極限與複數的教學總結

現用高中代數教科書是與教學大綱(草案)最不一致的一科,為提高教學質量而完成數學教師的任務,對教材的處理,是特別需要認真鑽研的,從上學年起我們互助組明確了這個問題,使我們對教材的掌握上,感到有些收穫,茲就代數課中的兩個進行教學比較困難的單元來談一談: 1、極限高二代數中的極限概念、是數學的基本概念之一,應用它來叙述關於循環小數,無限遞降等比數列,幾何課中圓周長和圓面積,以及圓柱、圓錐与球的表面積和體積等問題,在中學數學課中它是完全必要的一部份,但極限這一單元,在     

量

量——是基本的數學概念之一,隨著數學的發展,它的意義受到了一系列的擴張。 1.早在歐幾裏得的“幾何原本”中,就清楚地敍述了現在為了與其後的擴張區別而稱之為正的無向量的性質,這一原始的量的概念是長度、面積、體積、重量等較具體的概念的直接擴張,每種具體的量都和一定的較量物體或其他對象的較量方法有着聯繫,如在幾何學中,線段可以藉疊置來比較,這一比較則導致長度的概念:即若二線段完全重合則謂二線段長度相等;若置一線段於另線段的一部分上但不能遮蓋其全部時,則謂第一線段的長度小於第二線段,為了依照面積比較平面圖形或依照體積來比較空間物體所必需的更加複雜的方法是大家都知道的。與此相類似,衡量物體的輕重則導致重量的概念。按照以上所述,則在全部齊性量的系統範圍內(在全部長度的系統範圍內,或是全部面積、全部體積的系統範圍內)建立了不等關係:即彼此同屬於同類的兩個量,或是二者相等(a=b),或是第一個量小於第二個量(a相似文献   

佈列一次方程教學中的分析與綜合

如果學員在算術學習中能熟練地運用分析與綜合的方法解析應用題,已經熟悉了應用題中的數量間的相依關係。同時,如果教員不是有意或無意地把代數學科與算術學科對立起來,而是按科學的系統把它們自然地連接起來,那麼布列一次方程的教學就不是什麼困難的事,但這只是問題的一方面,問題的另一方面是:由於布列方程與布列算式之間的差異,由於布列方程的中心問題是尋找數量間的相等關係。因此,對於如何運用科學的分析與綜合的方法以進行布列方程的教學,這仍是值得研究的問題。布列方程中的兩種解析方法是明顯的:先找出未知數與已知數的相依關係,組成代數式,從而發現數量間的相等關係,布列方程——這是把各個部分統一為整體的思維過程,我們叫它為“綜合法”;理解了應用題的條件,先在思想上有     

論分析舆綜合及其在演解算術習題過程中的地位

分析與綜合是認識的基本方法。“…思維,——恩格斯說——不僅在於把同類的因素,綜合减為統一體,而且更在於以同樣的程度把意識的對象分解成它們的因素,沒有分析,不會有綜合。”在我們的訓練方法與實践中,分析與綜合不應被看作是各個隔離的,而是彼此成為辯証的統一體。事實上,不但在解複雜習題中,而且就是在解簡單的一次運算的習题中,學生往往同時採用分析與綜合,如果學生從習題的已知部分過渡到題中的問题,或是從習題中的問題開始,組織了解題計劃,並選擇了由問題所供給的解題所必需的資料(已知數)——在兩種情形中,他既要利用分析,又要利用綜合。     

幾何學

幾何學是數學科學的一部門,在這門科學中所研究的是物體的空間關係和形狀,以及現實的其他關係和形狀,這種關係和形狀就其結構而論是跟空間的關係和形狀相類似的。“幾何學”一詞在希臘文中按照字面是量地的意思,這名詞的來源可以從下面的話得到說明,這話相傳出於古希臘學者羅得島的歐德謨(公元前四世紀):“幾何學由埃及人開創,乃在土地的測量中發生,這種測量對於他們是必要的,因為尼羅河的泛濫經常把邊界冲掉。跟其他科學一樣,這門科學也從人類的需要發生,這是不足為怪的,任何生長起來的知識從不完善的狀態變為完善。它起源於感官的知覺,漸漸變為我     

