关于三次插值样条函数的存在唯一性定理

样条函数来源于生产实践,目前它的理论和应用已得到飞速的发展,尤其三次样条函数的应用更加广泛。J.H.Ahlberg等三人所著的“样条函数的理论和应用”一书总结了这一方面的研究成果。本文推广了(1)所提出的关于三次插值样条函数的存在唯一性定理,得到了使这个定理成立的一些充分条件。     

复样条函数简介

复变量的样条函数最早于1967年为J.H.Ahlberg,E.N,Nilson,J.L.Walsh[2]所研究。十多年来这方面的工作并不太多,还没有引起国际数学界的足够重视,和实样条的丰富研究成果相比较,显得相差甚远。究其原因,可能是由于其应用不象实样条那样广泛,而前者比起后者来说又复杂得多。实样条只在实域中考虑问题,结点(knot)只限于实数,而复样条要在复域中考虑问题,因而结点分布的任意性很大,假如考虑某曲线上复样条的逼近问题,那么还与曲线本身的形状有关,情况更为复杂。此外,在复域中,熟知的最小能量原理不再存在,因而实样条中许多方法不能直接移植到复样条中来,从而更增加了研究的困难。     

超广义函数的解析表示与■_〈M_k〉型算子

本文讨论了矢值超广义函数(参看文献[2])的解析表示,改进了Komatsu H.,Korner J.以及Petzsche H.J.有关这方面的研究的主要条件.我们所用的方法与他们的不同,比较简单.然后将结果应用于型算子,改进了文献[1]中的某些主要结果.     

复样条及偶次(实)多项式样条的渐近展开

自 Ahlberg 等在1967年讨论复三次样条以来,有关复样条的讨论并不多。在[2]中给出了等距节点复样条的误差估计,但至今未见到关于复样条渐近展开的讨论。本文的主要目的是讨论渐近展开,给出复样条的逐项渐近展开。在证明过程中,很自然地导出复样条的误差估计,并改进了[2]中关于误差的估计,此外,我们的方法完全适用于实轴上实多项式样条,从而在本文中也给出实多项式样条的逐项渐近展开,所得的结果不仅大大改进了[4]中的结如,且把周期性的限制也去掉了,方法上也大大简化了。     

关于等距节点(2n+1)次样条的存在性与唯一性

1.前言 关于系数用偶阶导数表示的(2n 1)次样条函数,使用性能较好,但其存在性与唯一性迄今尚未给出证明.这种样条函数与一般的奇次多项式样条函数一样,当n≥2时,方程组的系数矩阵已不具有明显的主对角元素占优,致使J.H.Ahlberg等人说,直接依赖系数矩阵的性质来证明多项式样条函数的存在性是十分困难的,即便是对于     

单位圆弧上复二次Bézier曲线

实空间中的Bezier曲线在计算机辅助设计和制造(CAD/CAM)中起着重要的作用,尤其二次和三次Bezier曲线的应用十分广泛.将复样条函数作为逼近工具的研究工作已有[1]—[4],但几何性质的研究尚罕见,难以在CAD/CAM中得到应用.本文先对单位圆弧上的复二次Bezier曲线的几何性质(特别是凸性)作了一些较深入的讨论,再以它们为基本曲线段给出一种构造一阶几何连续(GC~1)的插值复样条曲线的方法.此样     

单位圆弧上复二次Bézier曲线

实空间中的Bezier曲线在计算机辅助设计和制造(CAD/CAM)中起着重要的作用,尤其二次和三次Bezier曲线的应用十分广泛.将复样条函数作为逼近工具的研究工作已有[1]—[4],但几何性质的研究尚罕见,难以在CAD/CAM中得到应用.本文先对单位圆弧上的复二次Bezier曲线的几何性质(特别是凸性)作了一些较深入的讨论,再以它们为基本曲线段给出一种构造一阶几何连续(GC~1)的插值复样条曲线的方法.此样     

一种四次有理插值样条及其逼近性质

1引言有理样条函数是多项式样条函数的一种自然推广,但由于有理样条空间的复杂性,所以有关它的研究成果不象多项式样条那样完美,许多问题还值得进一步的研究．近几十年来,有理插值样条,特别是有理三次有理插值样条,由于它们在曲线曲面设计中的应用,已有许多学者进行了深入研究,取得了一系列的成果(见[1]-[7])．但四次有理插值样条由于其构造所花费的计算量太大以及在使用上很不方便而让人们忽视了其重要的应用价值,因此很少有人研究他们．实际上,在某些情况下四次有理插值样条有其独特的应用效果,如文[8]建立的一种具有局部插值性质的分母为二次的四次有理样条,即一个剖分     

