不可压缩流动的并行数值方法

不可压缩流动的数值模拟是计算流体力学的重要组成部分. 基于有限元离散方法, 本文设计了不可压缩Navier-Stokes (N-S)方程支配流的若干并行数值算法. 这些并行算法可归为两大类: 一类是基于两重网格离散方法, 首先在粗网格上求解非线性的N-S方程, 然后在细网格的子区域上并行求解线性化的残差方程, 以校正粗网格的解; 另一类是基于新型完全重叠型区域分解技巧, 每台处理器用一局部加密的全局多尺度网格计算所负责子区域的局部有限元解. 这些并行算法实现简单, 通信需求少, 具有良好的并行性能, 能获得与标准有限元方法相同收敛阶的有限元解. 理论分析和数值试验验证了并行算法的高效性     

电缆方程的多重网格并行代数法（英文）

致力于研究求解线性代数方程组的多重网格并行算法,该算法是基于构建矩阵序列的经典Runge-Stuben(RS)方法及其改进的并行修正独立集合(PMIS)方法的.展示了求解离散电缆方程式所得到的线性代数方程组的结果,而电缆方程是用作描述电信号传播的.在求解中用到了GPUPU技术.展示了模型问题在不同尺度的模拟区域上的数值结果.     

带移动奇异源热方程的移动网格方法

研究了一个带若干奇异源热方程的数值求解,其源的移动由一个常微分方程描述.基于移动观察区域和区域分解思想提出了一个移动网格预估校正算法.网格方程可自然的通过并行高效求解,算法避免了跳跃信息[u]的计算而使物理方程的离散格式变得非常简单,且仍保持了空间上的二阶收敛性.数值例子验证了算法的收敛性和高效性,并模拟了非线性源函数带来的爆破现象.     

求解Oseen流的交替线松弛多重网格方法

利用Riemann解的通量差分分裂法——Godunov方法对Oseen流控制方程进行离散,得到了基于一阶上迎风格式的离散方程,并给出了使用多重网格方法求解该离散方程的V-循环算法和W-循环算法的收敛性分析.通过局部Fourier分析方法,对获得的离散方程的聚对称交替线GaussSeidel松弛的光滑性质进行了研究.结果表明:使用多重网格的两层网格及三层网格算法求解具有不同Reynolds数的Oseen流,即便是在高Reynolds数情况下,聚对称交替线Gauss-Seidel松弛具有很好的光滑性质,多重网格W-循环算法收敛性比V-循环算法好.     

数学物理方程离散特征值问题的几何网格因式分解算法

本文提出求解数学物理方程大型离散特征值问题的几何网格预变换块因式分解算法(简称GPA算法).通过长期研究我们发现:结构化网格矩阵$G$满足幂等方程$G^m=I_N,(m\ll N={\rm dim}(G))$,故可在实数域或复数范围内进行因式分解;且$G$与有限元刚度矩阵$A$之间乘法存在互易性:$A\cdot G=G\cdot A$,利用$G$的几何不变性可把$N$阶大型矩阵$A$正交分解为$m-$块对角块矩阵异步并行是我们算法的计算数学基础.本文以正三角形、方形、平行六边形及正十七边形等结构化网格为例,特别是详细分析了六边形上的离散特征值异步并行算法及程序实现细节.文后附有若干2-3万阶量级离散矩阵特征值的桌面电脑数值计算例子(正三角形与方形网格,串行加速比分别为3-4倍),符合本文算法分析得出的"几何网格预处理的并行度与正多边形边数成正比"的结论.这类几何网格因式分解算法原则上可推广到三维乃至高维数学物理方程离散特征值计算问题,也可用于大型线性方程组的高效并行求解.     

高波数波动问题的多水平方法

本文主要讨论求解高波数Helmholtz方程的多水平方法,主要回顾了一些具有代表性的多重网格方法.如Erlangga等人的shifted Laplacian预处理的多重网格法;Elman等提出的修正的多重网格方法;以及我们的基于连续内罚有限元(CIP-FEM)离散代数系统的多水平算法.最后还介绍了求解高波数时谐Maxwell方程的CIP-FEM离散代数系统的多水平算法.     

并行间断有限元算法求解Navier-Stokes方程

间断Galerkin有限元方法非常适合在非结构网格上高精度求解Navier-Stokes方程,然而其十分耗费计算资源.为了提高计算效率,提出了高效的MIMD并行算法.采用隐式时间离散GMRES+LU SGS格式,结合多重网格方法,当地时间步长加速算法收敛.为了保证各处理器间负载平衡,采用区域分解二级图方法划分网格,实现内存合理分配,数据只在相邻处理器间传递.数值模拟了RAE2822翼型和M6黏性绕流,加速比基本呈线性变化且接近理想值.结果表明了该算法能有效减少计算时间、合理分配内存,具有较高的加速比和并行效率,适合于MIMD粗粒度科学计算.     