某些有窮級數的求和

如果注意地撿查一下初等代數的課程,不難發覺,共中有幾章和其餘的材料没有聯系,如序列、組合論等等,自然就想到,未必不能把這些間題完全從課程大綱中刪去。 說序列是形成方程和解决方程的很好的材料,這種論據是下確鑿的,因為可以舉出許多在這方面並下遜色於序列但现在中等學校裏並下講授的問題,說序列是學習對數所必需的,這種說法也有一些陳腐了,因為在近代對敷是用函數的觀點來說明的首先序列是組成級數學說一部分,如果在課程大綱中沒有級數,那麼序列就失去其意義。在十八世紀以及十九世紀,俄國的數學家們曾予級數以特別注意並且得到重大的成就,特別是對於數學有興趣的青年學生們似乎應該熟悉我們的數學家的工作。我們還要指出一種情况:即中等學校裏課外的數學作業有些片面性。徵求解答的問題,通俗性的報告(數的發展     

祖暅之公理

我國古代的祖暅之公理,也就是现代一般人所說的卡瓦利利(Cavalieri)公理,是指下述公理而言的,即:界於二平行平面之間的兩個立體、被任一平行於二平面之平面所截,若其二截面面積常相等,則二立體體積亦必等。當我們承認了連續公理並且有了某些積分學的知識之後,這公理也可被證為是一個定理,這公理,或是說這定理在考慮立體體積時常常會用到,特別是在考慮未知的,比較複雜與不规則的立體體積時,由這公理,就可以用已知的比較規則的在等高處截面面積相等的另一立體去代替。卡瓦利利是17世纪纪上半纪意大利的數學家,他的生卒年代是1598—1647年。     

在算術教學中運用直觀原則的體驗

“直觀原則”是中學教學過程中重要教學原則之一;教學中直觀因素愈多,學生领會教材就愈順利也愈深刻。在教學中運用直觀原則是多種多樣的,算術教學也是這樣。因而,在算術教學中運用直觀原則,不應局限於實物的運用,只要是能够使教材或所講述的內容達到“直觀性”舆“具體性”的方式方法,就應加以運用和重視。一年來,在課堂教學中我們除掉運用必要的“實物教具”(如用模型說明三角形和圓形面積的公式等)外,又經常通過下列幾種方法來貫徹直觀原則: (一) 運用“圖線”以說明與指導學生解四則應用問題。 對於一些條件衆多,關係比較複雜的習題,最初,學生往往把握不住已知量和未知量之間的關係,因此在解題時不知從何着手,我們在指導學生解這類習題時,當學生明確了那是已知條件和要求的未知数以後,多籍助於“圖線”法,使習題中的各個量間的關係明確化。具體化,從而促進學生積極思考,發現解法的關鍵。     

數學問题及解答欄

讀者解答本期問題的來信,請於4月20日以前寄到“北京清華園中國科學院數學研究所數學通報數學問題及解答欄工作組”。截止收件日期係指本欄收到信件的日期,此外,一般欲寄往數學通報而非與本欄有關的信件及稿件,請直接寄交“北京師範大學數學系轉數學通報編輯委員會”,不要寄來本欄,以免轉寄延誤時日。     

对“幾何示教的幾點體會”一文的補充意見

在數學通報1954年10月號內登載了潘關崇同志的“幾何示教的幾點體會”一篇文章。我們讀了以後,覺得潘關崇同志對於對稱法的講法有很多優點,如從實際出發,並與物理相聯系,注意教材的系統性等等。因而給我們的教學很大啟發,但是我們也感覺到有一點似乎有補充的必要,就是能修水塔的問題時,怎麼就會想到要作點M的對稱點?若不事先作好準備工作,恐怕學生便要發生疑問;因此我們認為可以先提一個問題作為準備。即“在AB河的一側有一村M,而在另一側有一村N,今要在河邊上建築一個自來水塔,使與MN二村為自用水管直接相通,問水塔應築在何處,而所用的直通水管最省?”若以純理論題的形式出現,便可寫成“已知二點M,N在一定直線AB的異側;於AB上求一點P,使MP+PN為最小。”我們認為若先解决了這個問題,不但原來的問題不會使學生發生疑問,同時還把有關異側點的問題也教給學生了。     

