三角形内切圆半径的一个性质

本文给出关于三角形的内切圆半径的一个新性质 .定理　若 D、E是△ ABC的 BC边上的图 1任意二内点 ,r1、r2 、r3 、r4、r5分别是△ ABD、△ ACE、△ ADE、△ ABE、△ ACD的内切圆半径 ,则　 r1r2=r3 - r4r3 - r5.为了证明该定理 ,我们首先给出一个引理 .引理 [1]　若 P为△ ABC的边 BC上的任一内点 ,h为边 BC上的高 ,r、r1、r2 分别为△ ABC、△ ABP、△ ACP的内切圆半径 ,则r =r1+ r2 - 2 r1r2h .(证明略 )下面给出本文定理的证明 .证明　如图 1 ,不妨设△ ABC的内切圆半径为 r,BC边上的高为 h,则由引理可得 :r =r1+ r5-…     

垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式

定理　若△ DEF是锐角△ ABC的垂足三角形 ,且 BC =a,CA =b,AB =c,△ AEF、△ BDF、△ CDE的内切圆分别为⊙ IA、⊙ IB、⊙ IC,其半径依次为 r A、r B、r C,则有ar A+br B+cr C≥ 12 3.证明　∵　 BE⊥ AC,CF⊥ AB,∴　∠ BEC =∠ CFB =90°.又∵　 E、F在 BC的同侧 ,∴　 B、C、E、F四点共圆 ,∴　∠ AEF =∠ B,∠ AFE =∠ C, 　　　△ AEF∽△ ABC, 　　　 EFBC=AEAB.在 Rt△ ABE中 ,cos A =AEAB,∴　 EFBC=cos A,即 EF =a cos A.同理　 DF =b cos B,DE =c cos C.连结 IAE、IAF,作 IAG⊥ EF…     

三角形内关于内切圆半径的美妙性质

文[1]中给出了直角三角形内有关内切圆半径的一些结论,笔者读看后很感兴趣,因此产生了这样的想法:任意三角形内有关内切圆半径会有什么样的关系呢,能否用一个公式表达呢?笔者另辟蹊径,通过研究得到了几个美妙的性质,并且其特殊情形     

圆内接凸多边形分割为三角形的内切圆半径和

若一个凸多边形内接于圆,被对角线分割成三角形,则不论分法如何（或从某一个顶点向其他顶点作对角线,或从好几个顶点同时作对角线）,这些三角形的内切圆的半径的和都相等．     

关于三角形边长与内切圆半径的两个不等式

安振平老师在文[1]中将Carulan不等式加强为: 设a,b,c和r分别是三角形的三边长与内切圆半径,则 a2b(a-6)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥8r2(a-b)2读后深受启发,我们对该不等式进行了研究,又得到两个结果,现整理如下:     

海伦与海伦三角形

提起希腊数学家海伦 ,人们就会立刻想到那个由三边求三角形面积的海伦公式Ｓ=ｐ(ｐ-ａ) (ｐ -ｂ) (ｐ-ｃ)其中Ｓ是三角形面积 ,ａ、ｂ、ｃ为三边之长 ,ｐ是半周长 ,即ｐ=12 (ａ ｂ ｃ) .但据 1 0— 1 1世纪的一位阿拉伯学者比鲁尼 (Ａｂ懕Ｒａｙｈ仭ｎａｌ-Ｂｉｒ懕ｎｉ)所述 ,这一公式是阿基米德 (Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ ,公元前2 87—前 2 1 2 )最先得出的 ,这一点现在得到公认 .但是这一公式确实是由于海伦的工作而流传下来的 .因而称为海伦公式似乎也是可以的 .海伦 (Ｈｅｒｏ或Ｈｅｒｏｎ)是希腊亚历山大后期(从公元前 30年到公元 60 0…     

三角形内切圆问题

三角形内切圆问题,由于其综合了三角形及圆这两种平几中最基本、最重要的图形之诸多性质,故其内涵丰富,深受各种数学命题者的青睐。为使更多的数学受好者对这类问题引起注意并作出进一步的探讨、研究,笔者愿将自己在教学中积累的七种有关三角形内     

对“三角形内切圆半径最大值”的再思考

题目：在Rt△ABC中,斜边AB=1,内切圆的半径为r,则r的最大值为——．     

双曲线焦点三角形的内切圆

<正>最近笔者遇到一道圆锥曲线焦点三角形的内切圆半径问题,学生处理此类问题存在一定的困难.笔者又从不同途径搜集了几道同类型的问题,揭示此类问题常用的思想方法,相信对能突破此类难题有一定的指导作用.例1点F1、F2分别是双曲线x²-y2-y²/3=1     

三角形内切圆的一个性质

命题1设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,6,c,内心为O,内切圆半径为r,射线AO交内切圆于P,Q两点,(如图1所示)．     

双子三角形内切圆性质初探

在母△ABC中,过顶点A的任一直线AD将其一分为二,得到两个子△ABD与子ADC。这样,以切线、三角形和圆的知识为线索,可构造出一类“双子三角形内切圆问题”。本文拟对这类问题的性质及其应用作初步探讨。     

存在面积为360的本原海伦三角形

文［１］曾证明有关本原海伦三角形若干定理,其中一个定理为本原海伦三角形的面积Ｓ是６的倍数．后又引文［２］指出：比如,不存在面积为３６０的本原海伦三角形．实际上,这个论断是错的,本文给出反例,找出了存在面积为３６０的本原海伦三角形．下面通过构造出两类海...     

海伦三角形的若干性质

海仑三角形是边长和面积均为整数的三角形,如三边长互素,则称为基本海仑三角形。本文给出基本海仑三角形的若干性质。在     

三角形的半内切圆的若干计算公式

与三角形的外接圆内切且与三角形的两边相切的圆称为三角形的半内切圆 .显然 ,一个三角形的半内切圆有三个 .文 [1 ]曾给出了三角形的半内切圆的三个性质 (即文 [1 ]性质 1～ 3,其余性质实际上是圆外切四边形的性质 ) ,包括著名的Mannheim定理 [2 ] :三角形的内心是它的任意半内切圆与三角形两边切点连线段的中点 .本文以 Mannheim定理为基础 ,给出三角形的与半内切圆有关的若干线段的计算公式 ,并顺便给出三角形的半内切圆的几个性质 .按惯例 ,下面的讨论中以 a,b,c,p分别表示△ ABC的三边长与半周长 ,A,B,C既表示其三个顶点 ,也表示相…     

直角三角形内有关内切圆半径的有趣结论

直角三角形斜边上的高线把原直角三角形分割成两个三角形,这两个三角形与原直角三角形的内切圆半径之间存在有趣的结论,同样,关于斜边上的中线,也有类似的有趣结论．     

三角形外接圆与内切圆的性质及推广

<正>性质如图1,⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,D、E、F分别是⊙I在三边上的切点,AI、BI,CI分别交⊙O于点R、S、T,则RD、SE、TF、OI四线共点,且△RST∽△DEF.证明设RD交OI于点P_1,SE交OI于点P_2,连结OR、OS、ID、IE,