基于浸入边界-有限元法的流固耦合碰撞数值模拟方法

针对流固耦合碰撞问题,建立了流体中固体与固体碰撞界面解析直接模拟方法,采用清晰界面浸入边界法模拟流体中的动边界问题,避免了传统贴体网格方法在求解流体中存在固体间碰撞问题时网格出现负体积的问题,采用基于罚函数的有限元方法对固体的运动和碰撞进行求解,以分域耦合方式实现流体域和固体域的耦合求解.通过与静止流体中球形颗粒与壁面正碰撞和斜碰撞的实验数据对比,验证了建立的数值模拟方法对流体中固体与固体碰撞数值模拟的正确性,获得了流体域流场在碰撞前后随时间的变化,同时通过该文建立的数值模拟方法也获得了固体域中固体的碰撞力和应力.未来,将把该数值模拟方法应用到流体流动环境中,如固体颗粒对管道的冲蚀、流体诱导海洋立管之间的碰撞、坠物对海底管道的撞击等.     

一类非线性对流扩散方程两重网格特征有限元方法及误差估计

主要研究了一类非线性对流扩散方程的全离散特征有限元方法的两重网格算法及其误差估计.首先在网格步长为H的粗网格上计算一个较小的非线性问题,然后利用一阶牛顿迭代和粗网格解将网格步长为h的细网格上的非线性问题转化为线性问题求解.由于非线性问题的求解仅在粗网格上进行,该两重网格算法可以节省大量的计算工作量,同时具有较高的精度,证明了该两重网格算法L~2模先验误差估计结果为O(△t+h~2+H~(4-d/2)),其中d为空间维数.     

求解定常不可压Stokes方程的两层罚函数方法

借助于两套有限元网格空间提出了一种求解定常不可压Stokes方程的两层罚函数方法.该方法只需要求解粗网格空间上的Stokes方程和细网格空间上的两个易于求解的罚参数方程（离散后的线性方程组具有相同的对称正定系数矩阵）.收敛性分析表明粗网格空间相对于细网格空间可以选择很小，并且罚参数的选取只与粗网格步长和问题的正则性有关.因此罚参数不必选择很小仍能够得到最优解.最后通过数值算例验证了上述理论结果，并且数值对比可知两层罚函数方法对于求解定常不可压Stokes方程具有很好的效果.     

单调迭代结合虚拟区域法求解非线性障碍问题

讨论了二阶半线性椭圆方程障碍问题的数值求解问题.用单调迭代算法求解障碍问题,并用改进的虚拟区域法求解相关的不规则区域上具有Dirichlet边界条件的椭圆方程.在计算过程中,传统的有限元离散会导致用扩展区域规则网格计算不规则物体边界上积分的困难.为了克服此困难,给出了一种新的基于有限差分的算法,从而使得偏微分快速算法可用.算法结构简单,易于编程实现.对有扩散和增长障碍的logistic人口模型数值模拟说明算法可行且高效.     

Bakhvalov-Shishkin网格上求解边界层问题的差分进化算法

该文在Bakhvalov-Shishkin网格上求解具有左边界层或右边界层的对流扩散方程,并采用差分进化算法对Bakhvalov-Shishkin网格中的参数进行优化,获得了该网格上具有最优精度的数值解.对三个算例进行了数值模拟,数值结果表明:采用差分进化算法求解具有较高的计算精度和收敛性,特别是边界层的数值解精度明显...     

一种新的并行代数多重网格粗化算法

近年来,受实际应用领域中大规模科学计算问题的驱动,在大规模并行机上实现代数多重网格（AMG）算法成为数值计算领域的研究热点。本文针对经典AMG方法,提出一种新的并行网格粗化算法一多阶段并行RS算法（MPRS）。我们将新算法集成到了高性能预条件子软件包Hypre中。大量数值实验结果显示,新算法适合更广泛的问题,相对其他并行粗化算法,明显地改善了AMG并行计算的可扩展性。对三维27点格式有限差分离散的Poisson方程,在64个处理机上并行AMG求解,含8百万个未知量,新算法比RS3算法减少了近60的三维Poisson方程,近32万个未知量,在16个处理机上并行AMG—GMRES求解,新算法所需的迭代步数大约为其他粗化算法的一半,显示了很好的算法可扩展性。     

求解三维Wilson元离散化线性系统的PCG方法

非协调元方法是克服三维弹性问题体积闭锁的一种有效方法,它具有自由度少、精度高等优点,但要提高其有限元分析的整体效率还必须为相应的离散化系统设计快速求解算法.考虑了Wilson元离散化系统的快速求解.当Poisson(泊松)比ν→0.5时,该离散系统为一高度病态的正定方程组,预处理共轭梯度(PCG)法是求解这类方程组最为有效的方法之一.另外,在实际应用中,由于结构的特殊性,网格剖分时常常会产生具有大长宽比的各向异性网格,这也将大大影响PCG法的收敛性.该文设计了一种基于"距离矩阵"的代数多重网格(DAMG)法的PCG法,并应用于近不可压缩问题Wilson元离散系统的求解.这种基于"距离矩阵"的代数多重网格法,能更有效地求解各向异性网格问题,再结合有效的磨光算子,相应的PCG法对求解近不可压缩问题具有很好的鲁棒性(robustness)和高效性.     