我们对学生成绩检查及五级分评分标准的初步体会

我們全面學習蘇聯教學的先進經驗是從1953年度上學期開始的,學習的方法,可以說是邊學邊做,就是一邊聽取關於如何運用教學原則,教學環節及五級分制等報告和組织讨論;同時另一邊就根據自己的體會認真備课並試用各個環節進行教學及五級分制記分。開頭一個階段,我們碰到的問題很多,在備課方面:教材的精神從何體會起,教材的科學性與思想性如何體現,如何結合愛国主義教育等等。在运用教学環節方面:認為組織教學沒啥可做,複習檢查太佔時間,講授新课的時間太少!鞏固教學舆佈置     

數學界動態

1.中國科學院數學研究所華羅庚所長根據中保文化協定已於5月中旬去保加利亞人民共和國訪問,在訪問期間並擬在數倫、矩陣幾何及其在代數上的應用、多元複變函數論諸方面作學術報告。 2.北京大學自5月4日起舉行了1954—1955學年科學討論會,數學力學方面舉行了四次報告會,共報告了論文17篇,其中包括四篇綜合性的,除了這17篇之外還有四篇論文因時間關係沒有報告,茲按北京大學原定程式把論文題目及報告人分別報導如下:     

六年級幾何課的計劃(续完)

第六十一課 本課主題:複習,論證問题的解法本課計劃 I.課外作業檢查。II.複習提問。1.證明多角形内角和的定理。多角形内角和与其邊數有關係嗎?舉例,凸多角形外角和與其邊數有關係嗎?舉例,20角形內角和等於若干度?外角和呢?2.兩多角形的內角和各為10直角与4直角問各有幾邊?其外角和等於若干度?3.若多角形內角和為19直角,問邊數若干?多角形外角和連同一內     

圓錐曲綫小史

人民教育出版社出版的《平面解析几何》引言上說:“解析几何产生在17世紀初期。由于当时生产的发展,各种科学和生产技术都有了很大进步,这就迫切需要解决随着发生的許多数学上的問題。……因而有关圓錐曲线的計算就成为迫切需要。解析几何就是由于这种需要而产生的”。本文就圓錐曲线发展的历史,略作介紹。不足之处在所难免,尚希讀者指正。 (一) 圓錐曲綫研究的起源 圓錐曲线的研究,起源于希腊。它与几何三大問題中的二倍立方問題有关。几何三人问題曾轰传一时,研究者很多,曾研究过二倍立方問題的希腊学者計有:阿契塔(Archytas,約公元前428-347),拍拉图(Plato,約公元前427-347),欧多克斯(Eudoxus,約公元前408-355)及蒙爱启瑪斯(Meneachmus,約公元前375-325)等。蒙爱启瑪斯是欧多克斯的門徒,可能受到阿契塔及欧多克斯的启发;他的解法也可能是希腊学者研究的总汇。取三个正圆錐,一为直角,一为銳角,另一个是鈍角的,各作一平面垂直于一条母线,并与圓錐相截;称截线为“直角圓錐截线”、“銳角圓錐截线”、“鈍角圓錐截綫”;(即今之抛     

等分圓周法

分圓周為n等分,或與此有聯繫的關於作正多角形的問題,在學校裏的教科書中,構成了平面幾何作圖問題的一部份。教師教給學生的,是利用圓規和直尺,把圓周分為3、4、6等份的方法;有時還講把圓周分成10或5等份的方法,並把能否等分圓周的高斯檢驗法,介紹給學生。當準確的作圖不能做到時,教師們便介紹一種近似的利用量角器分圓周的方法,墨守着教科書的成法,他們常常僅作到這一步為止。利用幾何的方法是可以準確地分圓周為3、5、6、15、17、及257等份的,然而這裏並沒有一個統一的方法;分圓周為15等份的方法是這樣,而分圓周為5或6等份的方法又是那樣,所有的方法都得記住,這對學生有何益處呢? 正由於這樣,從學校裏畢業的人,幾乎在任何時候,誰也不用把圓周分為5、10、17等份的幾何方法,他們往往純粹只利用量角器來分圓周     

