Cantor集上双Lipschitz自同构的最佳Lipschitz常数

设Cr=（rCr）U（rCr＋1-r）为自相似集,其中r∈（0,1/2）,设Aut（Cr）为Cr上的所有双Lipschitz自同构组成的集合.证明了存在.f^＊∈Aut（Cr）,使得blip（f^＊）=inf{blip（f）〉1：f∈Aut（Cr）}=min[1/r,（1-2r^3-r^4）/（（1-2r）（1＋r＋r^2））],其中lip（g）=sup x,y∈Crx≠y（｜g（x）-g（y）｜）/（｜x-y｜）,且blip（g）=max（lip（g）,lip（g^-1））.     

点圆解题一“点”通

在平面直角坐标系中，以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程是（x—a）^2＋（y-b）^2=r^2．若r=0，则上述标准方程变为（x-a）^2＋（y-b）^2=0．此式表示的图形是平面直角坐标系中一个孤立的点C（a，b），常称该图形为“点圆”．应用点圆可简洁、巧妙地解决与直线和圆有关的问题．     

二阶时滞微分方程周期边值问题正解的三解定理

利用Leggett—Williams不动点定理，研究了二阶时滞微分方程边值问题 {y＂（t）＋f（t,y（t-τ））=0,0〈t〈2π； y（t）=0,-τ≤t≤0; y（0）=y（2π） 正解的存在性．其中0〈r〈π/2为一常数．我们先建立了该问题至少存在两个正解的充分条件．接着给出其至少存在三个正解的存在定理．     

关于带权的Hardy-Hilbert不等式中的一个上确界

本文引入了一个形如π/sin-Or（n）/n的权系数，其中Or（n）＞0（r＞1）．建立了带权的Hardy-Hilbert不等式，给出了Or（n）的下确界与上确界．特别当r=2时，证明了λ=1．4603545…是O2（n）的上确界，解决了文[2][6]中所提出的几个问题．     

正四面体套中心构型的存在唯一性

Two cases of the nested configurations in R^3 consisting of two regular quadrilaterals are discussed. One case of them do not form central configuration, the other case can be central configuration. In the second case the existence and uniqueness of the central configuration are studied. If the configuration is a central configuration, then all masses of outside layer are equivalent, similar to the masses of inside layer. At the same time the following relation between r(the ratio of the sizes) and mass ratio b = m/m must be satisfied b=24(3的立方根)（3r^2 2r 3）^-3/2-8（1-r）|1-r|^-3-3(6r的立方根)/24(3的立方根)（3 r）（3r^2 2r 3）^-3/2-8r（1-r）|1-r|^-3-3(6r^-2的立方根)in which the masses at outside layer are not less than the masses at inside layer, and the solution of this kind of central configuration is unique for the given ratio (b) of masses.     

偶数中的孤立数及其密度

对于任意的整数r≥1,l≥0．和任意的奇素数P,且满足P＋1≠（2l＋1）^-1[（2^r＋1）（2r^＋1-1）^-1-1]（mod8）。这里t=X^-1表示t＊x≡1（mod8）,则有n=2^rp^4/＋2为孤立数．     

凹面镜“圆”理

下面是老师在课堂上让我们讨论的一道题目： 已知 O：x^2＋y^2=r^2,P（x0,y0）,判断直线l：x0x＋y0y=r^2与圆 O：x^2＋y^1=r^2,的位置关系．     

一道探究题的拓展

苏教版数学“必修2”教材中有一道探究题目：已知圆C：x^2＋y^2=r^2,直线l：ax＋by=r^2．（1）当点P（a,6）在圆C上时,直线z与圆C具有怎样的位置关系？（2）当点P（a,b）在圆C外时,直线l具有什么特点？     

圆中的勾股关系

如图1,在圆C中,点D为弦AB的中点,则CD⊥AB,弦心距d、半径r和半弦l/2构成直角三角形,根据勾股定理有d^2＋（l/2）^2=r^2.     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．     

主元法解一道北大自主招生试题

题目设x,y,z∈R＋且x2（1/2）＋y2＋z=1,求xy＋2xz的最大值.这是2010年北京大学自主招生试题,是一道含有三变元的条件最值问题,本题难度较大,很难找到解题入口,本文用主元法给出两种解法与大家分享.解法1依题意,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈（0,π2）,r∈（0,1）,则x2（1/2）＋y2＋z=1为r＋z=1,所以z=1-r.设w=xy＋2xz,则w=r2sinθcosθ＋2r（1-r）cosθ,     