非定常扩散方程基于调和平均点插值的有限体积格式

本文研究非定常扩散方程适用于扭曲和非结构网格的单元中心型的有限体积格式.在网格边上离散法向流时,选取当前网格边及与其相邻网格边上的调和平均点作为辅助插值点,通过它们与单元中心点不同的组合形式给出4类法向流的离散近似,最后通过调和平均点的两点插值算法,将其替换成相邻单元的中心未知量,进而建立4种单元中心型有限体积格式.时间导数项采用向后Euler格式进行离散.该格式具有模板小、易实现的优点,满足局部守恒和二阶收敛的特性.在一定网格假设前提下,理论上证明了算法的稳定性和收敛性.数值上考虑扩散系数是连续的、间断的、各向异性的甚至依赖于未知量是非线性的等情形,分别在非结构三角形、四边形和多边形网格上进行求解.结果表明,前两种算法对不同网格不同类型扩散系数问题上的鲁棒性更好, L2误差均可达到二阶收敛, H1误差接近一阶甚至高于一阶收敛;后两种算法对网格的依赖性更强.     

曲边区域上的多边形网格间断有限元离散及其多重网格算法

本文利用多边形网格上的间断有限元方法离散二阶椭圆方程,在曲边区域上,采用多条直短边逼近曲边的以直代曲的策略,实现了高阶元在能量范数下的最优收敛.本文还将这一方法用于带曲边界面问题的求解,同样得到高阶元的最优收敛.此外我们还设计并分析了这一方法的\linebreakW-cycle和Variable V-cycle多重网格预条件方法,证明当光滑次数足够多时,多重网格预条件算法一致收敛.最后给出了数值算例,证实该算法的可行性并验证了理论分析的结果.     

二维柱坐标系辐射输运方程保球对称的离散纵标格式

 离散纵标格式是计算辐射输运方程的常用格式之一. 但是, 传统的离散纵标格式求解二维柱坐标系辐射输运方程模拟一维球对称问题时, 会出现明显的非对称现象, 球对称性被破坏. 针对该问题, 本文分析了传统离散纵标格式不能够保持球对称性的原因, 提出了空间基于柱坐标系、方向基于球坐标系的辐射输运方程, 并对该方程设计了新的离散纵标格式, 从理论上证明了当空间网格取球对称剖分时该离散格式能够保持一维球对称性的充分必要条件. 通过对真空球区域辐射输运、与物质耦合辐射输运等球对称算例的数值模拟, 验证了该格式的保球对称性, 球对称误差能够达到机器精度. 非对称辐射驱动模型以及非对称网格剖分条件下的数值模拟等算例也取得了较好的结果.     

非线性整数规划的一个新的无参数填充函数算法

离散填充函数是一种用于求解多极值优化问题最优解的一种行之有效的方法.已被证明对于求解大规模离散优化问题是有效的.本文基于改进的离散填充函数定义,构造了一个新的无参数填充函数,并在理论上给出了证明,提出了一个新的填充函数算法.该填充函数无需调节参数,而且只需极小化一次目标函数.数值结果表明,该算法是高效的、可行的.     

3维抛物问题时空相关扩散系数识别的一种并行区域分解方法

3维抛物方程中时空相关扩散系数的反演是一个具有严重病态性的非线性反问题.本文研究基于时空区域分解的快速并行方法.首先将该反问题转化为带有PDE (partial differential equation,偏微分方程)约束的最小二乘优化问题,然后通过添加适当的时空Tikhonov正则化项保证问题的适定性,并用先优化后离散的方法对一阶最优条件KKT (Karush-Kuhn-Tucker)系统进行空间有限元及时间有限差分离散.针对由此产生的大规模非线性系统,本文提出一种时空全耦合预条件并行算法.该算法不需要对3个PDE子系统进行交替迭代求解以及向前和向后的时间推进过程,而是将正问题、伴随问题和扩散系数方程的所有未知量耦合在一起,使用重叠型时空区域分解预条件子对每个Newton迭代步的Jacobi系统进行预处理,然后用Krylov子空间方法求解该系统.数值实验表明,本文所提出的算法对重建4维时空扩散系数具有良好的精度和鲁棒性,且对5,000个处理器核达到接近线性的加速比.     

两个带变时间步的两重网格算法的稳定性分析

对用于求解非线性发展方程的两个带变时间步的两重网格算法，对空间变量用有限元离散，对时间变量分别用一阶精度Euler显式和二阶精度半隐式差分格式离散，然后构造两重网格算法，通过深入的稳定性分析，得出本文的算法优于标准全离散有限元算法。