三个方向的网上的二元样条插值

对于三个方向的正规剖分,C.K.Chui和R.H.Wang曾系统地研究了三次和四次样条空间的维数和基底。本文的目的是探讨样条插值问题。由于二元样条函数空间基底构造的复条性,实现二元样条插值要比一元情形困难得多。因此寻求二元样条插值的适定条件和给出有效的计算方法是有意义的。     

复插值样条函数及其收敛性

关于复插值样条函数的研究,一种途径是在所给复区域的边界曲线上定义一类分段复多项式样条,再由Cauchy型积分得出一类定义于区域内的解析样条函数,例如[1,2,6-8],这是Ahlbexg J.H.等人在1967年所开始的工作;而另一种途径是利用Aronszajn-Bergman再生核理论,直接得出一类定义于区域内的解析样条函数,例如[3-5],这是Atteia M.在1971年所开始的工作。但是这类样条函数只是在复平面上的单连通有界开区域中给出。这里,我们将把其结论推广到多连通有界开区域Q(?)C的情形。 在本文中,我们证明了Q中的m阶复插值样条函数的存在及唯一性,及其借助于Aronszajn-Borgman再生核的表示式,给出了几个特例。最后,我们证明了可以用这类样条函数逼近某一类定义于Q中的解析函数。     

锁相环路方程分界线环的研究及数值计算

<正> 1.引言文[1],[2],[3]对几种锁相环路方程作了定性研究,本文着重研究无噪声混合锁相环路方程的分界线环,并给出了分界线参数值的近似值,这可供实际工作者参考.而关于混合锁相环路的结构及数学模型可参看[5]第三章.     

一类不具有Goldbach性质的可换环

<正> 在另一文[1]中,我们通过考虑2次代数整数环的某些剩余类环并引用模型论中的紧致性定理,证明了:对每一2次代数整数环 J,都存在 J 的扩环,它适合 Goldbach 性质.在本文中,我们用类似的方法证明:对某些2次代数整数环 J,也存在 J 的扩环,它不适合 Goldbach 性质,这两种结果合起来,说明了 Goldbach 性质的某种独立性.本文中的主要论证是自足的,与[1]基本上无关.有关模型论的诸概念,可以参看[2].     

复样条函数

本文主要是把复样条插值化为等价的实样条插值,在此基础上解决了复二次及复三次样条函数的插值问题(存在性、唯一性),它们的节点都是随意分布的.     

关于三次样条插值及其各阶导数的L~2误差的最佳先验界

随着样条函数的广泛应用和深入研究,三次样条插值误差的估计,在实用和理论上都具有重大的意义。本文首先给出Ⅰ型三次样条(一维与二维)的L~2误差估计,是文[1]相应部分的改进。然后证明所得结论是最佳先验界。进而把上述结果推广到Ⅲ型和Ⅳ型三次样条;最后还对Ⅲ型与Ⅳ型样条给出三阶导数误差的最佳先验界。     

关于三次样条函数的两点注记

关于样条函数的理论和应用,近年来,在国内一些数学刊物上已有详细介绍.本文主要做了两件事:1.采用 Hermite 插值基函数推出三次样条的两种节点关系式;2.讨论了端点条件对于样条函数的影响,特别地,改进了[3]文的结果.     

三次插值样条存在唯一性条件的新证法

文[1]推广了文[2]的结论,导出了一般线性端点条件下三次插值样条的存在唯一性定理,所得结果目前已被广泛应用.本文的目的是给出一种简单直观的新证明方法.     

关于广义正定矩阵

矩阵正定性的推广,近年来不少人作了这方面的工作(见文[1,2,3])受到了启发,本文着重对文[2]中的P_(s+)的矩阵作一些讨论。     

具有重结点的B-样条曲面G1的连续条件

本文得到了关于两个双三次内部重结点B-样条曲面片G1连续的充分必要条件和在公共边界线上控制向量的本征条件.这些条件直接由两个B-样条曲面的控制向量表示.文[10]证明了使用内部单结点的双三次B-样条曲面来构造G1光滑曲面,局部格式不存在.使用本文的这些条件就可以构造出具有局部各式的G1光滑造型.     

(?)илиппов定理的推广

在文[1]中(或参看[2][3][4])提出的关于Liénard方程 或其等价方程组 (F(x)=integral from n=0 to x (f(ξ)dξ)) 的极限环的存在性的定理,至今仍是条件最少的。本文利用李雅普诺夫函数的方法推广了这个定理。     

三次Birkhoff插值样条的误差精确估计

最近,文献[1],[2]讨论了三次Q型插值样条,给出了这类样条对函数的逼近度和误差的准确系数。记s(x)为三次Q型插值样条(见[1],[2]),[2]给出如下结果: 定理Y 设f(x)∈c~4[0,1],则有