具连续变量的二阶中立型差分方程的振动性

研究一类具有连续变量的二阶中立型时滞差分方程△r^2[x（t）-cx（t-τ）=p（t）x（t-σ）的解的振动性，给出了其有界振动的几个充分条件．     

New Lower Bounds for the Least Common Multiples of Arithmetic Progressions

Abstract For relatively prime positive integers u0 and r, and for 0 〈 k ≤ n, define uk ：= u0 ＋ kr. Let Ln ：= 1cm（u0,u1,... ,un） and let a,l≥2 be any integers. In this paper, the authors show that, for integers α≥ a, r ≥max（a,l - 1） and n ≥lατ, the following inequality holds Ln≥u0r^（l-1）α＋a-l（r＋1）^n.Particularly, letting l = 3 yields an improvement on the best previous lower bound on Ln obtained by Hong and Kominers in 2010.     

一类函数题的“是”与“非”初探

题 已知f（cosx）=sin3x，求f（sinx）（该题可见诸于多种资料） 解 f（sinx）=f[cos（π/2-x）]=sin3（π/3-x）=-cos3x．     

关于On a Class of Semilinear Periodical Boundary Value Problems一文的注记

本文指出文[1]中的一个失误，给出了一类半线性方程周期边值问题a（t）x″＋b（t）x′＋g（t，x）=e（t），x（0）-x（2π）=x′（0）-xv（2π）=0一个新的等价方程组，应用整体反函数定理得到文[1]的所有结论．     

一道联考题的多角度思考

题目 （2006年高三第6次全国大联考（湖北专用）第19题）设0〈α〈π，0〈β〈π，α=（cosa，sina），b=（1-cosβ，sinβ），且a&;#183;b=3/2-cosβ。     

紧集值测试的扩张

本文研究了紧集值测度的结构特征与扩张，给出如下主要结果：（1）设H是Ω上的集代数，则π是H上的紧凸集值测度的充要条件是在H上的存在一列一致有界，一致强可加的广义测试{μn:≥1}使π（A）＝－／co{μ(A):n≥1}（A∈H）且π是有限可加的。（2）设π是H上的紧凸集测度，σ（H）为H生成的σ－代数，则在σ（H）上存在唯一的紧凸集值测度－／π使－／π（A）＝π（A）（A∈H）。该结果证明思路：利用（1）将π分解为π（A）＝－／co{μn:≥1}（A∈H）；将μn扩张到σ（H）上，记为－／μ（n≥1），定义－／π（A）＝－／co{μn:≥1}（A∈σ（H）），先证明{－／μn}是一致有界，一致强可加，然后通过证明H1＝{B：－／π（A∪B=-/π（A） -/π（B），B∩A=ф}（A∈H）H2＝{A：－／π（A∪B=-/π（A） -/π（B），A∩B=ф}（B∈σ（H））。是单调类，可得－／π在σ（H）上是有限可加的。由（1），－／1π是π在σ（H）上的扩张。（3）利用集测度的原子集，将π分解为紧凸部分与可数集类上的部分，然后分别将之扩张，可得欲证的扩张。     

广义GrStzsch环函数的几个精确不等式

对a∈（0，1／2）和r∈（0,1）,Ramanujan广义模方程中的广义Grǒtzsch环函数μa（r）定义如下：μa（r）=[πκa^1（r）]/[2sin（πa）κa（r）].该文通过研究μs（r）和μ（r）的关系，以及μa（r）和一些初等函数的组合的单调性和凹凸性，获得了μa（r）的几个精确不等式，从而把μ（r）的一些熟知的性质推广到μa（r）上．     

圆台侧面上最短距离问题的讨论

圆台的上下底面半径是 r′、r,AB是侧面母线 ,长为 l,求由 A点绕圆台侧面一周到 B点的最短距离 .现讨论如下 :如图 1,把圆台沿侧面母线剪开 ,得展开图扇环 ABB′A′,θ为圆心角 ,则θ =r - r′l .2π,由弧长公式得方程组　 (l SB)θ =2πr,SB .θ=2πr′,解得　 SB =lr′r - r     

这道高考题是条件多余，还是解法有问题？

题目（2012年辽宁卷理科6）已知sin a—cos a=2，a∈（0，π），则tan a=（ ） （A）-1 （B）-2/2 （C）2/2 （D）1