在中學數學課程中的邏輯概要

在高年級的數學教學中,必然要面臨這樣的一個時刻,這時為了使學生能自覺地與深刻地掌握今後的課程,應當本質上依據某些邏輯概要的知識,不過在以前的各年級中,學生不可能獲得必要的知識,所以在一定的教學階段上就產生了迫切的需要:給予學生一些有系統的、嚴格地敘述的、最低限度的數學的邏輯概要。我的個人經驗以及曾與我討論過這一問題的教師們的經驗證明,在邏輯學的領域內走馬觀花地流覽,不可能給上面所提的問題以充分全面的解答,所以我用一個定名為“數學命題和證明方法”的專門的課題給予學生們這些最低限度的邏輯知識。根據進行這一課題的四年工作經驗,產生了它的具體計畫,這一計畫我將在下面提出以供大家討論。     

數學問題及解答欄

1954年5月號問題本期問題的回答請讀者在6月20日以前貼足郵票寄至“北京清華園中国科學院數學研究所數學通報數學問題及解答欄工作組”,以便及時整理,送往印刷所刊印.過期者,姓名將不列在正確解答者名單中.本期問題的答案及正確解答者姓名在本刊8月號本欄內公佈. 96.設a,b,c為任一三角形的三邊之長,α,β,γ,為三內角的大小(以弧度為單位).試證π/3≦(αa+βb+γc)/(a+b+c)≦π/2     

我怎樣教指數方程及對數方程

1.分析教材及根據學生水平,決定教學目的: 指數方程及對數方程,這節是高中代數學第121節,為高中二年下學期的課程,它緊接著對數學完之後即在懂得對數的若干性質,及二次方程解法知識的基礎上而學習的,但因此二類方程各無一般解法,在小學階段只能限於若干特殊的例子,也就是可化為普通的一次方程及二次方程來解的問題而已,課本中只有①解方程2~x=1024。②解方程a~(2x)-a~x=1。③解方程1g(a+x)+1g(b+x)=1g(c+x)三個例子,而習題本中除了簡單的方程外,尚有比較複雜而且常有增根失根的情況,在另一方面,對於為什麼要學習指數方程與對數方程,以及比種超越方程不能都以代數方程的解法去解它,課本中未曾提起,根據我班學生一般水平,在代數知識上是參差下齊的,對於二次聯立方程的知識還不很豐富,對於同根定理的認識更是膚淺,因此對本節的教學要     

算術課本第二分册§171分數四則的教學

(一)教學目的因為§171是分數一章的最後一個小單元,而分數四則的運算理論及法則前面都已講过,此較简單的應用問题的解法,學生已具有相當的基礎,因此,§171的教學目的似應着重兩點:(1)把以前學過的分數四則,再加鞏固一下,即對於加減乘除的混合算式。要使學生演算得正確和熟練,特別是關於口算的地方,要使學生掌握一定程度的熟練技巧。(2)關於混合使用加減乘除的應用問題,要使學生理解並能熟練地作出解法。正如教學大綱(草案)算術部分說明中所謂:“算術教學的目的在於教會學生自觉地、     

關於弓形面積近似值公式:S=2/3bh的簡易證法

蘇聯吉西遼夫原著,前東北教育部編譯的高中平面幾何第五章末附有已知底b和高h的弓形面積近似值公式:(1)S=2/3bh和(2)S=2/3bh+h~3/2b。課文中聲明“在這裏不加證明”,劉薰宇先生依據克氏原書修訂的高中平面幾何也照樣采入,在一般學生的心理中總有得不到理論上的解決不能饜足之意,這個問題曾經傅種孫先生依據正切函數的無限展開加以論證(見數學通報1955年6月號),可是,因為屬於高等數學的範圍,不能向小學生介紹,筆者為了滿足學生的求知欲,採取初等數學的極限原理來證明第一公式,至於第二公式,因含有h~3/2b一項,那就非要根據傳種孫先生的證法不可了。