione in cui le proprietà termiche di ogni fase sono differenti e il calore latente è non nullo. Si usa una approssimazione quasi-statica per i campi elettrico e termico. Si dimostra l'esistenza locale e l'unicità di una soluzione classica per il problema di frontiera libera risultante con due tipi di condizioni di bordo. Inoltre si dimostra, sotto particolari ipotesi, la monotonia della frontiera libera e l'esistenza di soluzione globale.

     

An exact solution for one-dimensional unsteady nonlinear groundwater flow

After a brief review of the validity of Darcy's law, a nonlinear flow law is adopted for the analytical solution of a groundwater flow problem. A one-dimensional unsteady flow in plane geometry, with prescribed head at the boundaries, is studies. The solution of the analogous linear case is reviewed through the use of Boltzmann's transformation. A solution for nonlinear flow is obtained through a generalization of this transformation. Detailed expressions for specific discharge and drawdown are derived for two significant values of the exponent of the flow law. All results are presented in dimensionless form for a comparative analysis. Some significant cases are plotted. Finally, some implications of the adoption of a nonlinear flow law are discussed.

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Sommario Dopo un breve riepilogo sui limiti di validità della legge di Darcy, si adotta una formulazione non lineare della legge del moto per la risoluzione analitica di un problema di filtrazione. Si studia un moto non stazionario monodimensionale in geometria piana, con carico assegnato al contorno. Viene richiamata la soluzione dell'analogo caso lineare, tramite l'applicazione della trasformata di Boltzmann. Una soluzione per il moto non lineare è ottenuta mediante la generalizzazione di tale trasformazione. Si ricavano le espressioni della velocità apparente di filtrazione e del drawdown per due valori significativi dell'esponente della legge del moto. Tutti i risultati sono presentati in forma adimensionale per una analisi comparativa. Alcuni casi significativi sono diagrammati. In conclusione, sono discusse alcune implicazioni dell'adozione di una legge del moto non lineare.

     

Sufficient uniqueness and stability conditions for elastic-plastic structures with associated flow laws

Summary The incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow laws is stated in terms of an integral equation, whose characteristics and solution are discussed.It is then shown how a simpler problem whose condition of uniqueness of solution constitutes an easily applicable sufficient condition of uniqueness and stability of response for the incremental problem may be deduced.

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Sommario Si formula il problema incrementale per strutture elastoplastiche con leggi di scorrimento associate in termini d'una equazione integrale della quale si discutono le caratteristiche e il criterio di soluzione.Si mostra infine come dal problema incrementale possa essere dedotto un più semplice problema la cui condizione di unicità di soluzione costituisce per il problema incrementale una condizione sufficiente di unicità e stabilità della risposta, di semplice applicabilità.

     

Complementary energy,neutral equilibrium and buckling

Summary A general analytical approach of the non-linear problem of a linear elastic and isotropic straight bar of variable stiffness is indicated. The linear equivalence method, introduced by one of the authors, is applied to two fundamental cases for the isostatic straight bar, i.e. the cantilever bar (a Cauchy type problem) and the simply supported bar (a bilocal problem). Some numerical examples concerning moderate deformations and rotations are presented.

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Sommario Si propone un approccio analitico generate per la soluzione del problema non lineare di un'asta rettilinea di rigidezza non uniforme di materiale elastico-lineare isotropo.Il metodo dell'equivalenza lineare introdotto da uno degli autori è applicato a due casi fondamentali della trave isostatica rettilinea, cioè la mensola (problema alla Cauchy) e la trave appoggiata (problema bilocale). Vengono presentati alcuni esempi numerici concernenti deformazioni e rotazioni moderatamente grandi.

     

Finite element analysis of axisymmetric systems without ignoring shear strain effects

Summary The finite element method is used to calculate the elastic displacements and internal forces in shells with axisymmetric geometry and load; the shell is assumed to be strainable by shear as well as by bending and normal forces. It is assumed that the finite elements have a simple curvature whose displacement function is analytically expressed by power polynomials of the meridian coordinate; the chosen parameters are the displacement components of the nodes; their number may be smaller than that of the polynomial terms, whose dependence is therefore uniquely defined by the minimum total potential energy condition. By this means it is possible to obtain an accurate numeric solution even with a few elements as long as they are sufficient to represent the shell geometry and follow the load distribution. The exposition is completed by the block diagram of the numeric computing program and the results in some examples.

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Sommario Col metodo degli elementi finiti viene impostato il calcolo degli spostamenti elastici e delle azioni interne in lastre assialsimmetriche per geometria e per carico; si suppone la lastra deformabile oltre che alle azioni flettenti e normali anche all'azione di taglio.Si assumono elementi finiti a semplice curvatura con funzione spostamento analiticamente espressa da polinomi di potenze della coordinata meridiana; si scelgono quali parametri le componenti di spostamento dei nodi; il loro numero può essere inferiore a quello dei coefficienti polinomiali considerati la cui dipendenza viene pertanto univocamente definita con la condizione di minima energia potenziale totale.Seguendo questa via è possibile ottenere una soluzione numerica accurata anche con pochi elementi finiti purchè sufficienti a rappresentare convenientemente la geometria della lastra e a seguire la distribuzione dei carichi.L'esposizione è completata dallo schema a blocchi del programma di calcolo numerico per l'elaborazione elettronica e dai risultati ottenuti in alcuni casi esemplificativi.