关于整数集分拆的一个猜测的证明

设n为正整数,记rn=m ax{正整数m:可将集合{1,2,…,m}分为n个子集,使得在每一子集中方程xy=z(x>1,y>1)均无解}.高楠和刘红艳(数学的实践与认识,2005,35(5):151—152)给出了rn的一个下界估计rn n9,并猜测对任意给定的正整数k,当n充分大时有rn nk.本文对此猜测给以肯定回答,并证明了如下更强的结论:对任意给定的正整数k 4,当n>3k时有rn n2k+1.     

关于图的升分解的Alavi猜想

Y.Alavi等人在1987年定义了图的一种新分解,即“升分解”(ascebding subgraph decomposition),并提出猜想:设自然数n≥2,G是由k个分离的星S_1,S_2,…,S_k构成的图,S_i含有a_i条边,n≤a_i≤2n-2,,则G可升分解为星的并。本文证明了当n=2k+i(i=0,1,2)时猜想成立。     

关于乘法分拆数的一个猜想和上界

本文证明了乘法分拆数的一个上界,由此证明了Hughes-Shallit的第二猜想,同时证明了对任意的正数a,存在一个自然数N,当n≥N时,n的乘法分拆数f(n)0,使这个集合中的自然数的乘法分拆数≤n~a。     

正整数n的m-分拆及其应用

本文引入了两个新概念,正整数n的m－分拆和正整数n的真m－分拆。通过研究我们发现,n的分拆恰是n的m－分拆的一个特例,而n的真m－分拆在二侵略产的（整）和图研究中有实际应用[8]。     

不可思议的分拆算法

如果一些东西（例如某项产品或元件）的形状,大小完全一模一样,简直无从区别．那末,把它们分拆（最小的单位是一件,分数或小数都是没有意义的）出来,不同的分法共有多少种呢？显然,这是一个人们日常生活中经常碰到的问题,不是什么偏题、怪题,或者是凭空制造出来的...     

用Schur分拆证明一类含参数的不等式

利用对称多项式的Schur分拆方法,以及单变元多项式实根隔离算法,证明了一个不等式猜想.并将这一方法用于处理一类含有参数的有理对称不等式.     

关于正整数奇偶分拆数的计算问题

正整数n的分拆是指将正整数n表示成一个或多个正整数的无序和,设O(n,m)表示将正整数n分拆成m个奇数之和的分拆数;e(n,m)表示将正整数n分拆成m个偶数之和的分拆数.本文用初等方法给出了将O(n,m),e(n,m)分别化为有限个O(n,2),e(n,2)的和的计算公式,进而达到计算O(n,m),e(n,m)的值.同时,还讨论了将正整数n分拆成互不相同的奇数或偶数的分拆数的相应的递推计算方法.     

关于图的一种新分解

Alavi等人在[1]中定义了图的一种新分解,即升分解,并提出猜想:     

A Proof of Simmons' Conjecture

An open problem posed by Simmons is whether two given permutations of the vertices of the deBruijn graph have the same cycle structure, or not. We present a solution to this problem and find the complete cycle structure.     

On the Ascending Subgraph Decomposition Problem

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｐａｐｅｒ［１］,Ａｌａｖｉａｎｄｏｔｈｅｒｓｄｅｆｉｎｅｄｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆａｓｃｅｎｄｉｎｇｓｕｂｇｒａｐｈｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ：Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ＬｅｔＧｂｅａｇｒａｐｈｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅｓｉｚｅｑ,ａｎｄｌｅｔｎｂｅｔｈａｔｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒｆｏｒｗｈｉｃｈｎ＋１２ｑ＜ｎ＋２２．ＴｈｅｎＧｉｓｓａｉｄｔｏｈａｖｅａｎａｓｃｅｎｄｉｎｇｓｕｂｇｒａｐｈｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＡＳＤ）ｉｆＧｃａｎｂｅｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ…     

几类可升分解的图

Ａｌａｖｉ等人在文献［１］中定义了图的一种新分解，即“升分解”，并且猜想：任意有正数条边的图都可升分解。本文证明了下面三类图可升分解，并得到了一些有意义的推论。１设Ｒｎ是一个至多含有ｎ个顶点和至多含有ｎ条边的图，Ｋｎ－Ｒｎ可升分解（ｎ≥５）；２对称图可升分解；３对称图Ｇ的混合积（Ｇ；ｋ）可升分解。     

算术图一个猜想的证明

Ａｃｈａｒｙａ和Ｈｅｄｇｅ提出猜想：(i)若圈Ｃ_4t＋１( t≥1, t∈N) 是(k, d )－算术图，则Ｋ＝２ｄｔ+ 2r ( r≥0, r∈N ) ; ( ii) 若圈C_4t＋3是(k, d )-算术图, 则k= (2t+ 1) d + 2r ( r≥0, r∈N ). 本文证明了上述猜想为真.     

关于二部图Km1m2-Hm2的升分解

在文献[2]中作者定义了图的一种新分解-升分解(Ascending subgraph Decomposition简记为ASD)，并提出了一个猜想：任意有正数条边的图都可以升分解．本文主要证明了二部图Km1m2-Hm2(m1≥m2)可以升分解，其中Hm2是至多含m2条边的Km1m2的子图．     

More on the Bipartite Decomposition of Random Graphs

For a graph , let denote the minimum number of pairwise edge disjoint complete bipartite subgraphs of G so that each edge of G belongs to exactly one of them. It is easy to see that for every graph G , , where is the maximum size of an independent set of G . Erd?s conjectured in the 80s that for almost every graph G equality holds, that is that for the random graph , with high probability, that is with probability that tends to 1 as n tends to infinity. The first author showed that this is slightly false, proving that for most values of n tending to infinity and for , with high probability. We prove a stronger bound: there exists an absolute constant so that with high probability.     

关于Hunt－Yorke猜想的证明

考虑具有ｎ个变时滞的泛函微分方程其中ｑ＿ｉ（ｔ），Ｔ＿ｉ（ｔ）∈Ｃ（［０，＋∞），Ｒ￣＋），ｉ＝１，２，…，ｎ。本文证明了Ｈｕｎｔ－Ｙｏｒｋｅ猜想；同时还得到了在Ｋｗｏｎｇ－Ｐａｔｕｌａ意义下泛函微分方程强振动的充分条件。     

A Proof of the Molecular Conjecture

We prove the Molecular Conjecture posed by Tay and Whiteley. This implies that a graph G can be realized as an infinitesimally rigid panel-hinge framework in ℝ ^d by mapping each vertex to a rigid panel and each edge to a hinge if and only if (((d+1) || 2)-1)G\bigl({d+1 \choose 2}-1\bigr)G contains ((d+1) || 2){d+1\choose2} edge-disjoint spanning trees, where (((d+1) || 2)-1)G\bigl({d+1 \choose2}-1\bigr)G is the graph obtained from G by replacing each edge by (((d+1) || 2)-1)\bigl({d+1\choose2}-1\bigr) parallel edges.